西南交大《有限元方法》—赵华主讲04.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第4章,变分原理,有限元法早期阶段采取直接刚度法，一个源于结构分析矩阵位移法，但只能处理些简单结构分析。,到1963，Besseling、Melosh、Jones等证实了有限元方法是基于变分原理Ritz法另一个形式：有限元方法是一个对能量泛函分块近似Ritz法，是一个在单元边界能够放松某种连续性要求变分原理。,从此被确认为处理连续介责问题一个普遍方法。,1/104,以多个变分原理为基础，能够建立各种形式有限元，如前面2章基于虚位移原理协调单元；其它如基于修正位能原理杂交单元等等。,理论上，从变分原理建立各种单元都是可行，详细应用则有收敛率、精度等原因而限用于不一样问题,本章重点介绍几个简单、相关变分原理。变分原理是建立有限元方法理论基础，亦为发展有限元方法理论源泉。,2/104,4.1变分法基础,A、泛函定义,假如对于某一类函数 中每一个函数 ，都有一个值与之对应；或者，变量对于函数 关系成立，变量 称为函数 泛函，记为：,泛函是变量与函数关系，为函数函数（非隐函数），一个广义函数。其中 称为宗量,（而函数是变量与变量之间关系）,3/104,举例短程线问题,在指定平面内连接两定点各种允许曲线中，选定一条使两点间沿该曲线距离最短曲线。,定点：,连接AB两点任一曲线弧长,能够表述为：,这里L只与曲线函数形式相关。而不直接与X相关！,4/104,寻找最短弧长曲线 形式即为变分学所要研究问题。,B、变分,泛函宗量增量在指定域中都很小时，就称之为变分。,(4.1),也为x函数，须在指定x域中是微量，,在靠近 一类函数中任意改变。,假如 与 很靠近，且函数有k阶导，也与很靠近，即其差模都很小，则 与 含有k阶靠近度。称为k阶变分。,普通认为，含有相同量级微量。,5/104,C、泛函连续性,假如对于微量改变，有对应微量改变，则称泛函为连续。,与高等数学中函数连续性定义相同，,对任一正数 ，若能够找到一个 ，并当：,能使得,，,则在,处含有k阶连续性。,6/104,D、泛函变分,定义（几何意义）：,泛函增量：由变分 所引发泛函增量，,将 分解为线性项和非线性项二部分：,为同阶或更高阶小量，,线性部分 称之为泛函变分：(4.2),7/104,泛函变分可了解为泛函增量主部。而且其主部相对于变分 为线性。,定义二（Lagrange定义）,泛函变分是 对 导数在 时值，,(4.3),8/104,E、泛函驻值,函数驻值,假如函数在 附近任意点上值都不大（小）于，即（或 ）则函数在上到达极大（或极小）值，且,，为驻点，为驻值。,对于多元函数，取极值条件：,即：,为驻点，为驻值；,极大或极小？极小；为极大。,9/104,泛函驻值,假如泛函 在任何一条与 靠近曲线上值小于（小于），即,则泛函在曲线上到达极大（或极小）值。,而且在上有驻值条件：,(4.4),与函数极值判定条件类似：,取极小值,取极大值,10/104,注意：,这里谈及极值指相正确极大或极小，是从在相靠近许多曲线中找出一个最大泛函值。,因为曲线靠近程度不一，还应详细分为曲线有几阶靠近度。,若靠近度为0阶曲线 ，泛函在 到达极值变分称为强变分。泛函极值为强极大或强极小。,若靠近度为1阶曲线 ，泛函在 到达极值变分称之为弱变分。,11/104,F、变分计算方法：,微分与变分可互调换次序,：(4.5),(4.6),积分与变分可互调换次序，设,(4.7),和：,(4.8),12/104,积：,(4.9),(4.10),商：,(4.11),13/104,G、基本预备定理,假如函数在线段上连续，且对于只满足一些普通条件任意选定函数，有,则在线段上有，,普通条件包含：,一阶或若干阶可微；在端点处为零，,14/104,对于多变量，类推；,上述，为宗量 变分。,H、泛函极值问题求解,(变分法主要步骤),最速降线问题：,当一重物沿连接不在同一铅垂线上两点 一条曲线，受重力作用自由下滑，不计摩擦力时，求在哪种曲线上下滑所需时间T最少。,15/104,问题上升：在满足固定边界（端点）条件，函数中，求泛函：,为极值函数,。,解：,、设为曲线上,任意一点，由能量守恒定律，,总势能：,16/104,运动学：设为曲线运动方程，重物沿该曲线从A运动到B点，其运动速度可表示为：,二速度v相等,：,从A到B滑行时间T，应有积分，,17/104,泛函建立：式中时间T是依赖于曲线函数函数，T称之为泛函，需求其极值。