离散数学高等教育出版社配套屈婉玲耿省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,*,*,主要内容,集合基本概念,属于、包含,幂集、空集,文氏图等,集合基本运算,并、交、补、差等,集合恒等式,集合运算算律、恒等式证实方法,第二部分 集合论,第六章 集合代数,1,第1页,6.1,集合基本概念,1.集合定义,集合没有准确数学定义,了解：由离散个体组成整体称为,集合,，称这些个体为集,合,元素,常见数集：N,Z,Q,R,C 等分别表示自然数、整数、有,理数、实数、复数集合,2.集合表示法,枚举法,-经过列出全体元素来表示集合,谓词表示法,-经过谓词概括集合元素性质,实例：,枚举法 自然数集合 N=0,1,2,3,谓词法,S,=,x,|,x,是实数，,x,2,1=0,2,第2页,元素与集合,1.集合元素含有性质,无序性：元素列出次序无关,相异性：集合每个元素只计,数一次,确定性：对任何元素和集合都,能确定这个元素是否,为该集合元素,任意性：集合元素也能够是,集合,2元素与集合关系,隶属关系：,或者,3集合树型层次结构,d,A,a,A,3,第3页,集合与集合,集合与集合之间关系：,=,定义6.1,A,B,x,(,x,A,x,B,),定义6.2,A,=,B,A,B,B,A,定义6.3,A,B,A,B,A,B,A,B,x,(,x,A,x,B,),思索：,和,定义,注意,和,是不一样层次问题,4,第4页,空集、全集和幂集,1,定义6.4,空集,：不含有任何元素集合,实例：,x,|,x,R,x,2,+1=0,定理6.1,空集是任何集合子集。,证 对于任意集合,A,，,A,x,(,x,x,A,),T,(恒真命题),推论,是惟一,3.,定义6.6,全集,E,：包含了全部集合集合,全集含有相对性：与问题相关，不存在绝正确全集,2.,定义6.5,幂集,：,P,(,A,)=,x,|,x,A,实例：,P,(,)=,P,(,)=,计数：假如|,A,|=,n,，则|,P,(,A,)|=2,n,.,5,第5页,6.2,集合运算,初级运算,集合基本运算有,定义6.7,并,A,B,=,x,|,x,A,x,B,交,A,B,=,x,|,x,A,x,B,相对补,A,B,=,x,|,x,A,x,B,定义6.8,对称差,A,B,=(,A,B,),(,B,A,),定义6.9,绝对补,A,=,E,A,6,第6页,文氏图,集合运算表示,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,B,A,7,第7页,几点说明,并和交运算能够推广到有穷个集合上，即,A,1,A,2,A,n,=,x,|,x,A,1,x,A,2,x,A,n,A,1,A,2,A,n,=,x,|,x,A,1,x,A,2,x,A,n,A,B,A,B,=,A,B,=,A,B,=,A,8,第8页,广义运算,1.,集合广义并与广义交,定义6.10 广义并,A,=,x,|,z,(,z,A,x,z,),广义交,A,=,x,|,z,(,z,A,x,z,),实例,1,1,2,1,2,3=1,2,3,1,1,2,1,2,3=1,a,=,a,，,a,=,a,a,=,a,，,a,=,a,9,第9页,关于广义运算说明,2.广义运算性质,(1),=,，,无意义,(2)单元集,x,广义并和广义交都等于,x,(3)广义运算降低集合层次（括弧降低一层）,(4)广义运算计算：普通情况下能够转变成初级运算,A,1,A,2,A,n,=,A,1,A,2,A,n,A,1,A,2,A,n,=,A,1,A,2,A,n,3.引入广义运算意义,能够表示无数个集合并、交运算，比如,x,|,x,R=R,这里 R 代表实数集合.,10,第10页,运算优先权要求,1 类运算：初级运算,，,优先次序由括号确定,2 类运算：广义运算和,运算，,运算由右向左进行,混合运算：2 类运算优先于1 类运算,例1,A,=,a,a,b,，计算,A,(,A,A,).,解：,A,(,A,A,),=,a,b,(,a,b,a,),=(,a,b,),(,a,b,),a,),=(,a,b,),(,b,a,)=,b,11,第11页,有穷集合元素计数,1.