高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数1教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.2,任意角三角函数,1.2.1,任意角三角函数,(,一,),1/55,【,知识提炼,】,1.,任意角三角函数定义,前,提,如图，设是一个任意角，它终边与单位圆交于点P(x，y),2/55,定义,正弦,_叫做正弦，记作sin，即sin=_；,余弦,_叫做余弦，记作cos，即cos=_；,正切,_叫做正切，记作tan，即tan=_(x0).,三角,函数,正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点坐标或坐标比值为函数值函数，将它们统称为三角函数.,y,y,x,x,3/55,2.,正弦、余弦、正切函数在弧度制下定义域,三角函数,定义域,sin,_,cos,_,tan,_,R,R,4/55,3.,三角函数值在各象限符号,5/55,4.,诱导公式一,即终边相同角同一三角函数值,_.,sin,cos,tan,相等,6/55,【,即时小测,】,1.,判断,.,(1),相等角正弦值相等，反之正弦值相等两个角也相等,.(,),(2),已知,是三角形内角，则必有,sin0,，,cos0.(,),(3),对于任意角,，,sin,，,cos,，,tan,都有意义,.(,),7/55,【,解析,】,(1),错误,.,相等角正弦值相等，不过正弦值相等两个角未必相等,.,(2),错误,.,因为,是三角形内角，所以,(0,，,),，所以,sin0,，,cos,大于零、小于零或等于零都有可能,.,(3),错误,.,对于任意角,，,sin,，,cos,都有意义，不过终边落在,y,轴上角,tan,无意义,.,答案：,(1),(2),(3),8/55,2.,若,sin0,，且,tan0,，则角,是,(,),A.,第一象限角,B.,第二象限角,C.,第三象限角,D.,第四象限角,【,解析,】,选,D.,由,sin,0,知角,终边落在第三、四象限或,y,轴非正半轴上，由,tan,0),，如图所表示,则,16/55,知识点,2,三角函数值在各象限符号,观察如图所表示内容，回答以下问题：,问题,1,：判断三角函数值在各象限符号依据和关键分别是什么？,问题,2,：三角函数值在各象限符号有什么规律吗？,17/55,【,总结提升,】,对正弦、余弦、正切函数值在各象限符号两点说明,(1),由三角函数定义知,(r0),，可知角,三角函数值符号是由角终边上任一点,P(x,，,y),坐标确定，则准确确定角终边位置是判断该角三角函数值符号关键,.,(2),要熟记三角函数值在各象限符号规律，三角函数值在各象限符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦,.,18/55,知识点,3,诱导公式一,观察如图所表示内容，回答以下问题：,问题,1,：诱导公式一作用是什么？,问题,2,：诱导公式一结构特征是什么？,19/55,【,总结提升,】,对诱导公式一三点说明,(1),公式一实质是终边相同角三角函数值相等,.,(2),公式一结构特征：,左、右为同一三角函数；,公式左边角为,+k2,，右边角为,.,注意公式一中条件,kZ,不可遗漏,.,(3),公式一作用：把求任意角三角函数值转化为求,0,2(,或,0,360),角三角函数值,.,20/55,【,题型探究,】,类型一,任意角三角函数定义及应用,【,典例,】,已知角,终边经过点,P(x,，,)(x0),，且,cos=x.,求,sin+,值,.,21/55,【,解题探究,】,本例中计算,sin,、,cos,、,tan,依据是什么？,提醒：,依据任意角三角函数定义，即,若角,终边上任一点,P(x,，,y),，,OP=r,(r0),，则,22/55,【,解析,】,因为,P(x,，,)(x0),，,所以点,P,到原点距离,又,cos=,，所以,cos=,因为,x0,，所以,x=,，所以,当,x=,时，,P,点坐标为,(),，,由三角函数定义，有,sin=-,，,所以,当,x=-,时，,一样可求得,23/55,【,延伸探究,】,1.,（变换条件）本题中点,P,坐标改为,(-,，,x),，,x0,，且,sin,=x,，结果又是什么？,【,解析,】,因为,P(-,，,x)(x0),，,所以点,P,到原点距离,又,sin=x,，所以,因为,x0,，所以,x=,，所以,24/55,当,x=,时，,P,点坐标为,(,），,由三角函数定义，有,所以,当,x=-,时，,一样可求得,25/55,2.,（变换条件、改变问法）若角 终边经过点,P,1,，且点,P,1,到原点,距离与本题中,P,到原点距离相等，试求点,P,1,坐标,.,【,解析,】,角 终边与单位圆交点坐标为,(),，所以,由已知得,|OP,1,|=,由三角函数定义，知点,P,1,坐标为,(),，即,(-3,，）,.,26/55,【,方法技巧,】,由角,终边上任意一点坐标求其三角函数值步骤,(1),已知角,终边在直线上时，惯用解题方法有以下两种：,先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数定义求出对应三角函数值,在,终边上任选一点,P(x,，,y),，,P,到原点距离为,r(r0),则,sin=,，,cos=.,已知,终边求,三角函数值时，用这几个公式更方便,(2),当角,终边上点坐标以参数形式给出时，要依据问题实际情况对参数进行分类讨论,27/55,【,赔偿训练,】,(,临沂高一检测,),已知角,终边过点,P(-3a,，,4a)(a0),，求,2sin+cos,值,【,解析,】,（,1,）若,a0,，则,r=5a,，角,在第二象限,所以,2 sin+cos=,（,2,）若,a0,，则,r=-5a,，角,在第四象限，,所以,2 sin+cos=,28/55,【,延伸探究,】,1.,（变换条件）将本题中点,P,坐标改为,(12a,，,5a)(a0),，其它条件不变，结果又怎样？