高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.2棱柱棱锥和棱台的结构特征省公开课一等奖新名师优质.pptx

-,*,-,1,.,1,.,2,棱柱、棱锥和棱台结构特征,1/55,1,.,了解棱柱、棱锥、棱台定义,会画棱柱、棱锥、棱台,.,2,.,认识棱柱、棱锥、棱台结构特征,并能利用这些特征描述现实生活中简单物体结构,.,3,.,掌握棱柱、棱锥、棱台平行于底面截面性质,并会在棱柱、棱锥、棱台中进行简单运算,.,2/55,1,2,3,4,1,.,多面体与截面,(1),多面体是由若干个平面多边形所围成几何体,.,围成多面体各个多边形叫做多面体,面,;,相邻两个面公共边叫做多面体,棱,;,棱和棱公共点叫做多面体,顶点,;,连接不在同一个面上两个顶点线段叫做多面体,对角线,.,按围成多面体面个数分为,:,四面体、五面体、六面体,(2),把一个多面体任意一个面延展为平面,假如其余各面都在这个平面同一侧,则这么多面体就叫做,凸多面体,.,(3),一个几何体和一个平面相交所得到平面图形,(,包含它内部,),叫做这个几何体,截面,.,3/55,1,2,3,4,名师点拨,1,.,假如没有尤其说明,我们今后所研究多面体都是凸多面体,.,2,.,多面体最少有,4,个顶点,4,个面和,6,条棱,.,3,.,截面形状与几何体形状相关,也与截该几何体这个平面位置相关,.,立体几何中许多问题,往往是经过截面将空间问题转化为平面问题进行处理,.,4/55,1,2,3,4,【做一做,1,】,长方体有,条对角线,一个多面体最少有,个面,.,答案,:,4,4,5/55,1,2,3,4,2,.,棱柱,(1),棱柱概念,.,有两个面相互平行,而且夹在这两个平行平面间每相邻两个面交线都相互,平行,这些面围成几何体叫做棱柱,.,棱柱中,两个相互平行面叫做棱柱,底面,;,其余各面叫做棱柱,侧面,;,两侧面公共边叫做棱柱,侧棱,;,底面多边形与侧面公共顶点叫做棱柱,顶点,;,棱柱两底面之间距离叫做棱柱,高,.,(2),棱柱表示法,.,用表示两底面对应顶点字母或者用,一条对角线端点两个字母来表示,.,如,:,下面棱柱能够表示为棱柱,ABCDEF-A,1,B,1,C,1,D,1,E,1,F,1,也可表示,为棱柱,AD,1,等,.,6/55,1,2,3,4,(3),棱柱分类,.,按底面多边形,边数,分为,:,三棱柱、四棱柱、五棱柱,棱柱又分为斜棱柱和直棱柱,.,侧棱与底面不垂直棱柱叫做,斜,棱柱,侧棱与底面垂直棱柱叫做,直,棱柱,底面是正多边形直棱柱叫做,正棱柱,底面是平行四边形棱柱叫做,平行六面体,侧棱与底面垂直平行六面体叫做,直平行六面体,底面是矩形直平行六面体是,长方体,棱长都相等长方体是,正方体,.,7/55,1,2,3,4,归纳总结,1,.,在四棱柱中,应掌握好以下关系,:,用图示表示以下,:,8/55,1,2,3,4,2,.,正棱柱性质,:,(1),正棱柱两个底面是全等正多边形,;,(2),正棱柱侧面是全等矩形,;,(3),正棱柱全部侧棱都相等,;,(4),与底面平行截面是一个与底面全等正多边形,.,9/55,1,2,3,4,【做一做,2,-,1,】,四棱柱有,(,),A.4,条侧棱,4,个顶点,B.8,条侧棱,4,个顶点,C.4,条侧棱,8,个顶点,D.6,条侧棱,8,个顶点,答案,:,C,10/55,1,2,3,4,【做一做,2,-,2,】,以下三种说法中,正确个数为,(,),侧棱垂直于底面棱柱是直棱柱,;,底面是正多边形棱柱是正棱柱,;,棱柱侧面都是平行四边形,.,A.0B.1C.2D.3,解析,:,由直棱柱定义,知,正确,;,由正棱柱定义,知底面是正多边形直棱柱是正棱柱,故,错误,;,由棱柱定义知其侧面都是平行四边形,故,正确,.,答案,:,C,11/55,1,2,3,4,3,.,棱锥,(1),棱锥概念,.,有一个面为,多边形,其余各面都是,有一个公共顶点三角形,这些面围成几何体叫做棱锥,.,棱锥中有公共顶点各三角形,叫做棱锥,侧面,;,各侧面公共顶点叫做棱锥,顶点,;,相邻两侧面公共边叫做棱锥,侧棱,;,多边形叫做棱锥,底面,;,顶点到底面距离,叫做棱锥,高,.,12/55,1,2,3,4,(2),棱锥表示法,.,用表示顶点和底面各顶点字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点字母来表示,.,如上面棱锥可表示为,:,棱锥,S,-ABCD,或棱锥,S,-AC.,(3),棱锥分类,.,按底面多边形,边数,分为,:,三棱锥、四棱锥、五棱锥,(4),正棱锥概念,.,假如棱锥底面是,正多边形,且它顶点在过底面中心且与底面,垂直,直线上,则这个棱锥叫做正棱锥,.,正棱锥各侧面都是全等,等腰三角形,这些等腰三角形底边上高都相等,叫做棱锥,斜高,.,13/55,1,2,3,4,知识拓展,1,.,只有正棱锥才有斜高,其它棱锥顶点到各底边垂线段不都等长,.,2,.,正棱锥中有几个主要特征直角三角形,利用它们能够把许多立体几何问题