高考数学复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖.pptx

,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第三节平面向量数量积与平面向量应用举例,1/38,总纲目录,教材研读,1.,平面向量数量积,考点突破,2.,向量数量积性质,3.,向量数量积运算律,考点二平面向量数量积应用,考点一平面向量数量积运算,4.,平面向量数量积坐标表示,考点三平面向量与三角函数综合问题,2/38,1.平面向量数量积,(1)向量,a,与,b,夹角:,已知两个非零向量,a,b,过,O,点作,=,a,=,b,则,AOB,=,(0,180,)叫做向量,a,与,b,夹角.,当,=90,时,a,与,b,垂直,记作,a,b,;,当,=0,时,a,与,b,同向;,当,=180,时,a,与,b,反向.,(2),a,与,b,数量积,已知两个非零向量,a,和,b,它们夹角为,则把数量|,a,|,b,|cos,叫做,a,和,b,教材研读,3/38,数量积(或内积),记作,a,b,=,|,a,|,b,|cos,.,(3)要求0,a,=0.,(4)一个向量在另一个向量方向上投影,设,是,a,与,b,夹角,则|,a,|cos,叫做,a,在,b,方向上投影,|,b,|cos,叫做,b,在,a,方向上投影.,b,在,a,方向上投影是一个实数,而不是向量.,(5),a,b,几何意义,a,b,等于,a,长度|,a,|与,b,在,a,方向上投影|,b,|cos,乘积.,4/38,2.向量数量积性质,设,a,、,b,都是非零向量,e,是与,b,方向相同单位向量,是,a,与,e,夹角,则,(1),e,a,=,a,e,=|,a,|cos,.,(2),a,b,a,b,=0,.,(3)当,a,与,b,同向时,a,b,=|,a,|,b,|.,当,a,与,b,反向时,a,b,=-|,a,|,b,|.,尤其地,a,a,=|,a,|,2,.,(4)cos,=,.,(5)|,a,b,|,|,a,|,b,|.,5/38,3.向量数量积运算律,(1),a,b,=,b,a,.,(2)(,a,),b,=,(,a,b,)=,a,(,b,)(,R).,(3)(,a,+,b,),c,=,a,c,+,b,c,.,4.平面向量数量积坐标表示,(1)若,a,=(,x,1,y,1,),b,=(,x,2,y,2,),则,a,b,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,.,(2)若,a,=(,x,y,),则,a,a,=,a,2,=|,a,|,2,=,x,2,+,y,2,|,a,|=,.,(3)若,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则|,|=,这就是平面内,两点间距离公式.,(4)若,a,=(,x,1,y,1,),b,=(,x,2,y,2,),a,b,为非零向量,则,a,b,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0,.,6/38,1.(北京海淀二模)已知向量,a,=(1,2),b,=(2,t,),且,a,b,=0,则|,b,|=,(),A.,B.2,C.2,D.5,答案,A,a,=(1,2),b,=(2,t,)且,a,b,=0,2+2,t,=0,t,=-1.,b,=(2,-1).,故|,b,|=,.,A,7/38,2.(北京西城二模)设向量,a,=(2,1),b,=(0,-2),则与,a,+2,b,垂直向量能够,是,(),A.(3,2)B.(3,-2),C.(4,6)D.(4,-6),答案,A由题意,可知,a,+2,b,=(2,-3).利用两非零向量数量积为0可推出,两向量垂直,检验四个选项,只有A符合题意.,A,8/38,3.若非零向量,a,b,满足|,a,|=|,b,|,(2,a,+,b,),b,=0,则,a,与,b,夹角为,(),A.30,B.60,C.120,D.150,答案,C设,a,与,b,夹角为,(2,a,+,b,),b,=0,2,a,b,+,b,2,=0,2|,a,|,b,|cos,+,b,2,=0,又|,a,|=|,b,|,2|,a,|,2,cos,+|,a,|,2,=0,cos,=-,又0,180,=120,.故选C.,C,9/38,4.(北京西城高三期末)向量,a,b,在正方形网格中位置如图所表示,如,果小正方形网格边长为1,那么,a,b,=,.,10/38,4.(北京西城高三期末)向量,a,b,在正方形网格中位置如图所表示,如,果小正方形网格边长为1,那么,a,b,=,.,答案,4,4,解析,以,a,起点为坐标原点,a,方向为,x,轴正方向,建平面直角坐标,系,则,a,=(2,0),b,=(2,-1),a,b,=4.,11/38,5.