复变函数1.pptx

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,复变函数与积分变换,(,第二版,),华中科技大学数学系,教师 黄志祥(博士),1/74,参考教材,1.,数学物理方法(第三版),，汪德新 编，科学出版社，4月.,2.,数学物理方法与计算机仿真,，杨华军 编，电子工业出版社，7月.,3.,MATLAB及在电子信息课程中应用(第3版),，陈怀琛 等 编著,电子工业出版社,.,4.,复变函数与积分变换经典题分析解集(第二版),，李建林 编，西北工业大学出版社,1月.,01744/12,2/74,教学方式与要求,方式,板书结合PPT,源于书本稍高于书本,要求,适当做笔记,按质完成作业,3/74,复变函数,积分变换,解析函数,(,导数,),复变积分,二者关系,:,级数,留数,Fourier,变换,Laplace,变换,复变函数与积分变换主要内容,第六七章不讲,共9周36课时,4/74,复球面,5/74,4.4 罗朗级数,6/74,2.3,初等函数,指数函数,对数函数,三角函数与反三角函数,双曲函数与反双曲函数,幂函数,小结,7/74,2.3.1 指数函数,1.定义,对于复数,z,=,x,+,iy,定义指数函数为,注:,2.性质,3.举例,函数图像,8/74,2.3.2 对数函数,1.定义,2.性质,(1)多值性,主值支,(2)运算性,(3)解析性,3.举例,函数图像,作业！,9/74,2.3.3 三角函数,1.定义,注:,正、余弦函数能够大于1.,2.性质,(1)单值性,(2)周期性,(3)奇偶性,(4)三角公式,(5)解析性,函数图像,10/74,反三角函数,定义,假如,sin,w,=z,则称,w,为z反正弦函数，记为,一样，有,函数图像,均为多值函数.,11/74,2.3.4 双曲与反双曲函数,双曲函数与反双曲函数,注：,双曲函数与三角函数关系为,函数图像,Q:双曲正(余)弦单值性、,周期性、奇偶性怎样？,12/74,2.3.5 幂函数,1.定义,2.,3.举例,13/74,小结,初等函数是复变函数主要研究对像.,介绍了常见基本初等函数，注意与实变初等函数,类比,学习，着重掌握它们之间,区分.,要求:会计算基本初等函数值.,展望,第三章 复变函数积分.,14/74,结论:普通情形下幂函数为多值函数,函数图像,函数图像,互为反函数,15/74,指数函数,w=,exp(z)图像,虚部,MATLAB及在电子信息课程中应用(第3版),陈怀琛 等 编著,电子工业出版社,.,电路,信号与系统,数字信号处理,控制系统,16/74,对数函数,w=,Ln(z)图像,虚部,实部,17/74,三角函数,w=,sin(z)图像,虚部,18/74,反三角函数,w=,Arctan(z)图像,虚部,19/74,双曲正弦函数,w=,sh(z)或,w,=sinh(z)图像,虚部,20/74,幂整函数,图像,虚部,21/74,虚部,根式函数,图像,22/74,Fourier&Laplace Transform,Define,Conditions,Properties,线性性质,对称性质,延迟、位移性质,相同性质,Define,Conditions,Properties,线性性质,对称性质(无),延迟、位移性质,相同性质,23/74,Cont,卷积定理,乘积定理及,Parseval,定理,微分性质,积分性质,卷积定理,周期函数像函数,微分性质,积分性质,Def:,Def:,24/74,常见函数Fourier变换,(4).,常见广义,Fourier,变换,抽样函数,25/74,常见函数Laplace变换,Attention,:t-域函数,f(t),了解应该为t为非负！