转化为平面几何问题处理,.,如图所表示,在正棱锥中,点,O,为底面中心,M,是,CD,中点,则,SOM,SOC,均是直角三角形,常把一些量归结到这些直角三角形中去计算,.,很显著,SMC,OMC,也是直角三角形,.,14/55,1,2,3,4,【做一做,3,-,1,】,在四棱锥四个侧面中,直角三角形最多可有,(,),A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,答案,:,D,15/55,1,2,3,4,【做一做,3,-,2,】,正四棱锥,S,-ABCD,全部棱长都等于,a,过不相邻两条侧棱作截面,SAC,如图,则截面面积为,(,),16/55,1,2,3,4,答案,:,C,17/55,1,2,4,3,4,.,棱台,(1),棱台概念,.,棱锥被,平行,于底面平面所截,截面,和,底面,间部分叫做棱台,.,原棱锥底面和截面分别叫做棱台,下底面,和,上底面,;,其它各面叫做棱台,侧面,;,相邻两侧面公共边叫做棱台,侧棱,;,底面多边形与侧面公共顶点叫做棱台,顶点,;,两底面间距离叫做棱台,高,.,18/55,1,2,4,3,(2),棱台表示法,.,可用表示上、下底面各顶点字母或者用一条对角线端点两个字母表示棱台,.,如上面棱台可表示为,:,棱台,ABCD,-A,1,B,1,C,1,D,1,或棱台,AC.,(3),棱台分类,.,按底面多边形,边数,分为,:,三棱台、四棱台、五棱台,(4),正棱台概念,.,由,正棱锥,截得棱台叫做正棱台,.,正棱台各侧面都是全等,等腰梯形,这些等腰梯形高叫做正棱台,斜高,.,19/55,1,2,4,3,知识拓展,在正棱台中,有三个主要直角梯形,两底面中心连线、对应边心距和斜高组成一个直角梯形,;,两底面中心连线、侧棱和两底面对角线二分之一组成一个直角梯形,;,斜高、侧棱和上、下两底面边长二分之一组成一个直角梯形,.,正棱台计算问题,常转化为这几个直角梯形计算问题,.,20/55,1,2,4,3,【做一做,4,】,棱台不含有性质是,(,),A.,两底面相同,B.,侧面都是梯形,C.,侧棱都平行,D.,侧棱延长后都交于一点,答案,:,C,21/55,1,2,1,.,棱柱、棱锥、棱台定义和结构特征比较,剖析,:,22/55,1,2,23/55,1,2,名师点拨,图,1,.,在棱柱中,有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形,但不能认为,:“,有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形多面体就是棱柱,”,这一说法是错误,.,如图,是由两个三棱柱叠放在一起形成几何体,这个几何体不是棱柱,.,这是因为即使上、下两个面平行,不过四边形,ABB,1,A,1,与四边形,A,1,B,1,B,2,A,2,不在一个平面内,所以多边形,ABB,1,B,2,A,2,A,1,不是一个平面图形,它更不是一个平行四边形,所以这个几何体不是一个棱柱,.,所以棱柱定义中强调,“,其余各面是四边形,而且每相邻两个四边形公共边都相互平行,”.,24/55,1,2,图,2,.,在棱锥中,有一个面是多边形,其余各面都是三角形,.,但不能说,:“,有一个面是多边形,其余各面都是三角形几何体就是棱锥,”,比如,在如图,多面体中,有一个面是四边形,ABCD,其余各面都是三角形,:,PAB,PAD,POD,ODC,POB,OCB,因为这些三角形没有公共顶点,所以它不是棱锥,.,25/55,1,2,图,3,.,棱台中有两个面相互平行,其余各面是梯形,但不能认为,:“,有两个面相互平行,其余各面都是梯形几何体就是棱台,.,”,这是因为其侧棱延长后不一定相交于一点,比如,如图,几何体就不是棱台,.,4,.,尤其注意,棱柱中两个底面不一定就是上、下两个面,也可能是左、右两个面或前、后两个面,.,26/55,1,2,2,.,教材中,“,思索与讨论,”,怎样判断一个多面体是棱台,?,剖析,:,要判断一个多面体是不是棱台,首先看两个底面是否平行,其次把侧棱延长后看是否相交于一点,这两条都满足几何体才是棱台,.,27/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例,1,】,如图,长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,.,(1),这个长方体是棱柱吗,?,假如是,是几棱柱,?,为何,?,(2),用平面,BCNM,把这个长方体分成两部分,各部分形成几何体还是棱柱吗,?,假如是,是几棱柱,并用符号表示,;,假如不是,说明理由,.,(,提醒,:,依据后面将要学习线面平行性质定理,能够证实,BC,MN,且,BC=MN,),28/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,分析,:,依据棱柱定义及结构特征进行分析判断,.,解,:,(1),长