高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念省公开课一等奖新.pptx

第三章 导数及其应用,3.1,改变率与导数,3.1.1,改变率问题,3.1.2,导数概念,1/38,早在十七世纪，欧洲资本主义发展早期，因为工厂手工业向机器生产过渡，提升了生产力，促进了科学技术快速发展，其中突出成就就是数学研究中取得了丰硕结果,微积分产生,.,2/38,背景介绍,微积分奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学角度来研究微积分,.,微积分靠着解析几何帮助，成为十七世纪最伟大数学发觉，今后，微积分得到了广泛应用,.,比如，在军事上，战争中包括炮弹最远射程问题，天文学上，行星与太阳最近与最远距离问题等,.,甚至连历法、农业都与微积分亲密相关,.,更不用说在我们日常生活中所碰到那些问题了,.,3/38,4/38,1.,了解导数概念实际背景，体会导数思想及其内涵,.,2.,导数概念实际背景，导数思想及其内涵,.,（重点）,5/38,探究点,1,改变率问题,问题,1,气球膨胀率,我们都吹过气球，回想一下吹气球过程,能够发,现,伴随气球内空气容量增加,气球半径增加得越来,越慢,.,从数学角度,怎样描述这种现象呢,?,提醒：,气球体积,V(,单位,:L),与半径,r(,单位,:dm),之间函数关系是,假如将半径,r,表示为体积,V,函数,那么,6/38,当,V,从,0,增加到,1,时,气球半径增加了,气球平均膨胀率为,当,V,从,1,增加到,2,时,气球半径增加了,气球平均膨胀率为,显然,0.620.16,我们来分析一下,:,7/38,思索,:,当空气容量从,V,1,增加到,V,2,时,气球平均,膨胀率是多少,?,8/38,h,t,o,问题,2,高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面高度,h(,单位：米,),与起跳后时间,t,（单位：秒）存在函数关系,h(t)=-4.9t,2,+6.5t+10.,9/38,提醒：,h(t)=-4.9t,2,+6.5t+10,.,.,10/38,计算运动员在 这段时间里平均速度,并思索下面问题,:,思索：,(1),运动员在这段时间里是静止吗,?,(2),你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题吗,?,提醒：,在高台跳水运动中,平均速度不能准确反应她在这段时间里运动状态,.,h,t,o,11/38,这里,x,看作是对于,x,1,一个“增量”可用,x,1,+x,代替,x,2,一样,y=f(x,2,)-f(x,1,),平均改变率定义,:,上述问题中改变率可用式子 表示，,我们把这个式子称为函数,f(x),从,x,1,到,x,2,平均改变率,.,若设,x=x,2,-x,1,y=f(x,2,)-f(x,1,),12/38,观察函数,f(x),图象,平均改变率,表示什么,?,O,A,B,x,y,y=f(x),x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),x,2,-x,1,=x,f(x,2,)-f(x,1,)=y,直线,AB,斜率,13/38,已知函数,f(x)=3x,2,+5,求,:,(1),从,0.1,到,0.2,平均改变率,.,(2),在区间,x,0,x,0,+x,上平均改变率,.,2.,计算,y,式子是什么,?,提醒,:,y=f(x,0,+x)-f(x,0,).,【,解题关键,】,1.,由函数图象可知自变量改变量、函数值改变量分别是多少,?,【,即时训练,】,14/38,解：,(1),因为,f(x)=3x,2,+5,所以从,0.1,到,0.2,平均改变率为,=0.9.,(2)f(x,0,+x)-f(x,0,),=3(x,0,+x),2,+5-(3x,0,2,+5),=3x,0,2,+6x,0,x+3(x),2,+5-3x,0,2,-5,=6x,0,x+3(x),2,函数,f(x),在区间,x,0,x,0,+x,上平均改变率为,=6x,0,+3x.,15/38,【,方法技巧,】,1.,求函数平均改变率三个步骤,第一步,求自变量增量,x=x,2,-x,1,.,第二步,求函数值增量,y=f(x,2,)-f(x,1,).,第三步,求平均改变率,2.,求平均改变率一个关注点,求点,x,0,附近平均改变率,可用 