(北京,9,5分)已知向量,a,=(1,),b,=(,1),则,a,与,b,夹角大小为,.,答案,解析cos=,=,=,a,与,b,夹角大小为,.,12/38,考点一平面向量数量积运算,考点突破,典例1,(1)(北京朝阳期中)已知三角形,ABC,外接圆半径为1(,O,为,圆心),且,+,=0,|,|=2|,|,则,等于,(),A.-,B.-,C.,D.,(2)(北京丰台一模)如图,在直角梯形,ABCD,中,AD,BC,ADC,=90,AD,=2,BC,=,CD,=1,P,是,AB,中点,则,=,.,13/38,答案,(1)A(2)-1,解析,(1)三角形,ABC,外接圆半径为1(,O,为圆心),且,+,=0,O,为,BC,中点,BC,为圆,O,直径,故,ABC,是直角三角形,BAC,为直,角,OA,=,OC,=1.,又|,|=2|,|,|,|=,|,|=2,|,|=,cos,C,=,=,=,.,=-,=-|,|,|cos,C,=-,2,=-,.故选A.,(2)如图,以,D,为原点,DA,所在直线为,x,轴,DC,所在直线为,y,轴建立平面直角,14/38,坐标系.,由题意知,D,(0,0),A,(2,0),B,(1,1),C,(0,1).,P,是,AB,中点,P,=,=(-1,1).,=-,+,=-1.,15/38,方法技巧,(1)求两个向量数量积有三种方法:利用定义;利用向量坐标运算;利,用数量积几何意义.,(2)处理包括几何图形向量数量积运算问题时,可先利用向量加减,运算或数量积运算律化简再运算,但一定要注意向量夹角与已知平,面角关系是相等还是互补.另外,处理这类问题时,可建立坐标系,利用,向量坐标表示求解.,16/38,1-1,(北京朝阳期中)在,ABC,中,已知,=4,|,|=3,M,N,分别是,BC,边上三等分点,则,值是,(),A.5B.,C.6D.8,C,17/38,答案,C如图,设,BC,中点为,O,连接,AO,.,由,=4,|,|=3,可得(,+,)(,+,)=(,+,)(,-,)=,-,=,-,=4,=,.,=(,+,)(,+,)=(,+,)(,-,)=,-,=,-,=6.,故选C.,18/38,1-2,(北京石景山一模)如图所表示,已知正方形,ABCD,边长为1,点,E,从,D,点出发,按字母次序,D,A,B,C,沿线段,DA,AB,BC,运动到,C,点,在此,过程中,最大值是,(),A.0B.,C.1D.-1,A,19/38,答案,A建系如图.,则,B,(0,0),C,(1,0),D,(1,1),A,(0,1).,设,E,(,x,y,)(0,x,1,0,y,1).,=(,x,-1,y,-1),=(0,1),=,y,-1(0,y,1).,当,y,=1时,有最大值,为0.,20/38,典例2,(1)已知|,a,|=1,|,b,|=2,a,与,b,夹角为,那么|4,a,-b|=,(),A.2B.6C.2,D.12,(2)(北京西城一模)已知平面向量,a,b,满足,a,=(1,-1),(,a,+,b,)(,a,-,b,),那么,|,b,|=,.,考点二平面向量数量积应用,命题角度一模问题,21/38,答案,(1)C(2),解析,(1)|4,a,-,b,|,2,=16,a,2,+,b,2,-8,a,b,=16,1+4-8,1,2,cos,=12,|4,a,-,b,|=2,.,(2)(,a,+,b,)(,a,-,b,),(,a,+,b,)(,a,-,b,)=0,即,a,2,-,b,2,=0,所以|,b,|=|,a,|=,.,22/38,命题角度二垂直问题,典例3,(北京朝阳二模)已知向量,a,=(1,2),向量,b,=(2,m,),若,a,+,b,与,a,垂,直,则实数,m,值为,.,答案,-,-,解析,a,=(1,2),b,=(2,m,),a,+,b,=(3,2+,m,).,a,+,b,与,a,垂直,(,a,+,b,),a,=0.,3+2(2+,m,)=0.,m,=-,.,23/38,典例4,(1)(课标全国,3,5分)已知向量,=,=,则,ABC,=,(),A.30,B.45,C.60,D.120,(2)已知向量,a,=(1,),b,=(3,m,).若向量,a,b,夹角为,则实数,m,=,(),A.2,B.,C.0D.