高中数学模块复习课2利用空间向量解决空间问题省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

-,*,-,第,2,课时,利用空间向量处理空间问题,1/65,知识网络,关键点梳理,2/65,知识网络,关键点梳理,填一填,:,(,x,1,x,2,y,1,y,2,z,1,z,2,),;,(,x,1,y,1,z,1,),;,|,a,|,b,|,cos,;,p,=x,a,+y,b,+z,c,;,u,1,u,2,;,u,n,;,n,1,n,2,;,u,1,u,2,;,u,n,;,n,1,n,2,;,3/65,知识网络,关键点梳理,一、夹角计算,1,.,利用空间向量处理立体几何中夹角问题普通步骤,:(1),适当地构建空间直角坐标系,求得所对应点坐标,;(2),用坐标表示空间向量及其数量积,;(3),代入空间向量夹角公式坐标形式,;(4),提炼共性,转化为几何结论,.,2,.,利用向量求异面直线所成角方法,:,利用向量夹角公式计算两直线方向向量夹角,再结合异面直线所成角范围得到异面直线所成角,.,3,.,利用向量求二面角大小方法,:(1),转化为分别在二面角两个半平面内且与棱都垂直两条直线上两个向量夹角,(,注意,:,要尤其关注两个向量方向,);(2),转化为求二面角两个半平面法向量夹角,(,或其补角,),.,4/65,知识网络,关键点梳理,4,.,利用向量求直线与平面所成角方法,:(1),作或找出直线与平面所成角平面角,再转化为这个平面角两边对应方向向量夹角来求角,;(2),设直线与平面所成角为,若直线方向向量为,a,平面法向量为,n,则有,sin,=|,cos,|.,5/65,知识网络,关键点梳理,二、距离计算,1,.,求距离普通方法和步骤,:,应用各种距离之间转化关系和,“,平行移动,”,思想方法,把所求距离转化为点点距、点线距或点面距来求,.,2,.,求点到平面距离方法有三种,:(1),定义法,:,这是常规方法,首先过点向平面作垂线,确定垂足位置,然后将该线段放到一个直角三角形中,最终经过解三角形求得点到平面距离,.,(2),等体积法,:,把点到平面距离视为一个三棱锥高,利用三棱锥转化底面求体积,从而求得点到平面距离,.,(3),向量法,:,这是我们惯用方法,利用向量法求点到平面距离普通步骤为,:,求出该平面一个法向量,;,找到从该点出发平面任意一条斜线段所对应向量,;,求出法向量与斜线段所对应向量数量积绝对值,再除以法向量模,即可求得点到平面距离,.,6/65,知识网络,关键点梳理,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打,“,”,错误打,“,”,.,(1),空间中任何两个向量都是共面向量,.,(,),(2),若两个非零向量共线,则这两个向量夹角为,0,.,(,),(3),设,a,b,是两个非零向量,则,a,b,a,b,=,0,.,(,),(4),当直线方向向量,a,与平面法向量,n,垂直时,该直线与平面垂直,.,(,),(5),设,n,1,n,2,为平面,法向量,则,n,1,与,n,2,夹角即为两平面夹角,.,(,),(6),直线,l,方向向量为,u,平面,法向量为,n,直线与平面所成角为,则,sin,=|,cos,|.,(,),7/65,专题归纳,高考体验,专题一,空间角,【例,1,】,如图,已知两个正四棱锥,P-ABCD,与,Q-ABCD,高分别为,1,2,AB=,4,.,(1),证实,:,PQ,平面,ABCD,;,(2),求异面直线,AQ,与,PB,所成角余弦值,.,思维点拨,:,(1),连接,AC,BD,且设,AC,BD=O,证实,PO,平面,ABCD,QO,平面,ABCD,再说明,P,O,Q,三点共线即可,;(2),建立空间直角坐标系,写出,P,A,Q,B,坐标,再用,求角余弦值,.,8/65,专题归纳,高考体验,(1),证实,:,如图,连接,AC,BD,设,AC,BD=O,连接,OP,OQ.,P-ABCD,与,Q-ABCD,都是正四棱锥,PO,平面,ABCD,QO,平面,ABCD,从而,P,O,Q,三点在一条直线上,.,PQ,平面,ABCD.,9/65,专题归