,26/74,t-域,syms t,w;figure(1);,ezplot(sin(t)./t,-50,50);,Fw=fourier(sin(t)./(t),w);,figure(2);,ezplot(Fw,-5,5),Matlab code,27/74,W-域,28/74,数学物理方程与特殊函数,东南大学数学系(第三版),29/74,主要内容,“三类经典方程”,“边界条件”,分离变量法,(有界),行波法与积分变换法,(无界),Green函数法,(有界或无界),B,essel,L,egendre,第七九章不讲 共9周36课时,求解,Sin&Cos,30/74,预备知识,1基本概念,偏微分方程,(PDE),:,含有未知多元函数及其偏导方程，如,其,中:为,多元函数,.,方程阶,:,未知函数导数最高阶数；,方程次数,:,最高阶偏导幂次；,线性方程,:,未知函数及未知函数偏导数幂次都是一次,称为,线性方程,，不然就,是非线性,；,自由项,:,不含未知函数及其导数项；,齐次方程,:,没有自由项偏微分方程称为,齐次方程,，,不然称为,非齐次,；,31/74,Cont,方程解,:,若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为,一个恒等式，则该函数为方程解；,通解,:,包含任意独立函数方程解，且独立函数,个数等于方程阶数；,特解,:,不含任意独立函数方程解.,比如：,二阶线性非齐次偏微分方程 通解为,其中，F与G为两个任意独立函数.,注意,：,通解所含独立函数个数偏微分方程阶数.,一阶非线性非齐次,PDE,二阶线性齐次,PDE,32/74,弦微小横振动,33/74,传输线方程,34/74,补充1:正交函数系,函数正交,正交函数系,常见正交函数系,Chap 2 Separate Variations,35/74,函数正交展开,完备正交系,函数广义,Fourier,级数展开,36/74,三角函数正交关系,37/74,分离变量法解物理意义,级数解中前四个驻波分量运动,38/74,分离变量法小结,第一步：分离变量.,u(x,t)=X(x)T(t),第二步：求解本征值(固有值)问题.,X(x)+BC ODE,第三步：求解,T(t),满足常微分方程.,第四步：作特解线性叠加.,第五步：由初始条件确定系数.(,三角函数正交性,),为方便记忆:,“定解条件写完整，边界条件齐次化；,五个步骤循序解，特征问题是关键”.,39/74,常见边值问题,X,+,X=0,本征函数小结,40/74,常见边值问题对应本征函数,41/74,分离变量法,抛物型方程第三类齐次边界条件,(1-D),42/74,椭圆型方程第一类齐次边界条件,(2-D),43/74,44/74,45/74,46/74,47/74,48/74,49/74,50/74,51/74,52/74,第二章总结,齐次方程齐次边界：,分离变量法,或,本征函数法,非齐次方程齐次边界：,本征函数法,非齐次边界：,先将边界齐次化后，再用本征函数展开法,53/74,数理方程分类,标准化方法,第三章 行波法与积分变换法总结,54/74,实系数型PDE方程行波解,标准型,普通型,55/74,普通强迫振动定解问题(1),56/74,普通强迫振动定解问题(2),57/74,初始条件,齐次,非齐次,达朗贝尔公式,非齐次方程,齐次方程,冲量原理,齐次方程,非齐次方程,达朗贝尔公式,分解,齐次方程+非齐初值,非齐方程+齐次初值,Chap 3.Review(无界),58/74,边界条件,齐次,非齐次,分离变量法,非齐次方程,齐次方程,特征函数法,分解,齐次边界+非齐方程,非齐边界+,已知函数,Chap 2.Review(有界),59/74,总结,PDE边界条件初始条件定解问题,先看边界，再看初始条件，综合考虑PDE,60/74,第四章,Green,函数法,(,以求解,Poisson,方程为例,),61/74,Green第二公式,62/74,圆域Green函数,Chap 4.Review(Green Function),63/74,球域Green函数,64/74,球内源点与球外像点共同作用,(Green,函数,),65/74,仅球内源点作用,66/74,Gamma,函数,67/74,补充2,：,哈密尔顿算子,直角坐标系,68/74,柱坐标系(),69/74,球坐标系(),70/74,第一类,Bessel,函数,71/74,第二类Bessel函数(Neumann),72/74,Legendre多项式,73/74,4阶连带Legendre多项式,74/74,