即求T取最短时间曲线函数。,、设为满足使泛函取极值解，与之相靠近函数为，其导数。,泛函增量：,作为小量，按Talyor级数展开，,18/104,当 很小，（这时与有一阶靠近度），泛函变分就为略去 二次以上高阶项后线性主部。,极值条件：,、对第一项分部积分：,19/104,因为为经过 两点含有与一阶,靠近度，即：,于是，,积分第一项：,20/104,故，,因为 为任选函数，且 ，由变分法基本定理：,、从中就可求出 。,这类从泛函变分取得微分方程,欧拉方程,21/104,变分法三个步骤,：,从物理问题建立泛函及其条件；,经过泛函变分，利用变分法基本原理求得欧拉方程；,求解欧拉方程，得到所求函数。,22/104,注意：,变分法和欧拉方程代表同一个物理问题，从变分法求近似解与从欧拉方程求近似解，效果相同。前者轻易，而后者困难；,物理方程能够从泛函变分中求得；,微分方程求解困难时，可转化为相当泛函变分求极值问题，从而采取近似方法求解；,若微分方程泛函不存在，可采取伽辽金法，加权余量法求解。,23/104,I、欧拉方程建立步骤,定义：满足给定连续性与边界条件函数称为允许函数。,变分学问题是在允许函数中求出使泛函取驻值特定函数。（满足边界条件、连续性函数即为允许函数，这里可能有没有数个允许函数。）,能够推广为：,求使泛函,在边界条件 下,取驻值函数。,24/104,考虑几何定义“泛函变分为泛函增量主部”,设正确解为 ，与 邻近任意允许函数为：,且,泛函增量,按Taylor级数展开,25/104,驻值条件为：,引入，,作分部积分，驻值条件第二项：,26/104,因为，,驻值条件第二项,于是，,由变分法基本预备定理，极值条件等价于：,（欧拉Euler方程）,27/104,讨论：,上述内容为变分原理学习中将要包括到一些基础。正如在H中讨论，变分法与Euler方程代表同一个物理问题，当微分方程求解困难时，可转化为等效泛函变分求极值问题，从而采取近似方法求解；,对弹性力学基本方程求解困难时，就可建立其相等效泛函变分问题。经过变分原理能够提供一个近似解，这是一个最有效近似解；,应注意到：泛函变分本意是指从一切允许函数中（满足给定连续性和边界条件）寻找使泛函取驻值函数，假如能确定这么一个特定函数，就找到了准确解；,28/104,实际上，寻找函数范围有限，难以包含一切允许函数，这就给问题带来了近似性。如：真解可展开为一Taylor级数，而通常只能取有限项，自然就带来了近似性；,处理弹性力学边值问题基本微分方程有二类：按位移求解或按应力争解。现有资料表明，其解析解很有限，更多问题还需借助于泛函变分求其近似解；,与位移解法对应泛函为：弹性体总势能，泛函取极小值解即为位移解；,与应力解法对应泛函为：弹性体总余能。泛函取极小值解为应力解。,29/104,4.2 虚功原理,A、功,外力 在移动位移 时，作功：,(4.12),功增量：,30/104,上式已假定力为位移之函数 ，即为泛函，且仅 一个宗量。,假如力和位移独立，则 含 2个宗量，,(4.13),则,此时存在约束条件，,31/104,普通三维结构含体力 、面力 、集中力 ，位移为，外力功能够表示为：,(4.14),为变分方便，取集中力为面力一个特例。,32/104,假定位移分量发生了几何边界所允许微小改变，,则有功增量，,(4.15),(4.16),与虚功原理中外力虚功相同？,33/104,B、余功,(4.17),仅在线弹性体条件下，图中曲线为直线时，,(4.18),给各载荷一微小增量，即一变分,34/104,余功增量：,(4.19),(4.20),35/104,C、应变能,应变抵抗外力（在外力引发应变上）所作功以变形能形式储存能量。,应变能密度：,一维：,(4.21),三维：(4.22),(4.23),当外力引发位移由 增加到 时,对应有,36/104,应变能密度增量：,(4.24),(4.25),应变能一阶变分：,(4.26),37/104,D、余应变能：,曲线上方面积即定义为余应变能密度。