纳,高考体验,(2),解,:,由题设知,四边形,ABCD,是正方形,AC,BD.,由,(1),知,PQ,平面,ABCD,分别以,CA,DB,QP,所在直线为,x,y,z,轴建立空间直角坐标系,O-xyz,10/65,专题归纳,高考体验,反思感悟,求异面直线间夹角主要有定义法,(,平移法,),和向量法两种,.,定义法主要借助于结构出平行四边形对边和三角形中位线,;,向量法就是在两条异面直线上取方向向量,将两条异面直线夹角与两个方向向量夹角联络在一起,但应注意两个方向向量,11/65,专题归纳,高考体验,变式训练,1,如图,已知四棱锥,P-ABCD,底面为直角梯形,AB,DC,DAB=,90,PA,底面,ABCD,且,PA=AD=DC=AB=,1,M,是,PB,中点,.,(1),求证,:,平面,PAD,平面,PCD,;,(2),求,AC,与,PB,夹角余弦值,.,12/65,专题归纳,高考体验,解,:,由题易知,PA,AD,PA,AB,AD,AB,以,A,为坐标原点,AD,长为单位长度建立如图所表示空间直角坐标系,AP,DC.,又由题设知,AD,DC,且,AP,与,AD,是平面,PAD,内两条相交直线,由此得,DC,平面,PAD.,又,DC,平面,PCD,故平面,PAD,平面,PCD.,13/65,专题归纳,高考体验,14/65,专题归纳,高考体验,【例,2,】,如图,在棱长为,1,正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,P,是侧棱,CC,1,上一点,CP=m.,(1),试确定,m,使得直线,AP,与平面,BDD,1,B,1,夹角正切值为,3,.,(2),在线段,A,1,C,1,上是否存在一个定点,Q,使得对任意,m,D,1,Q,在平面,APD,1,上投影垂直于,AP,?,并证实你结论,.,思维点拨,:,本题主要考查线面关系,直线与平面夹角相关知识及空间想象能力和推理运算能力,考查应用向量知识处理数学问题能力,.,15/65,专题归纳,高考体验,解法一,连接,AC,建立如图所表示空间直角坐标系,则,A,(1,0,0),B,(1,1,0),P,(0,1,m,),C,(0,1,0),D,(0,0,0),B,1,(1,1,1),D,1,(0,0,1),.,16/65,专题归纳,高考体验,(2),存在点,Q,满足题意,证实以下,:,设,Q,(,x,1,-x,1),17/65,专题归纳,高考体验,解法二,(1),连接,AC,设,AC,BD=O,AP,与平面,BDD,1,B,1,交于点,G,连接,OG,如图所表示,.,因为,PC,平面,BDD,1,B,1,平面,BDD,1,B,1,平面,APC=OG,所以,OG,PC.,又,O,为,AC,中点,又,AO,DB,AO,BB,1,所以,AO,平面,BDD,1,B,1,.,故,AGO,即为,AP,与平面,BDD,1,B,1,夹角,.,18/65,专题归纳,高考体验,(2),存在点,Q,满足题意,.,证实以下,:,依题意,要在,A,1,C,1,上找一点,Q,使得,D,1,Q,AP,可推测,A,1,C,1,中点,O,1,即为所求点,Q.,因为,D,1,O,1,A,1,C,1,D,1,O,1,AA,1,所以,D,1,O,1,平面,ACC,1,A,1,.,又,AP,平面,ACC,1,A,1,故,D,1,O,1,AP.,从而,D,1,O,1,在平面,AD,1,P,上投影与,AP,垂直,.,故存在定点,Q,满足题意,.,反思感悟,直线与平面夹角求法,:,19/65,专题归纳,高考体验,变式训练,2,如图,在四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,侧棱,AA,1,底面,ABCD,AB,DC,AA,1,=,1,AB=,3,k,AD=,4,k,BC=,5,k,DC=,6,k,(,k,0),.,(1),求证,:,CD,平面,ADD,1,A,1,;,(2),若直线,AA,1,与平面,AB,1,C,夹角正弦值为,求,k,值,.,20/65,专题归纳,高考体验,(1),证实,:,如图,取,CD,中点,E,连接,BE.,AB,DE,AB=DE=,3,k,四边