形式,.,16/38,又怎样求,瞬时速度呢,?,探究点,2,导数概念,在高台跳水运动中,平均速度不能反应她在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态,.,我们把物体在某一时刻速度称为瞬时速度,.,17/38,平均改变率近似地刻画了曲线在某一区间上改变趋势,.,怎样准确地刻画曲线在一点处改变趋势呢,?,求：从,2s,到,(2+t)s,这段时间内平均速度,.,提醒：,18/38,t0,时,在,2,2+t,这段时间内,当,t=0.01,时,当,t=0.01,时,当,t=0.001,时,当,t=0.001,时,当,t=0.000 1,时,当,t=0.000 1,时,当,t=0.000 01,时,当,t=0.000 01,时,当,t=0.000 001,时,当,t=0.000 001,时,当,t,趋近于,0,时,平均速度有什么改变趋势,?,19/38,当,t,趋近于,0,时,即不论,t,从小于,2,一边,还是从大于,2,一边趋近于,2,时,平均速度都趋近于一个确定值,13.1.,从物理角度看,时间间隔,|t|,无限变小时,平均速度 就无限趋近于,t=2,时瞬时速度,.,所以,运动员在,t=2,时瞬时速度是,13.1m/s.,从,2s,到,(2+t)s,这段时间内平均速度,20/38,表示“当,t=2,t,趋近于,0,时,平均速度,趋近于确定值,13.1”.,21/38,瞬时速度,我们用,表示,“,当,t=2,t,趋近于,0,时,平均速度趋于确定,值,-13.1”.,局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速,度，然后经过取极限，从瞬时速度近似值过渡到瞬时速度准确值,.,22/38,1.,运动员在某一时刻,t,0,瞬时速度怎样表示,?,函数,f(x),在,x=x,0,处瞬时改变率表示,23/38,导数概念,:,普通地，函数,y=f(x),在,x=x,0,处瞬时改变率是,我们称它为函数,y=f(x),在,x=x,0,处导数,记作 或,即,24/38,【,提升总结,】,25/38,由导数定义可知,求函数,y=f(x),导数普通方法,:,求函数改变量,2.,求平均改变率,3.,求值,一差、二比、三极限,26/38,【,拓展延伸,】,瞬时改变率几个变形形式,27/38,【,即时训练,】,28/38,解,:,在第,2h,和第,6h,时,原油温度瞬时改变率就是,和,依据导数定义,所以,29/38,同理可得,在第,2h,和第,6h,时,原油温度瞬时改变率,分别为,3,和,5.,它说明在第,2h,附近,原油温度,大约以,3 /h,速率下降,;,在第,6h,附近,原油温,度大约以,5 /h,速率上升,.,30/38,A,【,变式练习,】,31/38,解,:,1.,求,y=x,2,在,x=x,0,附近平均速度,.,2.,过曲线,y=f(x)=x,3,上两点,P,（,1,，,1,）和,Q(1+x,1+y),作曲线割线，求出当,x=0.1,时割线斜率,.,解,:,32/38,3.,函数,f(x)=x,2,在,x=1,处瞬时改变率等于,.,4.,函数,f(x)=1,在,x=2,处导数等于,.,【,解析,】,答案,:0,【,解析,】,答案,:2,33/38,D,5.,已知函数,f(x)=-x,2,+x,图象上一点,A(-1,-2),及临,近一点,B(-1+x,-2+y),则,y/x=(),A.3 B.3x-(x),2,C.3-(x),2,D.3-x,34/38,35/38,2.,求函数平均改变率步骤,(1),求函数增量,y=f(x,2,)-f(x,1,).,(2),计算平均改变率,1.,函数平均改变率,36/38,3.,求物体运动瞬时速度,（,1,）求位移增量,s=s(t+t)-s(t).,（,2,）求平均速度,（,3,）求极限,4.由导数定义可得求导数普通步骤,（1）求函数增量,y=f(x,0,+t)-f(x,0,).,（2）求平均改变率,（3）求极限,37/38,环境不会改变，处理之道在于改变自己。,38/38,