,余应变能密度：,(4.27),(4.28),(4.29),余应变能一阶变分,(4.30),38/104,E、虚位移原理推导,物体在给定体力，边界力条件下已处于平衡状态，我们引入几何边界条件所允许任一组无限小虚位移（即位移变分），施加在这一平衡态物体上，,在 上，,且,于是,39/104,力平衡：,力边界：,建立一包容力平衡方程、力边界条件等效积分形式：,(4.31),上式相当于结构了一个泛函驻值问题，其变分即为力平衡方程、力边界条件（类似于Euler方程，由预备定理直接转换）。,可对（4.31）式直接作分部积分。,40/104,为习惯起见，展为分量形式：,第一项：,41/104,由,再采取格林积分定理，边界上,第一项,同理，对其余各项作变换，可得到：,42/104,注意到，,而,于是,由,得到，,43/104,记为矩阵形式，,(4.32),第1项为应变能一阶变分；虚应变能；,第2、3项为功一阶变分；虚功。,即可改写上式为：,(4.33),上述为小位移情况下虚位移原理，对于满足给定几何边界条件任意无限小虚位移，上式成立。,力平衡方程、力边界条件等效积分形式即为虚功原理。,44/104,一样反推回去，能够证实虚功原理，即（应变能外力功）组成泛函一阶变分，取驻值时对应Euler方程，即为力平衡方程和力边界条件。二者是等效。,虚位移原理完整表述：假如虚位移发生前，弹性体处于平衡状态且满足力边界条件，那么在虚位移过程中，外力在虚位移上所作虚功就等于应力在虚应变上做虚功（虚应变能）。,反之亦然：假如在虚位移发生过程中，虚功等于虚应变能，那么在虚位移产生之前，结构处于平衡状态且满足力边界条件。,45/104,F、虚位移原理Euler方程,应变能一阶变分：,对其中每一项作分部积分，如第一项，,46/104,在边界上有，,47/104,由,在 上,而外力功一阶变分：,假如对于任意满足位移边界条件虚位移都有虚功原理成立，则,48/104,(4.34),因为任意性,，,上二Euler方程，恰为力平衡方程和应力边界条件！,49/104,上述推导证实：,虚位移原理与应力平衡方程、力边界条件互为充要条件！,假如给定允许虚位移满足应力边界条件，则有，,(4.35),上式为伽辽金变分方程。,其等价Euler方程为：应力平衡方程！,50/104,注意：,上述推导中，仅采取了小位移下应变位移，即几何关系、平衡方程，而未包括材料本构（应力应变）关系。,所以，对任意材料，虚功原理均成立适用，且只适于小变形问题。,51/104,4.3 最小势能（位能）原理,由（4.23）式，,即应力可由应变能对应变偏导所表述，这是含有普遍意义描述。,各向同性弹性问题：,而应变能密度（4.22），,代入应力应变关系，可直接积分出；,(4.36),注意到：为对称矩阵，为非零列阵时，,52/104,应变能密度为应变分量正定函数（仅当 为0列阵时，）。,将小位移-应变关系、即几何方程代入，应变能密度转化为关于位移分量函数，,(4.37),53/104,应变能密度一阶变分，,由(4.32)式，修改为,(4.38),功一阶变分与力变分无关，且应变能一阶变分也与应力变分无关。,这么，求 时，能够合理地假设应力、力边界均保持常数，仅研究位移改变。,（注意：表面位移约束为给定，不计入）,54/104,外力功：,(4.39),(4.40),系统总势能定义为：,(4.41),(4.42),(4.43),55/104,最小势能原理：,在全部允许位移函数中，真实位移使得系统总势能取驻值，且为最小值。,证实：,设 和 分别为真实位移、一组允许任意选择可能位移。,令，为任意微小量。,则系统总势能有增量：,(在 域内展开),56/104,其中，,略去高阶项。,在 上，为真实解，,可能位移 应满足边界条件,于是在 ，,由总势能取驻值，一阶变分,且应变能为正定函数，,仅当 导出全部应变分量为零时，,57/104,所以，,即，,因为对 未加限制，只有当，即可能位移为真实位移时，等式成立；,而对其余，可能位移造成系统总势能都必将大于真实位移下系统总势能。,这就得到结论：真实位移解使总势能取最小值。,58/104,应用举例,系统总势能：,在线性弹性条件下，,应变能密度，,59/104,单元节点位移为,单元位移模式：,单元应变：,单元内部应变能：,单元刚度：,60/104,结构内总应变能：,将全部节点位移分量重排为一列阵，按总节点编号排序,其中，,当结构分为m个单元后，总外力功即为各单元上外力功值简单代数和：,61/104,令，,则，,一样，按总节点编号排序,其中，,结构总势能：,62/104,结构总势能已经离散为节点位移多元函数，不过一个有限自由度泛函。