高中数学第一章基本初等函数Ⅱ1.2任意角的三角函数1.2.2单位圆与三角函数线省公开课一等奖新名师优.pptx

1,.,2,.,2,单位圆与三角函数线,1/33,1,.,会利用单位圆中有向线段表示正弦、余弦和正切,.,2,.,能使用三角函数线求三角函数值、比较大小、解简单三角方程或三角不等式、证实相关命题等,.,2/33,1,2,1,.,单位圆,半径为,1,圆叫做单位圆,.,【做一做,1,】,若单位圆圆心与坐标原点重合,有以下结论,:,单位圆上任意一点到原点距离都是,1;,单位圆与,x,轴交点为,(1,0);,过点,(1,0),单位圆切线方程为,x=,1;,与,x,轴平行单位圆切线方程为,y=,1,.,以上结论正确个数为,(,),A.1B.2C.3D.4,解析,:,单位圆与,x,轴交点为,(1,0),和,(,-,1,0);,与,x,轴平行单位圆切线方程为,y=,1,所以,错误,.,显然,正确,.,答案,:,B,3/33,1,2,2,.,三角函数线,(1),如图,设单位圆圆心与坐标原点重合,则单位圆与,x,轴交点分别为,A,(1,0),A,(,-,1,0),而与,y,轴交点分别为,B,(0,1),B,(0,-,1),.,设角,顶点在圆心,O,始边与,x,轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点,P,(,如图,),过点,P,作,PM,垂直,x,轴于点,M,作,PN,垂直,y,轴于点,N,则点,M,N,分别是点,P,在,x,轴、,y,轴上,正射影,(,简称,射影,),.,由三角函数定义可知,点,P,坐标为,(cos,sin,),即,P,(cos,sin,),.,其中,cos,=OM,sin,=ON.,4/33,1,2,这就是说,角,余弦,和,正弦,分别等于角,终边与单位圆交点横坐标和纵坐标,.,如图,以,A,为原点建立,y,轴与,y,轴同向,y,轴与,终边,(,或其反向延长线,),相交于点,T,(,或,T,),则,tan,=AT,(,或,AT,),.,我们把轴上向量,分别叫做,余弦线,、,正弦线,和,正切线,.,当角,终边在,x,轴上时,点,P,与点,M,重合,点,T,与点,A,重合,此时,正弦线和正切线都变成了一点,它们数量为零,而余弦线,OM=,1,或,-,1,.,当角,终边在,y,轴上时,正弦线,MP=,1,或,-,1,余弦线变成了一点,它表示数量为零,正切线不存在,.,(2),三角函数线方向表示三角函数值符号,:,正弦线、正切线方向同,y,轴一致,向,上,为正,向,下,为负,;,余弦线方向同,x,轴一致,向,右,为正,向,左,为负,.,三角函数线长度等于所表示三角函数值,绝对值,.,5/33,1,2,【做一做,2,-,1,】,如图,在单位圆中,角,正弦线、正切线完全正确是,(,),答案,:,C,6/33,1,2,【做一做,2,-,2,】,如图,你从图中可得到什么信息,?,(1),点,P,坐标是,;,7/33,1,.,三角函数线作用,剖析,三角函数线在处理相关三角函数问题时,含有实用性、简捷性、直观性等特点,.,我们在使用时主要从形角度对待三角函数线,.,三角函数线是三角函数值直观表示形式,.,从三角函数线方向可看出三角函数值符号,从三角函数线长度可看出三角函数值绝对值大小,.,三角函数线主要作用是解三角不等式、证实三角不等式、求函数定义域及比较大小,同时它也是以后学习三角函数图象与性质基础,.,如,:,求函数,y=,log,2,(sin,x,),定义域,.,我们能够经过转化为解不等式,sin,x,0,.,解答以下,:,要使函数,y=,log,2,(sin,x,),有意义,x,取值必须满足,sin,x,0,.,8/33,则,sin,x=MP,0,.,角,x,终边在,x,轴上方,.,2,k,x,2,k,+,(,k,Z,),即函数,y=,log,2,(sin,x,),定义域是,(2,k,2,k,+,),k,Z,.,我们依据角能作出角三角函数线,反过来,我们也能够依据三角函数值去找角终边,从而找到角取值范围,.,观察三角函数线改变,我们知道,:,当角,由,0,增加到,2,时,sin,在第一、四象限都是增函数,在第二、三象限都是减函数,;,cos,在第一、二象限都是减函数,在第三、四象限都是增函数,;,tan,在各个象限内均是增函数,.,观察三角函数线改变,还能够得出,:,当,R,时,sin,cos,值域为,-,1,1,tan,值域为,R,.,9/33,归纳总结,三角函数线是利用数形结合思想处理相关三角函数问题主要工具,要注意经过平时经验积累,掌握三角函数线应用,.,10/33,11/33,12/33,题型一,题型二,题型三,题型四,分析,利用单位圆中三角函数线作法作图,.,13/33,题型一,题型二,题型三,题型四,图,(1),图,(2),14/33,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,1,.,正弦线、余弦线、正切线这三条有向线段中,有两条在单位圆内,有一条在单位圆外,.,2,.,三条有向线段正负,:,三条有向线段凡与,x,轴或,y,轴正方向同向为正值,与,x,轴或,y,轴正方向反向为负值,.,3,.,三条有向线段书写,:,有向线段起点字母在前面,终点字母在后面,.,15/33,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,16/33,题型一,题型二,题型三,题型四,17/33,题型一,题型二,题型三,题型四,18/33,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,三角函数线在处理一些与三角函数相关不等式、比较大小等问题时十分快捷有效,所以我们要能熟练地画出一个角三角函数线,结合图形对比得出结论,.,这也是数形结合思想很好表达,.,19/33,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,2,】,若,则以下各式错误是,(,填序号,),.,sin,+,cos,0;,|,sin,|,0,.,解析,:,画出单位圆如右图,借助三角函数线进行判断,.,由图可观察出,当,时,sin,0,cos,0,且,|,sin,|,1,.,综上,有,|,sin,|+|,cos,|,1,.,27/33,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,4,】,设,a=,sin(,-,1),b=,cos(,-,1),c=,tan(,-,1),试比较,a,b,c,大小,.,解,:,28/33,1,2,3,4,5,答案,:,B,29/33,1,2,3,4,5,A.sin,tan,cos,B.tan,sin,cos,C.cos,sin,tan,D.sin,cos,tan,解析,:,如图,在单位圆中,作出,内一,个角,及其正弦线、余弦线、正切线,.,由图知,考虑方向可得,sin,cos,cos,x,成立,x,取值范围为,(,),答案,:,C,32/33,1,2,3,4,5,5.,分别作出以下各角正弦线、余弦线和正切线,:,33/33,