高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

-,*,-,1.1,归纳与类比,1/33,2/33,1,.,归纳推理,(1),定义,:,依据一类事物中部分事物含有某种属性,推断该类事物中,每一个事物,都有这种属性,.,我们将这种推理方式称为,归纳,推理,.,(2),特征,:,归纳推理是由部分到,整体,由个别到,普通,推理,.,不过,利用归纳推理得出结论不一定是正确,.,(3),归纳推理普通步骤,归纳推理思维过程大致是,:,试验、观察,概括、推广,猜测普通性结论,.,该过程包含两个步骤,:,经过观察个别对象发觉一些相同性质,;,从已知相同性质中推出一个明确表述普通性命题,(,猜测,),.,3/33,名师点拨,归纳推理特点,(1),归纳推理前提是部分、个别事实,归纳所得结论是尚属未知普通现象,该结论超越了前提所界定范围,.,(2),归纳推理所得到结论含有猜测性质,结论是否真实,还需要经过逻辑证实和实践检验,.,所以,它不能作为数学证实依据,.,(3),普通地,假如归纳个别对象越多,越含有代表性,那么得到普通性结论也就越可靠,.,(4),归纳推理是一个含有创造性推理,经过归纳推理能够发觉新事实,取得新结论,是科学发觉主要伎俩,.,4/33,【做一做,1,】,数列,5,9,17,33,x,中,x,等于,(,),A.47B.65C.63D.128,解析,:,5,=,2,2,+,1,9,=,2,3,+,1,17,=,2,4,+,1,33,=,2,5,+,1,归纳得,x=,2,6,+,1,=,65,.,答案,:,B,5/33,2,.,类比推理,(1),定义,:,因为两类不一样对象含有一些类似特征,在此基础上,依据,一类对象,其它特征,推断另一类对象也含有类似,其它特征,我们把这种推理过程称为类比推理,.,(2),特征,:,类比推理是,两类事物,特征之间推理,是由,特殊,到,特殊,过程,.,(3),类比推理普通步骤,类比推理思维过程大致是,:,观察、比较,联想、类推,猜测新结论,.,该过程包含两个步骤,:,找出两类对象之间相同或一致特征,;,用一类对象已知特征去猜测另一类对象类似特征,得出一个明确命题,(,猜测,),.,6/33,名师点拨,类比推理特点,(1),类比推理是从人们已经掌握了事物特征,推测正在被研究事物特征,所以类比推理结果含有猜测性,不一定可靠,.,(2),类比推理前提是两类对象之间含有一些清楚定义类似特征,所以类比推理关键是明确指出两类对象在一些方面类似特征,.,(3),假如类比两类对象相同性越多,相同性质与推测性质之间越相关,那么类比得出结论就越可靠,.,7/33,【做一做,2,】,类比平面内,“,垂直于同一条直线两条直线相互平行,”,性质,可得出空间内以下结论,(,),垂直于同一个平面两条直线相互平行,;,垂直于同一条直线两条直线相互平行,;,垂直于同一条直线两个平面相互平行,.,A.,B.,C.,D.,答案,:,D,8/33,3,.,合情推理,(1),定义,:,合情推理是依据试验和实践结果、个人经验和直觉、已经有事实和正确结论,(,定义、公理、定理等,),推测出一些结果推理方式,.,归纳推理和类比推理是最常见,合情推理,.,(2),合情推理普通步骤,9/33,【做一做,3,】,判断以下推理,哪些是合情推理,哪些不是合情推理,.,(1),若,a,b,b,c,则,a,c,;,(2),若,a,b,b,c,则,a,c,;,(3),由,1,=,1,2,1,+,3,=,2,2,1,+,3,+,5,=,3,2,1,+,3,+,5,+,7,=,4,2,得到,1,+,3,+,+,(2,n-,1),=n,2,;,(4),今天是星期日,七天之后也是星期日,.,解,:,(3)(4),是合情推理,(1)(2),不是合情推理,.,10/33,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内画,“,”,错误画,“,”,.,(1),合情推理就是正确推理,.,(,),(2),由平面三角形性质,推测空间四边形性质是类比推理,.,(,),(3),某校高二有,20,个班,1,班有,51,名团员,2,班有,53,名团员,3,班有,52,名团员,由此推测各班都超出,50,名团员是归纳推理,.,(,),(4),已知数列,1,a+a,2,a,2,+a,3,+a,4,a,3,+a,4,+a,5,+a,6,则该数列第,k,项是,a,k,+a,k+,1,+,+a,2,k,.,(,),(5),任何问题都可用归纳推理来推测结论,.,(,),11/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,用归纳推理处理数列问题,【例,1,】,已知正项数列,a,n,满足,S,n,=,求出,a,1,a,2,a,3,a,4,并推测正项数列,a,n,通项公式,.,分析,:,分别令,n=,1,2,3,4,利用,S,n,与,a,n,关系式,先求出,a,1,a,2,a,3,a,4,值,再观察分析,进行归纳猜测,.,12/