,由泛函数值条件，即最小势能原理，,转换为多元函数极值条件，则，,结构总势能一阶变分，,最终得到有限元方程：,63/104,注意：,上式是由最小势能原理导出结构有限元方程，对于全部线弹性问题，含有普遍适用性。,与前面讨论由虚位移原理建立有限元方程相比较，其差异在于，无须引入虚拟节点力概念，不包括到单元节点力作虚功；,只要存在物理问题泛函，就能够采取有限元方法求解？,64/104,讨论：,当外载荷为集中载 ，在弹性变形过程中，由 载百分比加到 ，变形由,外力功：,应变能：,且，,而在总势能定义中，,65/104,于是，,当总势能最小时，对应应变能就为最大。,因为有限元中，对单元位移模式作了限定，相当于附加了约束，这就造成单元过于刚硬，刚性较大而变形较弱。所以最终造成应变能总是偏低，对应总势能实际上达不到其最小，达不到真解。,所以近似解结构变形能总是小于真解，基于最小势能原理有限元位移解都是偏小。,当单元尺度缩小时，变形解趋于真解呈单调趋近。数值解则给出真实解下界。,66/104,4.4 Ritz法,虚位移原理：与力平衡方程、力边界条件含有等价表现形式，是同一物理问题不一样描述，相互等效。,提供了新思绪：可将应变能表示为位移函数泛函，能够将系统总势能表示为位移函数泛函，这么就可寻找满足一定已知边界条件位移函数，只要它们能使得这一泛函取驻值，它们就成为了原始物理问题真解。,而实际上，并不能总是找到这类位移函数；不过能够轻易找到其近似函数，比如有限项多项式位移模式（且包含若干待定系数），经过变分原理，确定其待定系数，从而建立原问题近似解，这就是,位移变分法,。,67/104,由Rayleigh和Ritz提出，即为,Ritz法,标准过程：,设未知函数由一簇带有待定参数试探函数表示，,(4.44),为待定系数，为已知函数,将之代入对应问题泛函 ，泛函变分相当于将泛函对所包含待定参数进行全微分。,(4.45),泛函取驻值，因为 任意性，则全部均应等于零，从而得到一组方程：,68/104,(4.46),定则 定，问题求解。,弹性力学问题：,设位移分量,(4.47),69/104,为相互独立任意系数,；,在边界 上等于已知位移：,为线性无关函数，在边界 上满足以下条件：,这么，不论系数取何值，（4.47）假定位移总能满足位移边界条件。,位移变分可由系数变分实现：,70/104,(4.48),应变能变分：,(4.49),功变分(参见4.39式)：,(4.50),71/104,代入虚功方程：,因为完全任意性,(4.51),72/104,应变能为系数二次函数，上式即为一线性方程组，可求得全部待定系数，从而确定（4.47）式。,普通地,，对于二次泛函 ,经过取一阶变分求其驻值，可建立一组关于待定系数线性方程组：,(4.52),对变分，,(4.53),73/104,子矩阵：,则,为对阵矩阵!,直接对（4.52）作变分：,(4.54),比较(4.53)、(4.54)，则亦为,对阵矩阵！,74/104,经过变分后，待定系数矩阵为一对称矩阵，有限元方程中为对称矩阵理论依据！,Ritz法一些基本性质：,当试探函数族范围、待定系数数目增多时，近似解精度提升；,近似函数为 ，时，近似解趋于真解条件是：,试探函数应取向完全函数系列；,试探函数应满足阶连续性要求，即 中函数最高微分阶数为m时，试探函数m-1阶导数应该连续，以确保泛函积分存在。此时，才有，且 单调收敛，泛函才含有极值性。,75/104,Ritz法以变分原理为基础；收敛性有严格理论基础，且得到系数矩阵为对称，在场函数事先满足强制边界条件下，解有明确上下界性质；,问题：求解域比较复杂时，难以选择满足边界条件试探函数；要提升近似解精度，需增加待定系数，增加试探函数项数，随即增加了求解繁杂性；,76/104,伽辽金法：,在(4.34)，若选择位移表示式（4.47）除了满足位移边界条件外，也满足力边界条件，虚功原理对于任何允许位移都成立，就可导出一个新变分方程，伽辽金变分方程：,(4.55),由 任意性，（4.55）与应力平衡方程等价。,将（4.47）代入（4.55），,77/104,因为任意性，,(4.56),深入，将其中应力以应变取代、再以位移取代，即可解出待定系数。