形,ABED,为平行四边形,BE,AD,且,BE=AD=,4,k.,在,BCE,中,BE=,4,k,CE=,3,k,BC=,5,k,BE,2,+CE,2,=BC,2,BEC=,90,即,BE,CD.,又,BE,AD,CD,AD.,AA,1,平面,ABCD,CD,平面,ABCD,AA,1,CD.,又,AA,1,AD=A,CD,平面,ADD,1,A,1,.,21/65,专题归纳,高考体验,则,A,(4,k,0,0),C,(0,6,k,0),B,1,(4,k,3,k,1),A,1,(4,k,0,1),22/65,专题归纳,高考体验,【例,3,】,如图,在直四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,已知,DC=DD,1,=,2,AD=,2,AB,AD,DC,AB,DC.,(1),设,E,是,DC,中点,求证,:,D,1,E,平面,A,1,BD,;,(2),求平面,A,1,BD,与平面,C,1,BD,夹角余弦值,.,思维点拨,:,(1),本题可用常规法和向量法两种方法求解,.,(2),用向量法求平面间夹角大小时,应结合夹角取值范围来判断求出是平面间夹角,还是它补角,.,23/65,专题归纳,高考体验,解法一,(1),证实,:,如图,连接,BE,则四边形,DABE,为正方形,所以,BE=AD=A,1,D,1,且,BE,AD,A,1,D,1,所以四边形,A,1,D,1,EB,为平行四边形,所以,D,1,E,A,1,B.,又因为,D,1,E,平面,A,1,BD,A,1,B,平面,A,1,BD,所以,D,1,E,平面,A,1,BD.,24/65,专题归纳,高考体验,(2),以,D,为原点,DA,DC,DD,1,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立如图所表示空间直角坐标系,不妨设,DA=,1,则,D,(0,0,0),A,(1,0,0),B,(1,1,0),C,1,(0,2,2),A,1,(1,0,2),25/65,专题归纳,高考体验,设,m,与,n,夹角为,平面,A,1,BD,与平面,C,1,BD,夹角为,26/65,专题归纳,高考体验,解法二,以,D,为原点,DA,DC,DD,1,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系如解法一,(2),中图,设,DA=a,由题意知,D,(0,0,0),A,(,a,0,0),B,(,a,a,0),C,(0,2,a,0),C,1,(0,2,a,2,a,),A,1,(,a,0,2,a,),D,1,(0,0,2,a,),E,(0,a,0),.,因为,A,1,B,平面,A,1,BD,D,1,E,平面,A,1,BD,所以,D,1,E,平面,A,1,BD.,(2),取,DB,中点,F,DC,1,中点,M,连接,A,1,F,FM.,27/65,专题归纳,高考体验,故,A,1,FM,为所求平面间夹角平面角,.,设平面,A,1,BD,与平面,C,1,BD,夹角为,28/65,专题归纳,高考体验,反思感悟,平面间夹角求法,:,(1),求两个平面法向量,n,1,n,2,;,(2),两平面夹角,=,或,=,-.,29/65,专题归纳,高考体验,变式训练,3,如图,已知长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,AB=,2,AA,1,=,1,直线,BD,与平面,AA,1,B,1,B,夹角为,AE,垂直,BD,于点,E,点,F,为,A,1,B,1,中点,.,(1),求异面直线,AE,与,BF,夹角余弦值,;,(2),求平面,BDF,与平面,AA,1,B,1,B,夹角余弦值,.,30/65,专题归纳,高考体验,解,:,在长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,以,AB,所在直线为,x,轴,AD,所在直线为,y,轴,AA,1,所在直线为,z,轴,建立空间直角坐标系,(,如图,),.,由已知,AB=,2,AA,1,=,1,可得,A,(0,0,0),B,(2,0,0),F,(