文氏图法,2.包含排斥原理,定理6.2,设集合,S,上定义了,n,条性质，其中含有第,i,条性质,元素组成子集,A,i,那么集合中不含有任何性质元素数为,推论,S,中最少含有一条性质元素数为,12,第12页,实例,例2,求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整,除，也不能被8整除数有多少个？,解 方法一：文氏图,定义以下集合：,S,=,x,|,x,Z,1,x,1000,A,=,x,|,x,S,x,可被5整除,B,=,x,|,x,S,x,可被6整除,C,=,x,|,x,S,x,可被8整除,画出文氏图，然后填入对应数字，解得,N=1000,(200+100+33+67),=600,13,第13页,实例,方法二,|,S,|=1000,|,A,|=,1000/5,=200,|,B,|=,1000/6,=166,|,C,|=,1000/8,=125,|,A,B,|=,1000/lcm(5,6),=,1000/33,=33,|,A,C,|=,1000/lcm(5,8),=,1000/40,=25,|,B,C,|=,1000/lcm(6,8),=,1000/24,=41,|,A,B,C,|=,1000/lcm(5,6,8),=,1000/120,=8,=1000,(200+166+125)+(33+25+41),8=600,14,第14页,6.3,集合恒等式,集合算律,1只包括一个运算算律：,交换律,、,结合律,、,幂等律,交换,A,B,=,B,A,A,B,=,B,A,A,B,=,B,A,结合,(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),(,A,B,),C,=,A,(,B,C,),幂等,A,A,=,A,A,A,=,A,15,第15页,集合算律,2包括两个不一样运算算律：,分配律、吸收律,与,与,分配,A,(,B,C,)=,(,A,B,),(,A,C,),A,(,B,C,)=,(,A,B,),(,A,C,),A,(,B,C,),=(,A,B,),(,A,C,),吸收,A,(,A,B,)=,A,A,(,A,B,)=,A,16,第16页,集合算律,3包括补运算算律：,DM律,，,双重否定律,D,.,M,律,A,(,B,C,)=(,A,B,),(,A,C,),A,(,B,C,)=(,A,B,),(,A,C,),(,B,C,)=,B,C,(,B,C,)=,B,C,双重否定,A,=,A,17,第17页,集合算律,4包括全集和空集算律：,补元律,、,零律,、,同一律,、,否定律,E,补元律,A,A,=,A,A,=,E,零律,A,=,A,E,=,E,同一律,A,=,A,A,E,=,A,否定,=,E,E,=,18,第18页,集合证实题,证实方法：命题演算法、等式置换法,命题演算证实法书写规范(以下,X,和,Y,代表集合公式),(1)证,X,Y,任取,x,，,x,X,x,Y,(2)证,X,=,Y,方法一 分别证实,X,Y,和,Y,X,方法二,任取,x,，,x,X,x,Y,注意：在使用方法二格式时，必须确保每步推理都是充,分必要,19,第19页,集合等式证实,方法一：命题演算法,例3,证实,A,(,A,B,)=,A,（吸收律）,证 任取,x,x,A,(,A,B,),x,A,x,A,B,x,A,(,x,A,x,B,),x,A,所以得,A,(,A,B,)=,A.,例4,证实,A,B,=,A,B,证 