,78/104,4.5 虚位移原理，最小势能原理，Ritz法与有限单元法之联络,虚位移原理：,采取了小变形应变位移（几何）关系、平衡方程；,未包括材料应力应变（本构）关系（即物理方程）；,为应力平衡方程、力边界条件等效积分形式；,其Euler方程，即为应力平衡方程和力边界条件。,79/104,最小势能原理：,从虚位移原理出发；,引入了线弹性应力应变关系；,系统总势能，即为位移函数泛函，最小势能原理即代表了其泛函驻值；,引入弹性矩阵后，应变能为正定函数，才确保了 ,从而得到 时为最小值；,所求位移近似解对应弹性变形能为真实能下界，位移场总体偏 小。（简单了解：变形能与位移成百分比递增，当位移模式略去高阶量后，近似变形能将低于真实变形能）,80/104,Ritz法：,以虚位移原理或最小势能原理为基础；,直接假定符合条件位移函数作为允许函数，应变能转换为位移函数泛函；,经过泛函变分、位移变分、系数变分，确定位移函数待定系数；,位移函数须在整个求解域内连续，且满足（位移）几何边界条件。,81/104,有限元法：,以虚位移原理、Ritz法、或最小势能原理为基础，在Ritz法基础上发展，本质上类似于Ritz法；,位移函数只是要求在单元域内连续，在全域内并非完全连续，且仅需阶连续性；,经过泛函变分、位移变分、节点位移变分，建立有限元方程，直接求解节点位移。,82/104,4.6,加权残数法,一个直接求解控制方程近似方法。适于力学、及其它工程问题。,当不能建立与控制方程等效泛函驻值问题，即不能找到一个泛函，使其取驻值时导出Euler方程为控制方程时，就可采取这种方法来求解，并导出对应有限元方程。,设,(4.57),F、G为微分算子，待求函数，f，g不含 已知函数,83/104,选择一试探函数：,(4.58),待定系数，试探函数项（冪函数、三角函数等）,代入控制方程、边界条件后，存在误差,(4.59),怎样消除这些误差？可采取加权平均方式使得这些误差分别在求解域内、边界上总体消除，化为零值（,仅总体意义上,）,(4.60),84/104,注意：,这一方式对整个求解域是存在问题，因为并不能消除各部位误差；,实际更关心是内部各点、表面各点状态。假如将这种域缩小到每一单元内部，是有意义。,问题关键：确定权函数,求解(4.60)，即能定出待定系数,详细处理时分为几个不一样方式：,最小二乘法、伽辽金法、配点法、力矩法（积分法）,85/104,A、最小二乘法,利用误差平方和最小原理求出权函数。,设 已经满足边界条件，,则仅有域内误差：,令其平方和为最小，方差,由泛函驻值定义，,86/104,权函数：,直接求解之，得到 ，,B、伽辽金法,设权函数 即为中对应 项。,(4.60)转换为：,87/104,特征：,在多数情况下，得到求解方程系数矩阵为对称；,当存在对应泛函时，伽辽金法与变分法结果相同。,注意：,普通用加权余量法建立有限元方程时，都采取伽辽金法；且选取单元位移函数为试探函数，其形函数为权函数。,C、其它,配点法：强迫余量在域内n个点等于零值。,子域法：强迫余量在n个子域内积分为零。,力矩法：分别取权函数,88/104,例题：,求解二阶常微分方程（控制方程）,边界条件：,准确解：,设近似解：,近似解满足给定边界条件，但显然不满足微分方程，在求解域内存在余量,R,，余量加权积分在求解域内应为零值。,89/104,近似解,u,中可取一项或,n,项，项数增加，精度提升。,当,n,=1时，,代入控制方程，余量,当,n,=2时，,最小二乘法求解：,余量2次方 （即方差）在求解域内积分值为零。,令,90/104,n,=1时,91/104,n,=2时,92/104,伽辽金法求解,93/104,与准确解之比较，取详细一些,x,值。,比较之，伽辽金法含有较高精度；增加近似解项数，精度深入提升。,94/104,第四章作业,1、叙述Ritz法与有限元法相同点和主要差异。,2、利用最小势能原理推导空间四面体单元刚度方程。,3、导出对应于以下泛函驻值条件Euler方程，,式中 为宗量，为变量，C为常数，已知边界A上 。,4、由虚位移原理导出力平衡方程和应力边界条件。,5、当用一个单元模拟一简单实体时，能否求其真实解，为 什么？证实之。,95/104,96/104,97/104,98/104,99/104,100/104,101/104,102/104,103/104,104/104,