高中数学第二章平面向量复习课省公开课一等奖新名师优质课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,平面向量,1/59,【,网络体系,】,2/59,【,关键速填,】,1.,五种常见向量,(1),单位向量：模为,_,向量,.,(2),零向量：模为,_,向量,.,(3),平行,(,共线,),向量：方向,_,向量,.,(4),相等向量：模相等、方向,_,向量,(5),相反向量：模相等、方向,_,向量,1,0,相同或相反,相同,相反,3/59,2.,两个主要定理,(1),向量共线定理：向量,_,与,b,共线，当且仅当有唯一一个,实数,，使,_.,(2),平面向量基本定理：假如,e,1,，,e,2,是同一平面内两个,_,，,那么对于这一平面内任一向量,a,，有且只有一对实数,1,，,2,，,使,_,，其中,e,1,，,e,2,是一组基底,.,a,(,a,0,),b,=,a,不共线向量,a,=,1,e,1,+,2,e,2,4/59,3.,两个非零向量平行、垂直充要条件,若,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,),，则：,(1),a,b,a,=,b,(0),_.,(2),a,b,a,b,=0,_.,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0,x,1,x,2,+y,1,y,2,=0,5/59,6/59,5.,向量投影,(1),向量,a,在,b,方向投影为,_.,(2),向量,b,在,a,方向投影为,_.,7/59,6.,向量运算律,(1),交换律：,a,+,b,=,b,+,a,，,a,b,=,b,a,.,(2),结合律：,a,+,b,+,c,=(,a,+,b,)+,c,，,a,-,b,-,c,=,a,-(,b,+,c,),，,(,a,),b,=(,a,b,)=,a,(,b,).,8/59,(3),分配律：,(+),a,=_,，,(,a,+,b,)=_,，,(,a,+,b,),c,=,a,c,+,b,c,.,(4),主要公式：,(,a,+,b,)(,a,-,b,)=,_,，,(,a,b,),2,=,_,.,a,+,a,a,+,b,a,2,-,b,2,a,2,2,a,b,+,b,2,9/59,【,易错提醒,】,1.,相关向量注意点,(1),零向量方向是任意,.,(2),平行向量无传递性，即,a,b,，,b,c,时，,a,与,c,不一定是平行向量,.,(3),注意数量积是一个实数，不再是一个向量,.,10/59,2.,向量运算律中注意点,(1),向量运算和实数运算有类似地方也有区分：对于一个向量等式，能够移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除,(,相约,).,(2),向量“乘法”不满足结合律，即,(,a,b,),c,a,(,b,c,).,11/59,类型一,平面向量线性运算及应用,【,典例,1】,(1),化简：,(2),已知,A(-2,，,4),，,B(3,，,-1),，,C(-3,，,-4).,求,3a+b-3c,；,求满足,a=mb+nc,实数,m,，,n.,12/59,【,解析,】,(1),选,D.,(2),由已知得,a,=(5,，,-5),，,b,=(-6,，,-3),，,c,=(1,，,8).,3,a,+,b,-3,c,=3(5,，,-5)+(-6,，,-3)-3(1,，,8),=(15-6-3,，,-15-3-24)=(6,，,-42).,因为,m,b,+n,c,=(-6m+n,，,-3m+8n),，,a,=m,b,+n,c,，,所以解得,13/59,【,方法技巧,】,向量线性运算基本标准和求解策略,(1),基本标准：,向量加法、减法和数乘运算统称为向量线性运算,.,向量线性运算结果仍是一个向量，所以，对它们运算法则、运算律了解和利用要注意向量大小和方向两个方面,.,14/59,(2),求解策略：,向量是一个有“形”几何量，所以在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量主要方法与技巧,.,字符表示下线性运算惯用技巧,首尾相接用加法三角形法则，如共起点两个向量作差用减法几何意义，如,平行向量,(,共线向量,),、相等与相反向量、单位向量等，了解向量相关概念并进行恰当地应用,.,注意常见结论应用,.,如,ABC,中，点,D,是,BC,中点，则,15/59,【,变式训练,】,(,秦皇岛高一检测,),已知向量,a,=(6,，,4),，,b,=(0,，,2),，,=,a,+,b,，,O,为坐标原点，若点,C,在函数图象上，则实数,值为,_.,16/59,【,解析,】,由题意得,=(6,，,4)+(0,，,2)=(6,，,4+2),，,故点,C,坐标为,(6,，,4+2),，,依据条件得,4+2=sin,=1,，解得,.,答案：,17/59,【,赔偿