-,(3)(北京朝阳二模)已知平面向量,a,b,满足(,a,+,b,)(2,a,-,b,)=-4,且|,a,|=2,|,b,|,=4,则,a,与,b,夹角等于,.,命题角度三夹角问题,24/38,答案,(1)A(2)B(3),解析,(1)cos,ABC,=,=,所以,ABC,=30,故选A.,(2),a,=(1,),b,=(3,m,),|,a,|=2,|,b,|=,a,b,=3+,m,又,a,b,夹角为,=cos,即,=,+,m,=,解得,m,=,.,(3)(,a,+,b,)(2,a,-,b,)=2|,a,|,2,+,a,b,-|,b,|,2,=-4,25/38,则,a,b,=-4-2|,a,|,2,+|,b,|,2,=4.,设,a,与,b,夹角为,0,cos,=,=,.,=,.,26/38,方法技巧,平面向量数量积求解问题策略,(1)求两向量夹角:cos,=,要注意0,.,(2)两向量垂直应用:,a,b,a,b,=0,|,a,-,b,|=|,a,+,b,|.,(3)求向量模:利用数量积求解长度问题处理方法有,a,2,=,a,a,=|,a,|,2,或|,a,|=,.,|,a,b,|=,.,若,a,=(,x,y,),则|,a,|=.,27/38,2-1,(北京西城期末)在平面直角坐标系,xOy,中,点,A,(1,3),B,(-2,k,),若,向量,则实数,k,=,(),A.4B.3C.2D.1,28/38,2-1,(北京西城期末)在平面直角坐标系,xOy,中,点,A,(1,3),B,(-2,k,),若,向量,则实数,k,=,(),A.4B.3C.2D.1,解析,A易知,=(1,3),=(-3,k,-3),=0,即1,(-3)+3(,k,-3)=0,解得,k,=4.故选A.,A,29/38,2-2,(北京朝阳一模)已知,和,是平面内两个单位向量,它们,夹角为60,则2,-,与,夹角是,(),A.30,B.60,C.90,D.120,答案,C设2,-,与,夹角为,则cos,=,因为,与,是平面内两个单位向量,所以|,|=1,|,|=1,则(2,-,),=-(2,-,),=-2,+,=-2|,|,|cos 60,+|,|,2,=0,所以cos,=0,又,0,180,所以,=90,故选C.,C,30/38,2-3,(北京海淀一模)已知单位向量,a,与向量,b,=(1,-1)夹角为,则,|,a,-,b,|=,.,答案,1,解析,b,=(1,-1),|,b,|=,.,又|,a,|=1,a,与,b,夹角为,|,a,-,b,|=,=,=,=1.,1,31/38,典例5,(北京石景山期末)已知平面向量,a,=(sin,x,cos,x,),b,=(sin,x,-cos,x,),c,=(-cos,x,-sin,x,),x,R,函数,f,(,x,)=,a,(,b,-,c,).,(1)求函数,f,(,x,)单调递减区间;,(2)若,f,=,求sin,值.,考点三平面向量与三角函数综合问题,32/38,解析,(1)因为,b,=(sin,x,-cos,x,),c,=(-cos,x,-sin,x,),所以,b,-,c,=(sin,x,+cos,x,sin,x,-cos,x,),又,a,=(sin,x,cos,x,),所以,f,(,x,)=,a,(,b,-,c,)=sin,x,(sin,x,+cos,x,)+cos,x,(sin,x,-cos,x,),则,f,(,x,)=sin,2,x,+2sin,x,cos,x,-cos,2,x,=sin 2,x,-cos 2,x,=,sin,.,则当2,k,+,2,x,-,2,k,+,k,Z,即,k,+,x,k,+,k,Z时,函数,f,(,x,)为减函数,所以函数,f,(,x,)单调递减区间是,k,Z.,33/38,(2)由(1)知,f,(,x,)=,sin,因为,f,=,所以,sin,=,sin,=,.,因为sin,2,+cos,2,=1,所以cos,=,.,sin,=sin,=sin,cos,+cos,sin,.,所以当cos,=,时,sin,=,+,=,;,当cos,=-,时,sin,=,+,=,.,34/38,方法技巧,平面向量与三角函数综合问题解题思绪,(1)题目条件给出向量坐标中含有三角函数形式时,先利用向量共,线或垂直或等式成立等,得到三角函数关系式,然后求解.,(2)当给出用三角函数表示向量坐标,要求是向量模或者其它向,量表示形式时,其解题思绪是经过向量运算,利用三角函数在定义,域内有界性,求得值域等.,35/38,3-1,已知向量,a,=,b,=,且,x,.,(1)求,a,b,及|,a,+,b,|;,(2)若,f,(,x,)=,a,b,-|,a,+,b,|,求,f,(,x,)最大值和最小值.,36/38,解析,(1),a,b,=cos,cos,-sin,sin,=cos 2,x,.,a,+,b,=,|,a,+,b,|=,=,=2|cos,x,|.,x,cos,x,0,|,a,+,b,|=2cos,x,.,(2),f,(,x,)=cos 2,x,-2cos,x,=2cos,2,x,-2cos,x,-1,=2,-,.,37/38,x,cos,x,1,当cos,x,=,时,f,(,x,)取得最小值-,;,当cos,x,=1时,f,(,x,)取得最大值-1.,38/38,