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,13/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,处理这类问题关键是依据前几项发觉项与序号一一对应关系,归纳出数列一个通项公式,.,需要注意是,:,在归纳推理中,依据同一个前提,能够归纳出不一样结论,.,14/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,1,已知,f,(,x,),=,设,f,1,(,x,),=f,(,x,),f,n,(,x,),=f,n-,1,(,f,n-,1,(,x,)(,n,1,且,n,N,+,),则,f,3,(,x,),表示式为,猜测,f,n,(,x,)(,n,N,+,),表示式为,.,解析,:,先由,f,1,(,x,),表示式,依据,f,2,(,x,),=f,1,(,f,1,(,x,),求,f,2,(,x,),表示式,再由,f,3,(,x,),=f,2,(,f,2,(,x,),求,f,3,(,x,),表示式,最终猜测,f,n,(,x,),表示式,.,15/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,归纳推理在几何中应用,【例,2,】,设平面内有,n,(,n,3),条直线,其中有且仅有两条直线相互平行,任意三条直线不过同一点,.,若用,f,(,n,),表示这,n,条直线交点个数,则,f,(4),=,;,当,n,4,时,f,(,n,),=,(,用含,n,数学表示式表示,),.,解析,:,最初三条直线产生两个交点,即,f,(3),=,2,.,每增加,1,条直线,与前面每条直线产生,1,个交点,则新增加第,n,条直线,与前面,(,n-,1),条直线产生,(,n-,1),个交点,即,f,(,n,),-f,(,n-,1),=n-,1,.,由图知,f,(4),=,5,.,当,n,4,时,f,(,n,),-f,(,n-,1),=n-,1,f,(,n-,1),-f,(,n-,2),=n-,2,f,(4),-f,(3),=,3,.,16/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,在几何中,伴随点、线、面等元素增加,探究对应线段、交点、区域等数量增加问题惯用归纳推理处理,寻找递推关系是处理该类问题关键,.,17/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,2,在平面内观察凸四边形有,2,条对角线,凸五边形有,5,条对角线,凸六边形有,9,条对角线,由此猜测凸,n,(,n,4),边形有多少条对角线,?,解,:,凸四边形有,2,条对角线,凸五边形有,5,条对角线,比凸四边形对角线多,3,条,凸六边形有,9,条对角线,比凸五边形对角线多,4,条,于是猜测凸,n,边形对角线比凸,(,n-,1),边形对角线多,(,n-,2),条,由此猜测凸,n,边形对角线条数为,2,+,3,+,4,+,5,+,+,(,n-,2),=n,(,n-,3)(,n,4),.,18/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,归纳推理在数阵问题应用,【例,3,】,依据给出数塔猜测,123 456,9,+,7,等于,(,),1,9,+,2,=,11,12,9,+,3,=,111,123,9,+,4,=,1 111,1 234,9,+,5,=,11 111,12 345,9,+,6,=,111 111,A.1 111 110B.1 111 111,C.1 111 112D.1 111 113,19/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解析,:,由,1,9,+,2,=,11,12,9,+,3,=,111,123,9,+,4,=,1,111,1,234,9,+,5,=,11,111,归纳可得,等式右边各数位上数字均为,1,位数与等式左边第二个加数相同,所以,123,456,9,+,7,=,1,111,111,.,答案,:,B,反思感悟,处理这类数阵问题时,通常利用归纳推理,其步骤以下,:,(1),明确各行、各列数大小,;,(2),分别归纳各行、各列中相邻两个数大小关系,;,(3),按归纳出规律写出一个普通性结论,.,20/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,3,观察以下式子,:,则仿照上面规律,可猜测这类不等式普通形式为,.,21/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,类比推理,【例,4,】,已知,O,是,ABC,内任意一点,连接,AO,BO,CO,并延长交对边于点,A,B,C,则,=,1,这是一道平面几何题,其证实常采取,“,面积法,”,.,请利用类比思想,说出对于空间中四面体,A-BCD,存在什么类似结论,?,并证