高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT.pptx

-,*,-,3.1,.,1,椭圆及其标准方程,1/30,2/30,一,二,思索辨析,一、椭圆定义,我们把平面内到两个定点,F,1,F,2,距离之和等于常数,(,大于,|F,1,F,2,|,),点集合叫作椭圆,.,这两个定点,F,1,F,2,叫作椭圆,焦点,两个焦点,F,1,F,2,间距离叫作椭圆,焦距,.,尤其提醒,1,.,当动点,M,满足,|MF,1,|+|MF,2,|=,常数,|F,1,F,2,|,时,动点,M,轨迹为椭圆,;,2,.,当动点,M,满足,|MF,1,|+|MF,2,|=,常数,=|F,1,F,2,|,时,动点,M,轨迹为以,F,1,F,2,为两端点线段,;,3,.,当动点,M,满足,|MF,1,|+|MF,2,|=,常数,|F,1,F,2,|,条件,只有,C,选项满足,所以选,C,.,答案,:,C,4/30,一,二,思索辨析,二、椭圆标准方程,5/30,一,二,思索辨析,名师点拨,1,.,椭圆标准方程中,“,标准,”,指是椭圆中心必须在原点,且以两定点所在直线为,x,轴,(,或,y,轴,),两定点所连线段垂直平分线为,y,轴,(,或,x,轴,),.,2,.,椭圆标准方程形式,:,等号左边是,“,平方,+,平方,”,右边是,“1”,.,3,.,焦点在,x,轴上,标准方程中,x,2,项分母较大,焦点在,y,轴上,标准方程中,y,2,项分母较大,所以由椭圆标准方程判断焦点位置时要依据方程中分母大小来判断,简记为,“,焦点位置看大小,焦点伴随大跑,.,”,6/30,一,二,思索辨析,A,.,4B,.,5C,.,7D,.,8,解析,:,由已知得,a,2,=m-,2,b,2,=,10,-m,又焦距为,4,c=,2,m-,2,-,(10,-m,),=,4,解得,m=,8,.,答案,:,D,A,.,2B,.,4C,.,6D,.,8,解析,:,由椭圆标准方程可知,a,2,=,25,a=,5,.,由椭圆定义知,|PF,1,|+|PF,2,|=,2,a=,10,又,|PF,1,|=,6,|PF,2,|=,4,.,答案,:,B,7/30,一,二,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打,“,”,错误打,“,”,.,(1),平面内与两个定点距离和等于常数点轨迹就是椭圆,.,(,),(2),椭圆焦点只能在坐标轴上,.,(,),(4),两种椭圆方程中,有时,ab,0,有时,ba,0,.,(,),8/30,探究一,探究二,探究三,探究四,椭圆定义应用,【例,1,】,已知,B,C,是两个定点,|BC|=,6,且,ABC,周长等于,16,求顶点,A,轨迹方程,.,思维点拨,:,选取线段,BC,中点为坐标原点,建立适当直角坐标系,由,B,C,为两定点,A,为动点,研究,|AB|+|AC|,是否为定值,并比较与,|BC|,大小关系,从而判断点,A,轨迹图形形状,进而得到轨迹方程,.,9/30,探究一,探究二,探究三,探究四,解,:,如图,建立平面直角坐标系,使,x,轴经过点,B,C,原点,O,与,BC,中点重合,.,由已知,|AB|+|AC|+|BC|=,16,|BC|=,6,有,|AB|+|AC|=,10,6,即点,A,轨迹是椭圆,且,2,c=,6,2,a=,16,-,6,=,10,.,c=,3,a=,5,b,2,=,5,2,-,3,2,=,16,.,但当点,A,在直线,BC,上,即,y=,0,时,A,B,C,三点不能组成三角形,10/30,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟,找出点,A,轨迹满足,|AB|+|AC|=,10,6,后,知,A,轨迹是椭圆,用定义法求出其方程,但要注意去掉不