1,0,1),.,又,AD,平面,AA,1,B,1,B,31/65,专题归纳,高考体验,(2),易知平面,AA,1,B,1,B,一个法向量,m,=,(0,1,0),设,n,=,(,x,y,z,),是平面,BDF,法向量,32/65,专题归纳,高考体验,专题二,空间距离,【例,4,】,在棱长为,1,正方体,ABCD-ABCD,中,(1),求点,A,到直线,BD,距离,;,(2),求点,A,到平面,BBDD,距离,;,(3),求直线,AB,到平面,CDAB,距离,.,解,:,以,D,为原点,DA,DC,DD,分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立如图所表示空间直角坐标系,.,则,D,(0,0,0),A,(1,0,0),C,(0,1,0),B,(1,1,0),B,(1,1,1),D,(0,0,1),A,(1,0,1),.,33/65,专题归纳,高考体验,34/65,专题归纳,高考体验,35/65,专题归纳,高考体验,(3),易知,AB,平面,CDAB,即直线,AB,到平面,CDAB,距离为点,A,到平面,CDAB,距离,.,设平面,CDAB,法向量为,m,=,(,x,1,y,1,z,1,),36/65,专题归纳,高考体验,反思感悟,空间距离求法,:,空间距离分为点线距、点面距、线面距、面面距,而线面距和面面距通常转化为点面距求解,.,37/65,专题归纳,高考体验,变式训练,4,已知四棱锥,P-ABCD,底面,ABCD,是边长为,1,正方形,PD,平面,ABCD,且,PD=,1,E,F,分别为,AB,BC,中点,.,(1),求点,D,到平面,PEF,距离,;,(2),求直线,AC,到平面,PEF,距离,.,解,:,(1),建立以,D,为坐标原点,DA,DC,DP,所在直线分别为,x,轴,y,轴,z,轴空间直角坐标系,如图所表示,38/65,专题归纳,高考体验,39/65,专题归纳,高考体验,因为,E,F,分别为,AB,BC,中点,所以,AC,EF.,因为,AC,平面,PEF,EF,平面,PEF,所以,AC,平面,PEF,40/65,专题归纳,高考体验,考点一,:,空间向量及其运算,1,.,(,课标,高考,),已知向量,a,=,(,-,1,2),b,=,(,m,1),若向量,a,+,b,与,a,垂直,则,m=,.,解析,:,因为,a,=,(,-,1,2),b,=,(,m,1),所以,a,+,b,=,(,m-,1,3),.,因为,a,+,b,与,a,垂直,所以,(,a,+,b,),a,=,0,即,-,(,m-,1),+,2,3,=,0,解得,m=,7,.,答案,:,7,41/65,专题归纳,高考体验,2,.,(,课标,高考,),已知向量,a,=,(,-,2,3),b,=,(3,m,),且,a,b,则,m=,.,解析,:,a,b,a,b,=,(,-,2,3)(3,m,),=-,2,3,+,3,m=,0,解得,m=,2,.,答案,:,2,42/65,专题归纳,高考体验,考点二,:,利用空间向量求空间角,3,.,(,四川高考,),如图,四边形,ABCD,和,ADPQ,均为正方形,它们所在平面相互垂直,动点,M,在线段,PQ,上,E,F,分别为,AB,BC,中点,.,设异面直线,EM,与,AF,所成角为,则,cos,最大值为,.,43/65,专题归纳,高考体验,解析,:,以,A,为坐标原点,射线,AB,AD,AQ,分别为,x,y,z,轴正半轴,建立如图所表示空间直角坐标系,.,设正方形,ABCD,和,ADPQ,边长为,2,则,E,(1,0,0),F,(2,1,0),M,(0,y,2)(0,y,2),.,当,t=,0,时,cos,=,0,.,44/65,专题归纳,高考体验,45/65,专题归纳,高考体验,4,.,(,课标,高考,),如图,四棱锥,P-ABCD,中,侧面,PAD,为等边三角形且垂直于底面,ABCD,AB=BC=AD,BAD=,ABC=,90,E,是,PD,中点,.,(1),证实,:,直线,CE,平面,PAB,;,(2),点,M,在棱,PC,上,且直线,BM,与底面,ABCD,所成角为,45,求二面角,M-AB-D,余弦值,.,46