实,.,分析,:,解答本题能够把平面几何元素类比到空间中,通常是面积对应体积,.,22/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解,:,在四面体,A-BCD,中,任取一点,O,连接,AO,DO,BO,CO,并延长分别交四个面于点,E,F,G,H.,证实以下,:,在四面体,O-BCD,与,A-BCD,中,23/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,平面中常见一些元素与空间中一些元素类比列表以下,:,24/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,4,在平面上,若两个正三角形边长比为,1,2,则它们面积比为,1,4,类似地,在空间内,若两个正四面体棱长比为,1,2,则它们体积比为,.,解析,:,首先,能够由边长与面积、棱长与体积关系得到体积之比为,1,3,2,3,=,1,8,.,另首先,能够经过详细计算,不妨设两个正四面体棱长分别为,a,和,2,a,则可求得它们体积分别为,a,3,和,a,3,所以它们体积之比为,1,8,.,答案,:,1,8,25/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,因归纳不全方面而致误,易错分析,:,本题易犯错误是只照料到了不等式中左边项数及右边规律,而没有把握深层次规律,即,x,系数之和为,1,.,解析,:,由已知能够再写出几个式子,.,答案,:,n,n,纠错心得,归纳推理时,要注意对结构形式细致观察,而且尽可能多归纳几个,必要时候对特殊情况进行检验,.,26/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,观察以下等式,:,1,=,1,1,3,=,1,1,+,2,=,3,1,3,+,2,3,=,9,1,+,2,+,3,=,6,1,3,+,2,3,+,3,3,=,36,1,+,2,+,3,+,4,=,10,1,3,+,2,3,+,3,3,+,4,3,=,100,1,+,2,+,3,+,4,+,5,=,15,1,3,+,2,3,+,3,3,+,4,3,+,5,3,=,225,.,能够推测,:1,3,+,2,3,+,3,3,+,+n,3,=,(,n,N,+,用含有,n,代数式表示,),.,27/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解析,:,由题意得第二列等式右端分别是,1,2,3,2,6,2,10,2,15,2,第一列等式右端分别是,1,3,6,10,15,可知第二列等式右端等于对应第一列等式右端平方,.,28/33,1 2 3 4 5,1,.,数列,2,5,11,20,x,47,中,x,等于,(,),A.28B.32C.33D.27,解析,:,由所给数列前四项可知,从第,2,项起,每一项与前一项差组成以,3,为公差等差数列,第,2,项与第,1,项差为,3,第,3,项与第,2,项差为,6,第,4,项与第,3,项差为,9,所以第,5,项,x,与第,4,项,20,差应为,12,即,x-,20,=,12,所以,x=,32,.,答案,:,B,29/33,1 2 3 4 5,2,.,已知扇形弧长为,l,半径为,r,类比三角形面积公式,S=,可推知扇形面积公式,S,扇,等于,(,),解析,:,由扇形弧长与半径类比于三角形底与高,可得,S=lr.,答案,:,C,30/33,1 2 3 4 5,3,.,下面几个推理是类比推理是,(,),A.,因为三角形内角和是,180,(3,-,2),四边形内角和是,180,(4,-,2),所以,n,边形内角和是,180,(,n-,2),B.,由平面内平行四边形性质,推测空间中平行六面体性质,C.,由,a,1,=,1,a,n,=,3,n-,1,求出,S,1,S,2,S,3,猜测出数列,a,n,前,n,项和,S,n,表示式,D.4,能被,2,整除,6,能被,2,整除,8,能被,2,整除,所以偶数能被,2,整除,解析,:,A,项为归纳推理,B,项为类比推理,C,项为归纳推理,D,项为归纳推理,.,答案,:,B,31/33,1 2 3 4 5,4,.,观察以下各等式,(1,+,1),=,2,1,(2,+,1)(2,+,2),=,2,2,1,3,(3,+,1)(3,+,2)(3,+,3),=,2,3,1,3,5,照此规律,第,n,个等式为,.,解析,:,由所给等式可知,左边为,n,个式子相乘,从,(,n+,1),到,(,n+n,),右边第,1,个数为,2,n,后边是从,1,开始连续,n,个奇数相乘,故第,n,个等式应为,(,n+,1)(,n+,2)(,n+,3),(,n+n,),=,2,n,1,3,5,(2,n-,1),.,答案,:,(,n+,1)(,n+,2)(,n+,3)(,n+n,),=,2,n,1,3,5,(2,n-,1),32/33,1 2 3 4 5,经过观察上述等式规律,写出普通性规律,并给出证实,.,33/33,