,【,解析,】,（,1,）若,a,0,，则,r=13a,，角,是第一象限角，,所以,所以,29/55,（,2,）若,a,0,，则,r=-13a,，角,是第三象限角，,所以,所以,30/55,2.,（改变条件和问法）点,P,坐标改为,(-8m,，,-6 sin 30),，且,cos=,，求,m,值,.,【,解析,】,因为点,P,坐标为,(-8m,，,-3),，,所以,所以,cos=,，所以,m,0,，,所以 ，解得,m=,，又,m,0.,所以,m=.,31/55,类型二,三角函数在各象限符号问题,【,典例,】,1.,已知角,=2k-(kZ),，若角,与角,终边相同，则,y=,值为（）,A,1 B,-1,C,3,D,-3,2.,（,南通高一检测）已知,sin tan,0,，那么,是第,_,象限角,.,3.,假如,|sin x|=sin x,，那么角,x,取值集合是,_,32/55,【,解题探究,】,1.,典例,1,中，角,终边在第几象限？该象限内正弦、余弦、正切函数值符号分别是什么？,提醒：,角,终边与 终边相同，是第四象限角,.,第四象限内正弦、正切函数值为负，余弦函数值为正,.,2.,典例,2,中，,sin tan,0,包含哪些情况？正弦、正切函数值在各象限符号有什么规律？,提醒：,sin,tan,0,包含,sin,0,，,tan,0,和,sin,0,，,tan,0,两种情况,.,正弦函数值在第一、二象限为正，在第三、四象限为负；正切函数值在第一、三象限为正，在第二、四象限为负,.,33/55,3.,典例,3,中，,sin x,符号是什么？角,x,终边所在区域是什么？,提醒：,sin x0,，角,x,终边在第一、二象限或,x,轴上或,y,轴非负半轴上,.,【,解析,】,1.,选,B.,由,=2k-(kZ),知，角,终边在第四象限，又角,与角,终边相同，所以角,终边在第四象限，所以,sin 0,，,cos,0,，,tan 0,，则实数,a,取值范围是,_.,【,解题指南,】,先确定角,终边位置，然后列出不等式组求,a,取值范围,.,40/55,【,解析,】,因为,cos0,，,sin0,，,所以角,终边在第二象限或,y,轴非负半轴上，,因为,终边过,(3a-9,，,a+2),，,所以,所以,-2a3.,答案：,-2a3,41/55,【,赔偿训练,】,确定以下各式符号,.,(1)sin.,(2)cos .,(3)sin4cos4.,【,解题指南,】,先确定各角所在象限，然后判断符号,.,【,解析,】,(1)=3605+214,，,所以,为第三象限角，,所以,sin0.,42/55,为第四象限角，,所以,(3)4,所以,4 rad,为第三象限角,.,所以,cos 40,，,sin40.,43/55,类型三,诱导公式一应用,【,典例,】,1.(,武汉高一检测,)sin(-660)=(,),2.,已知,P(2,，,-3),是角,终边上一点，则,tan(2+),等于,(,),44/55,【,解题探究,】,1.,典例,1,中，在,0,360,内与,-660,终边相同角是什么？,提醒：,因为,-660,=-720,+60,，所以,60,与,-660,终边相同,.,2.,典例,2,中，怎样计算,tan,？,tan(2+),与,tan,有什么关系？,提醒：,依据任意角正切函数定义计算,tan,.,tan(2+)=tan.,45/55,【,解析,】,1.,选,B.sin,（,-660,）,=sin,（,-720+60,）,=sin 60=,2.,选,C.,因为,P(2,，,-3),是角,终边上一点，,所以,tan=,所以,tan(2+)=tan=,46/55,【,方法技巧,】,应用诱导公式一化简求值步骤,（,1,）将已知角化为,k360+,（,k,为整数，,0,360,）或,2k+,（,k,为整数，,0,2,）形式,.,（,2,）将原三角函数值化为角,同名三角函数值,.,（,3,）借助特殊角三角函数值或任意角三角函数定义到达化简求值目标,.,47/55,【,拓展延伸,】,公式一意义,诱导公式一表达了三角函数值“周而复始”改变规律，即角,终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现,.,48/55,【,变式训练,】,sin 585,值为,(),【,解析,】,选,A.sin 585=sin(360+225)=sin 225.,因为,225,是第三象限角，且终边与单位圆交点为,所以,sin 225=,49/55,【,赔偿训练,】,点,A(x,，,y),是,-300,角终边与单位圆交点，则 值,为（）,【,解析,】,选,A.x=cos(-300)=cos(-360+60),=cos 60=,y=sin(-300)=sin(-360+60),=sin 60=,所以,50/55,易错案例,任意角三角函数定义应用,【,典例,】,（,孝感高一检测）角,终边经过点,P(x,，,4),，且,cos,=,，则,sin=_.,51/55,【,失误案例,】,52/55,【,错解分析,】,分析解题过程，你知道错在哪里吗？,提醒：,错误根本原因是忽略对点坐标中参数进行分类讨论,.,实际上本题中要分,x=0,和,x,0,两种情况讨论,.,53/55,【,自我矫正,】,点,P(x,，,4),到原点距离,(1),当,x=0,时，,r=4.,由三角函数定义，有,(2),当,x0,时，由,cos=,，得,所以,=5,，即,r=5.,由三角函数定义，有,答案：,或,1,54/55,【,防范办法,】,1.,了解定义明确关键量,在利用定义求三角函数值时，要用到角终边上异于原点任意一点坐标和它到原点距离,.,解题时要首先明确相关关键量,.,2.,注意分类讨论,已知终边上一点坐标，求三角函数值,.,若终边上已知点坐标确定，则三角函数值唯一,.,若终边上已知点坐标以参数形式给出，需判断角终边所在位置，若不能确定，需对参数分类讨论,.,55/55,