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,是棱柱,且是四棱柱,.,因为平面,ABCD,与平面,A,1,B,1,C,1,D,1,平行,且其余各面都是四边形,且,AA,1,BB,1,CC,1,DD,1,相互平行,.,(2),用平面,BCNM,把这个长方体分成两部分,其中一部分有两个平行平面,BB,1,M,与平面,CC,1,N,其余各面都是四边形,而且每相邻两个四边形公共边相互平行,符合棱柱定义,所以是三棱柱,可用符号表示为三棱柱,BB,1,M-CC,1,N,;,另一部分有两个平行平面,ABMA,1,与平面,DCND,1,其余各面都是四边形,而且每相邻两个四边形公共边相互平行,符合棱柱定义,所以是四棱柱,可用符号表示为四棱柱,ABMA,1,-DCND,1,.,29/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思,判断一个几何体是否是棱柱关键是看该几何体是否满足棱柱概念,尤其是看其是否存在两个相互平行面,.,30/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练,1,】,以下几何体是棱柱有,(,),A.5,个,B.4,个,C.3,个,D.2,个,31/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解析,:,棱柱结构特征有三个方面,:,有两个面相互平行,;,其余各面是平行四边形,;,这些平行四边形面中,每相邻两个面公共边都相互平行,.,当一个几何体同时满足这三个方面结构特征时,这个几何体才是棱柱,.,很显著,几何体,均不符合,仅有,符合,.,答案,:,D,32/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例,2,】,判断以下说法是否正确,?,为何,?,(1),棱锥全部面能够全部是三角形,;,(2),三棱锥中任何一个顶点都可作为棱锥顶点,任何一个面都可作为棱锥底面,;,(3),一个棱锥最少有四个面,;,(4),假如四棱锥底面是正方形,那么其四条侧棱都相等,;,(5),棱锥被一个平面所截,一定得到一个棱锥和一个棱台,;,(6),正棱锥侧面全是正三角形,.,33/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,分析,:,按照棱锥、正棱锥定义及结构特征分析判断,.,解,:,(1),正确,.,三棱锥全部面都是三角形,.,(2),正确,.,三棱锥中每个顶点均可作为顶点,每个面均可作为棱锥底面,.,(3),正确,.,全部棱锥中,三棱锥面数最少,有四个面,.,(4),不正确,.,四棱锥底面是正方形,它侧棱能够相等,也能够不相等,.,(5),不正确,.,只有当棱锥被与其底面平行平面所截时,才能截得一个棱锥和一个棱台,.,(6),不正确,.,正棱锥侧面一定是等腰三角形,但不一定是正三角形,.,34/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思,在判断这些命题真假时,除结合相关定义、性质外,还要善于借助常见模型进行判断分析,并会列举恰当反例,.,35/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练,2,】,一个三棱锥,假如它底面是直角三角形,那么它三个侧面,(,),A.,必定都不是直角三角形,B.,至多有一个直角三角形,C.,至多有两个直角三角形,D.,可能都是直角三角形,解析,:,如图,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,三棱锥,A,1,-ABC,底面,ABC,是直角三角形,三个侧面也都是直角三角形,故选,D,.,答案,:,D,36/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例,3,】,在以下几何体中,是台体是,(,),A.,B.,C.,D.,分析,:,依据棱台定义进行判断,.,解析,:,中各侧棱延长线不能交于一点,不是台体,;,中即使侧棱延长后能交于一点,但上底面不平行于下底面,不是台体,;,中各侧棱延长后交于一点且两底面相互平行,是棱台,.,答案,:,C,37/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思,在判断一个几何体是不是棱台时,一定要依据棱台定义,看其是否满足两个条件,:,一是观察其各侧棱延长后能否交于一点,;,二是观察其两个底面是否平行,.,38/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练,3,】,以下描述中,是棱台性质是,.,(,填序号,),两底面平行,;,侧面都是梯形,;,侧棱都相等,且平行,;,侧棱延长后都交于一点,;,底面不可能为三角形,.,解析,:,棱台是由棱锥截得,截面与底面平行,正确,;,