任取,x,x,A,B,x,A,x,B,x,A,x,B,x,A,B,所以得,A,B,=,A,B,20,第20页,等式代入法,方法二：等式置换法,例5,假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证实吸,收律.,证,A,(,A,B,),=(,A,E,),(,A,B,)（同一律）,=,A,(,E,B,)（分配律）,=,A,(,B,E,)（交换律）,=,A,E,（零律）,=,A,（同一律）,21,第21页,包含等价条件证实,例6,证实,A,B,A,B,=,B,A,B,=,A,A,B,=,证实思绪：,确定问题中含有命题：本题含有命题,确定命题间关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证实结论）：本题中每个命题都能够作为已知条件，每个命题都是要证实结论,确定证实次序：,，,，,，,按照次序依次完成每个证实（证实集合相等或者包含）,22,第22页,证实,证实,A,B,A,B,=,B,A,B,=,A,A,B,=,证 ,显然,B,A,B,，下面证实,A,B,B,.,任取,x,，,x,A,B,x,A,x,B,x,B,x,B,x,B,所以有,A,B,B,.综合上述得证.,A,=,A,(,A,B,),A,=,A,B,(由知,A,B,=,B,，将,A,B,用,B,代入),23,第23页,假设,A,B,即,x,A,B,，那么知道,x,A,且,x,B,.而,x,B,x,A,B,从而与,A,B,=,A,矛盾.,假设,A,B,不成立，那么,x,(,x,A,x,B,),x,A,B,A,B,与条件矛盾.,证实,24,第24页,第六章 习题课,主要内容,集合两种表示法,集合与元素之间隶属关系、集合之间包含关系区分与联络,特殊集合：空集、全集、幂集,文氏图及有穷集合计数,集合,等运算以及广义,运算,集合运算算律及其应用,25,第25页,基本要求,熟练掌握集合两种表示法,能够判别元素是否属于给定集合,能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系,熟练掌握集合基本运算（普通运算和广义运算）,掌握证实集合等式或者包含关系基本方法,26,第26页,练习,1,1判断以下命题是否为真,(1),(2),(3),(4),(5),a,b,a,b,c,a,b,c,(6),a,b,a,b,c,a,b,(7),a,b,a,b,a,b,(8),a,b,a,b,a,b,解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假.,27,第27页,方法分析,(1)判断元素,a,与集合,A,隶属关系是否成立基本方法：,把,a,作为整体检验它在,A,中是否出现，注意这里,a,可,能是集合表示式.,(2)判断,A,B,四种方法,若,A,B,是用枚举方式定义，依次检验,A,每个元素是否在,B,中出现.,若,A,B,是谓词法定义，且,A,B,中元素性质分别为,P,和,Q,那么“若,P,则,Q,”意味,A,B,，“,P,当且仅当,Q,”意味,=,经过集合运算判断,A,B,，即,A,B,=,B,A,B,=,A,A,B,=,三个等式中有一个为真.,经过文氏图判断集合包含（注意这里是判断，而不是证实,28,第28页,练习,2,2设,S,1,=1,2,8,9，,S,2,=2,4,6,8,S,3,=1,3,5,7,9,S,4,=3,4,5,S,5,=3,5,确定在以下条件下,X,是否与,S,1,S,5,中某个集合相等？假如是，又与哪个集合相等？,（1）若,X,S,5,=,（2）若,X,S,4,但,X,S,2,=,（3）若,X,S,1,且,X,S,3,（4）若,X,S,3,=,（5）若,X,S,3,且,X,S,1,29,第29页,解答,解,(1)和,S,5,不交子集不含有3和5，所以,X,=,S,2,.,(2),S,4,子集只能是,S,4,和,S,5,.因为与,S,2,不交，不能含有偶数，,所以,X,=,S,5,.,(3),S,1,S,2,S,3,S,4,和,S,5,都是,S,1,子集，不包含在,S,3,子集含有,偶数，所以,X,=,S,1,S,2,或,S,4,.,(4),X,S,3,=,意味着,X,是,S,3,子集，所以,X,=,S,3,或,S,5,.,(5)因为,S,3,是,S,1,子集，所以这么,X,不存在.,30,第30页,练习,3,3.