符合题意点,(5,0),(,-,5,0),.,11/30,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练,1,过椭圆,4,x,2,+y,2,=,1,一个焦点,F,1,直线与椭圆交于,A,B,两点,F,2,是椭圆另一个焦点,求,ABF,2,周长,.,解,:,依据题意画出图形如图所表示,A,B,在椭圆,4,x,2,+y,2,=,1,上,a,2,=,1,2,a=,2,.,|AF,1,|+|AF,2,|=,2,a=,2,|BF,1,|+|BF,2,|=,2,a=,2,.,|AF,1,|+|BF,1,|+|AF,2,|+|BF,2,|=,4,即,|AB|+|AF,2,|+|BF,2,|=,4,.,ABF,2,周长为,4,.,12/30,探究一,探究二,探究三,探究四,求椭圆标准方程,【例,2,】,求适合以下条件椭圆标准方程,:,(1),两个焦点坐标分别是,(,-,4,0),(4,0),椭圆上任意一点,P,到两焦点距离和等于,10;,思维点拨,:,依据题意,先判断椭圆焦点位置,再设出椭圆标准方程,从而确定,a,b,值,.,13/30,探究一,探究二,探究三,探究四,解,:,(1),椭圆焦点在,x,轴上,c=,4,2,a=,10,b,2,=a,2,-c,2,=,9,.,(2),椭圆焦点在,y,轴上,14/30,探究一,探究二,探究三,探究四,(3),方法一,15/30,探究一,探究二,探究三,探究四,方法二,设椭圆普通方程为,Ax,2,+By,2,=,1(,A,0,B,0,A,B,),.,反思感悟,待定系数法求椭圆标准方程思绪,:,首先要,“,定位,”,即确定焦点所在坐标轴,从而确定椭圆方程类型,;,其次是,“,定量,”,即利用条件确定方程中,a,b,值,.,若不能确定焦点位置,可分类设出方程或设两种标准方程统一形式,.,统一形式,:,mx,2,+ny,2,=,1(,m,0,n,0,m,n,),或,=,1(,m,0,n,0,m,n,),.,16/30,探究一,探究二,探究三,探究四,17/30,探究一,探究二,探究三,探究四,椭圆标准方程应用,A,.,3B,.,5C,.,3,或,5D,.-,3,思维点拨,:,椭圆标准方程有两种,因为题目所给条件不能确定焦点所在坐标轴,所以需要分类讨论,.,解析,:,当焦点在,x,轴上时,a,2,=,4,b,2,=m,由,2,c=,2,得,c=,1,4,-m=,1,m=,3;,当焦点在,y,轴上时,a,2,=m,b,2,=,4,由,2,c=,2,得,c=,1,m-,4,=,1,m=,5,.,综上可知,m=,3,或,m=,5,.,答案,:,C,18/30,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟,已知椭圆方程求焦点坐标时,先确定所给方程是否为标准方程,若不是,需化为标准方程,再依据椭圆标准方程确定,a,b,c,值,.,19/30,探究一,探究二,探究三,探究四,(2),求椭圆,mx,2,+y,2,=m,(,m,0),焦点坐标,.,20/30,探究一,探究二,探究三,探究四,21/30,探究一,探究二,探究三,探究四,焦点三角形问题,【例,4,】,已知椭圆,(,ab,0),上一点,P,F,1,F,2,为椭圆焦点,若,F,1,PF,2,=,求,PF,1,F,2,面积,.,思维点拨,:,依据椭圆定义可知,|PF,1,|+|PF,2,|=,2,a,两边平方可得,|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,+,2,|PF,1,|,|PF,2,|=,4,a,2,.,在,PF,1,F,2,中,由余弦定理得,|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,-,2,|PF,1,