/65,专题归纳,高考体验,解,:,(1),取,PA,中点,F,连接,EF,BF.,因为,E,是,PD,中点,又,BF,平面,PAB,CE,平面,PAB,故,CE,平面,PAB.,47/65,专题归纳,高考体验,48/65,专题归纳,高考体验,49/65,专题归纳,高考体验,50/65,专题归纳,高考体验,5,.,(,课标,高考,),如图,四面体,ABCD,中,ABC,是正三角形,ACD,是直角三角形,ABD=,CBD,AB=BD.,(1),证实,:,平面,ACD,平面,ABC,;,(2),过,AC,平面交,BD,于点,E,若平面,AEC,把四面体,ABCD,分成体积相等两部分,求二面角,D-AE-C,余弦值,.,51/65,专题归纳,高考体验,解,:,(1),由题设可得,ABD,CBD,从而,AD=DC.,又,ACD,是直角三角形,所以,ADC=,90,.,取,AC,中点,O,连接,DO,BO,则,DO,AC,DO=AO.,又因为,ABC,是正三角形,故,BO,AC.,所以,DOB,为二面角,D-AC-B,平面角,.,在,Rt,AOB,中,BO,2,+AO,2,=AB,2,又,AB=BD,所以,BO,2,+DO,2,=BO,2,+AO,2,=AB,2,=BD,2,故,DOB=,90,.,所以平面,ACD,平面,ABC.,52/65,专题归纳,高考体验,53/65,专题归纳,高考体验,54/65,专题归纳,高考体验,6,.,(,天津高考,),如图,在三棱锥,P-ABC,中,PA,底面,ABC,BAC=,90,点,D,E,N,分别为棱,PA,PC,BC,中点,M,是线段,AD,中点,PA=AC=,4,AB=,2,.,(1),求证,:,MN,平面,BDE,;,(2),求二面角,C-EM-N,正弦值,;,(3),已知点,H,在棱,PA,上,且直线,NH,与直线,BE,所成角余弦值为,求线段,AH,长,.,55/65,专题归纳,高考体验,向建立空间直角坐标系,.,依题意可得,A,(0,0,0),B,(2,0,0),C,(0,4,0),P,(0,0,4),D,(0,0,2),E,(0,2,2),M,(0,0,1),N,(1,2,0),.,因为,MN,平面,BDE,所以,MN,平面,BDE.,56/65,专题归纳,高考体验,(2),易知,n,1,=,(1,0,0),为平面,CEM,一个法向量,.,设,n,2,=,(,x,y,z,),为平面,EMN,法向量,57/65,专题归纳,高考体验,58/65,专题归纳,高考体验,考点三,:,利用空间向量处理综合问题,7,.,(,课标甲高考,),如图,菱形,ABCD,对角线,AC,与,BD,交于点,(1),证实,:,DH,平面,ABCD,;,(2),求平面,ABD,与平面,ACD,夹角正弦值,.,59/65,专题归纳,高考体验,(1),证实,:,由已知得,AC,BD,AD=CD.,所以,OH=,1,DH=DH=,3,.,于是,DH,2,+OH,2,=,3,2,+,1,2,=,10,=DO,2,故,DH,OH.,又,DH,EF,而,OH,EF=H,所以,DH,平面,ABCD.,60/65,专题归纳,高考体验,建立空间直角坐标系,H-xyz.,则,H,(0,0,0),A,(,-,3,-,1,0),B,(0,-,5,0),C,(3,-,1,0),D,(0,0,3),61/65,专题归纳,高考体验,62/65,专题归纳,高考体验,8,.,(,课标,高考,),如图,四边形,ABCD,为菱形,ABC=,120,E,F,是平面,ABCD,同一侧两点,BE,平面,ABCD,DF,平面,ABCD,BE=,2,DF,AE,EC.,(1),证实,:,平面,AEC,平面,AFC,;,(2),求直线,AE,与直线,CF,所成角余弦值,.,63/65,专题归纳,高考体验,解,:,(1),连接,BD,设,BD,AC=G,连接,EG,FG,EF.,在菱形,ABCD,中,不妨设,GB=,1,.,64/65,专题归纳,高考体验,从而,EG,2,+FG,2,=EF,2,所以,EG,FG.,又,AC,FG=G,可得,EG,平面,AFC.,因为,EG,平面,AEC,所以平面,AEC,平面,AFC.,65/65,