棱台侧面都是梯形,正确,;,错误,;,棱台侧棱延长后必交于一点,正确,;,由三棱锥截得棱台为三棱台,其底面是三角形,错误,.,答案,:,39/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例,4,】,正四棱台上、下底面面积分别为,4,16,一侧面面积为,12,分别求该棱台斜高、高、侧棱长,.,解,:,如图,设,O,O,分别为上、下底面中心,即,OO,为正四棱台高,E,F,分别为,BC,BC,中点,所以,EF,BC,EF,为斜高,.,由上底面面积为,4,上底面为正方形,可得,BC=,2;,同理,BC=,4,.,因为四边形,BCCB,面积为,12,40/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,过,B,作,BH,BC,交,BC,于点,H,则,BH=BF-BE=,2,-,1,=,1,BH=EF=,4,.,反思,本题由正四棱台性质可知,:,上、下底面都是正方形,侧面是全等等腰梯形,即可得出上、下底边及斜高长,;,再由两个直角梯形便可计算出侧棱、高,.,故解题时应注意优先分析几何图形关系,降低盲目性,.,41/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,42/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,43/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例,5,】,如图,在正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,AB=,3,AA,1,=,4,.M,为,AA,1,中点,P,是,BC,上一点,且由,P,沿棱柱侧面经过棱,CC,1,到,M,最短路,44/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,分析,:,把三棱柱侧面展开后放在平面上,经过列方程来求出点,P,到点,C,距离,即确定了点,P,位置,.,解,:,把该三棱柱侧面展开后如图所表示,.,设,CP=x,则,AP=,3,+x.,依据已知可得方程,2,2,+,(3,+x,),2,=,29,.,解得,x=,2(,负值舍去,),.,则点,P,为,BC,三等分点,且靠近点,B.,45/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思,处理空间几何体表面上两点间最短线路问题,普通都是将空间几何体表面展开,转化为求平面内两点间线段长,这表达了数学中转化思想,.,46/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练,5,】,如图,正三棱锥,V-ABC,侧棱长为,1,AVB=,40,E,和,F,分别是棱,VB,和,VC,上点,求,AEF,周长最小值,.,47/55,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解,:,如图,将三棱锥沿侧棱,VA,展开,将其侧面展开图平铺在一个平面上,则线段,AA,1,长度即为,AEF,周长最小值,.,取,AA,1,中点,D,连接,VD,则,VD,AA,1,AVD=,60,于是,VAD=,30,.,48/55,1,2,3,4,5,1.,在以下几何体中,属于棱台是,(,),解析,:,选项,A,中几何体四条侧棱延长后不相交于一点,;,选项,B,和选项,C,中几何体截面不平行于底面,;,只有选项,D,中几何体符合棱台定义与特征,.,答案,:,D,49/55,1,2,3,4,5,2.,以下命题中正确是,(,),A.,棱柱面中,最少有两个面相互平行,B.,棱柱中两个相互平行平面一定是棱柱底面,C.,在平行六面体中,任意两个相正确面均相互平行,但平行六面体任意两个相正确面不一定可看成它底面,D.,棱柱侧面是平行四边形,但它底面一定不是平行四边形,解析,:,由棱柱结构特征进行判断,.,答案,:,A,50/55,1,2,3,4,5,3.,如图,正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,各棱长都是,2,E,F,分别是,AB,A,1,C,1,中点,则,EF,长是,(,),51/55,1,2,3,4,5,解析,:,如图所表示,取,AC,中点,G,连接,EG,FG,则易得,FG=,2,EG=,1,故,答案,:,C,52/55,1,2,3,4,5,4.,如图,在三棱台,ABC-ABC,中,截去三棱锥,A-ABC,则剩下部分几何体是一个,.,解析,:,剩下几何体是四棱锥,A-BCCB.,答案,:,四棱锥,53/55,1,2,3,4,5,54/55,1,2,3,4,5,解,:,如图,设正三棱锥为,S-ABC,O,为底面,ABC,中心,D,为,BC,边中点,连接,OC,OD,SO,SD,55/55,