|,|PF,2,|,cos,F,1,PF,2,=,4,c,2,两式相减可求,22/30,探究一,探究二,探究三,探究四,解,:,如图,由椭圆定义,得,|PF,1,|+|PF,2,|=,2,a.,而在,PF,1,F,2,中,由余弦定理得,|PF,1,|,2,+|PF,2,|,2,-,2,|PF,1,|,|PF,2,|,cos,=|F,1,F,2,|,2,=,4,c,2,.,(,|PF,1,|+|PF,2,|,),2,-,2,|PF,1,|,|PF,2,|-,2,|PF,1,|,|PF,2,|,cos,=,4,c,2,即,4(,a,2,-c,2,),=,2,|PF,1,|,|PF,2,|,(1,+,cos,),.,反思感悟,与焦点三角形相关计算或证实,应考虑用椭圆定义及三角形中边与角关系,(,应用余弦定理或正弦定理,),来处理,.,23/30,探究一,探究二,探究三,探究四,(2),求,|PF,1,|PF,2,|,最大值,.,解,:,(1),设,|PF,1,|=m,|PF,2,|=n,由题意知,a,2,=,100,b,2,=,64,则,c,2,=a,2,-b,2,=,36,故,a=,10,c=,6,.,依据椭圆定义,有,m+n=,20,即,(,m+n,),2,-,3,mn=,144,.,24/30,探究一,探究二,探究三,探究四,(2),a=,10,依据椭圆定义,有,|PF,1,|+|PF,2,|=,20,当且仅当,|PF,1,|=|PF,2,|,时等号成立,.,|PF,1,|PF,2,|,最大值是,100,.,25/30,1 2 3 4 5,1,.,椭圆,上一点,P,到两焦点,F,1,F,2,距离之差为,2,则,PF,1,F,2,形状为,(,),A.,直角三角形,B.,锐角三角形,C.,钝角三角形,D.,等边三角形,解析,:,由,|PF,1,|+|PF,2,|=,8,|PF,1,|-|PF,2,|=,2,解得,|PF,1,|=,5,|PF,2,|=,3,.,又,|F,1,F,2,|=,4,故满足,|PF,2,|,2,+|F,1,F,2,|,2,=|PF,1,|,2,PF,1,F,2,为直角三角形,.,答案,:,A,26/30,1 2 3 4 5,2,.,已知,F,1,(,-,1,0),F,2,(1,0),是椭圆,C,两个焦点,过,F,2,且垂直于,x,轴直线交,C,于,A,B,两点,且,|AB|=,3,则,C,方程为,(,),解析,:,设出椭圆方程,依据题目条件用待定系数法求参数,.,由题意知椭圆焦点在,x,轴上,且,2,c=|F,1,F,2,|=,2,答案,:,C,27/30,1 2 3 4 5,直线,l,与椭圆相交于,A,B,两点,且,|AF,2,|,|AB|,|BF,2,|,成等差数列,则,|AB|=,.,|AF,1,|+|AF,2,|=,2,a=,2,|BF,1,|+|BF,2,|=,2,相加得,|AF,1,|+|BF,1,|+|AF,2,|+|BF,2,|=,4,|AF,2,|+|BF,2,|=,4,-|AF,1,|-|BF,1,|=,4,-|AB|.,|AF,2,|,|AB|,|BF,2,|,成等差数列,2,|AB|=|AF,2,|+|BF,2,|,28/30,1 2 3 4 5,F,1,PF,2,=,60,则,F,1,PF,2,面积为,.,解析,:,设,|PF,1,|=m,|PF,2,|=n,则,m+n=,2,a,由,4,c,2,=m,2,+n,2,-,2,mn,cos,F,1,PF,2,29/30,1 2 3 4 5,5,.,在,Rt,ABC,中,CAB=,90,AB=,2,AC=,曲线,E,过,C,点,动点,P,在,E,上运动,且保持,|PA|+|PB|,值不变,求曲线,E,方程,.,解,:,如图,以,AB,所在直线为,x,轴,线段,AB,垂直平分线为,y,轴,建立直角坐标系,.,在,Rt,ABC,中,30/30,