判断以下命题真假，并说明理由.,（1）,A,B,=,A,B,=,（2）,A,(,B,C,)=(,A,B,),(,A,C,),（3）,A,A,=,A,（4）假如,A,B,=,B,，则,A,=,E,.,（5）,A,=,x,x,，则,x,A,且,x,A,.,31,第31页,解题思绪,先将等式化简或恒等变形.,查找集合运算相关算律，假如与算律相符，结果为真.,注意以下两个主要充要条件,A,B,=,A,A,B,=,A,B,=,A,B,A,B=B,A,B=A,假如与条件相符，则命题为真.,假如不符合算律，也不符合上述条件，能够用文氏图表示集合，看看命题是否成立.假如成立，再给出证实.,试着举出反例，证实命题为假.,32,第32页,解答,解,(1),B,=,是,A,B,=,A,充分条件，但不是必要条件.当,B,不空但,是与,A,不交时也有,A,B,=,A,.,(2)这是DM律，命题为真.,(3)不符合算律，反例以下：,A,=1，,A,A,=,，不过,A,.,(4)命题不为真.,A,B,=,B,充分必要条件是,B,A,，不是,A,=,E,.,(5)命题为真，因为,x,既是,A,元素，也是,A,子集,33,第33页,练习,4,4证实,A,B,=,A,C,A,B,=,A,C,B,=,C,解题思绪,分析命题：含有3个命题：,A,B,=,A,C,A,B,=,A,C,B,=,C,证实要求,前提：命题和,结论：命题,证实方法：,恒等式代入,反证法,利用已知等式经过运算得到新等式,34,第34页,解答,方法一：恒等变形法,B,=,B,(,B,A,)=,B,(,A,B,),=,B,(,A,C,)=(,B,A,),(,B,C,),=(,A,C,),(,B,C,)=(,A,B,),C,=(,A,C,),C,=,C,方法二：反证法.,假设,B,C,，则存在,x,(,x,B,且,x,C,),或存在,x,(,x,C,且,x,B,).,不妨设为前者.,若,x,属于,A,，则,x,属于,A,B,但,x,不属于,A,C,，与已知矛盾；,若,x,不属于,A,，则,x,属于,A,B,但,x,不属于,A,C,，也与已知矛盾.,35,第35页,解答,方法三：利用已知等式经过运算得到新等式.,由已知等式和能够得到,(,A,B,),(,A,B,)=(,A,C,),(,A,C,),即,A,B,=,A,C,从而有,A,(,A,B,)=,A,(,A,C,),依据结合律得,(,A,A,),B,=(,A,A,),C,因为,A,A,=,化简上式得,B,=,C,.,36,第36页,练习,5,5设,A,B,为集合，试确定以下各式成立充分必要条件：,(1),A,B,=,B,(2),A,B,=,B,A,(3),A,B,=,A,B,(4),A,B,=,A,37,第37页,分析,解题思绪:,求解集合等式成立充分必要条件可能用到集合算律、不一样集合之间包含关系、以及文氏图等.详细求解过程说明以下：,(1)化简给定集合等式,(2)求解方法以下：,利用已知算律或者充分必要条件进行判断,先求必要条件，然后验证充分性,利用文氏图直观性找出相关条件，再利用集合论证实方法加以验证,38,第38页,解答,解,(1),A,B,=,B,A,=,B,=,.求解过程以下：,由,A,B,=,B,得,(,A,B,),B,=,B,B,化简得,B,=,.再将这个结果代入原来等式得,A,=,.从,而得到必要条件,A,=,B,=,.,再验证充分性.假如,A,=,B,=,成立，则,A,B,=,=,B,也成立.,(2),A,B,=,B,A,A,=,B,.求解过程以下：,充分性是显然，下面验证必要性.由,A,B,=,B,A,得,(,A,B,),A,=(,B,A,),A,从而有,A,=,A,B,即,A,B,.同理可证,B,A,.,39,第39页,解答,(3),A,B,=,A,B,A,=,B,.求解过程以下：,充分性是显然，下面验证必要性.由,A,B,=,A,B,得,A,(,A,B,)=,A,(,A,B,),化简得,A,=,A,B,，从而有,A,B,.类似能够证实,B,A,.,(4),A,B,=,A,B,=,.求解过程以下：,充分性是显然，下面验证必要性.由,A,B,=,A,得,A,(,A,B,)=,A,A,依据结合律有,(,A,A,),B,=,A,A,即,B,=,就是,B,=,.,40,第40页,