训练,】,(,广元高一检测,),如图，已知,用，表示，则等于,(,),【,解析,】,选,C.,18/59,类型二,平面向量数量积运算,【,典例,2】,(1)ABC,外接圆半径为,1,，圆心为,O,，,且则值为,(,),(2)(,湖北高考,),已知向量则,=_.,19/59,(3)(,北京高一检测,),如图，正六边形,ABCDEF,边长为,1,，,M,，,N,分别是,BC,，,DE,上动点，且满足,.,若,M,，,N,分别是,BC,，,DE,中点，求值；,求取值范围,.,20/59,21/59,22/59,(3),如图，以,AB,所在直线为,x,轴，以,A,为坐标原点建立平面直角坐标系,.,因为多边形,ABCDEF,是边长为,1,正六边形，且,M,，,N,分别是,BC,，,DE,中点，所以所以,23/59,24/59,【,延伸探究,】,在典例,(1),中，若 则,BAC,大小是多,少？,【,解析,】,由已知可得,由向量加法平行四边形法则可,知，四边形,OACB,是四条边均为,1,平行四边形，故,OAC,为等边三角,形，,OAC=2,BAC=60,，所以,BAC=30,.,25/59,【,方法技巧,】,向量数量积求解策略,(1),利用数量积定义、运算律求解：,在数量积运算律中，有两个形似实数完全平方和,(,差,),公式在解题中应用较为广泛，即,(,a,+,b,),2,=,a,2,+2,a,b,+,b,2,，,(,a,-,b,),2,=,a,2,-2,a,b,+,b,2,，上述两公式以及,(,a,+,b,)(,a,-,b,)=,a,2,-,b,2,这一类似于实数平方差公式在解题过程中能够直接应用,.,26/59,(2),借助零向量：,即借助“围成一个封闭图形且首尾相接向量和为零向量”，再合理使用向量移项以及平方等变形，求解数量积,.,(3),借助平行向量与垂直向量：,即借助向量拆分，将待求数量积转化为有垂直条件关系或平行向量关系向量数量积，借助,a,b,，则,a,b,=0,等处理问题,.,(4),建立坐标系，利用坐标运算求解数量积,.,27/59,【,变式训练,】,如图所表示，,P,为,AOB,所在平面内一点，向量,且,P,在线段,AB,垂直平分线上，向量若,|,a,|=3,，,|,b,|=2,，则,c,(,a,-,b,),值为,(,),A.5,B.3,C.,D.,28/59,【,解析,】,选,C.,设,AB,中点为,D,，,29/59,【,赔偿训练,】,如图所表示，在,RtABC,中，已知,BC=a,，若长为,2a,线段,PQ,以点,A,为中点，问：夹角,取何值时，值最大？并求出这个最大值,.,30/59,【,解题指南,】,解答本题关键是要结合图形，利用向量三角形法则找出向量之间关系；或建立适当坐标系，利用向量坐标形式来解答,.,31/59,【,解析,】,以直角顶点,A,为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,.,设,B(b,，,0),，,C(0,，,c),，所以,b,2,+c,2,=a,2,.,设,P,点坐标为,(x,，,y),，则,Q,点坐标为,(-x,，,-y),，,且,x,2,+y,2,=a,2,，则,=(x-b,，,y),，,=(-x,，,-y-c).,32/59,又,而,所以,所以当,cos=1,时，有最大值,0,，即当,=0(,即方向相同,),时，最大，最大值为,0.,33/59,类型三,平面向量平行与垂直问题,【,典例,3】,(1),已知向量,a,=(1,，,2),，,b,=(1,，,0),，,c,=(3,，,4).,若,为实数，,(,a,+,b,),c,，则,=(,),A.,B.,C.1,D.2,(2),在平面直角坐标系,xOy,中，已知,若,ABO=90,，则实数,t,值为,_.,34/59,(3),已知平面内,A,，,B,，,C,三点共线，,O,为原点，,且求实数,m,，,n,值,.,35/59,【,解析,】,(1),选,B.,因为向量,a,=(1,，,2),，,b,=(1,，,0),，可得,a,+,b,=(1+,，,2),，由,(,a,+,b,),c,得,(1+)4-32=0,，,所以,=,.,(2),因为,ABO=90,，易知,所以即,32+2(2-t)=0,，所以,t=5.,答案：,5,36/59,(3),因为,A,，,B,，,C,三点共线，所以,37/59,【,延伸探究,】,在典例,(1),条件下，是否存在非零常数,，使,a,+,b,与,a,-,c,平行，若平行，是同向还是反向？,【,解析,】,因为,a,+,b,=(1+,，,2),，,a,-,c,=(1-3,，,2-4),，若,a,+,b,与,a,-,c,平行，则,(1+)(2-4)-2(1-3)=0.,解得,=1.,所以,a,+,b,=(2,，,2),，,a,-,c,=(-2,，,-2),，,a,+,b,与,a,-,c,反向,.,即存在,=1,使,a,+,b,与,a,-,c,平行且反向,.,38/59,【,方法技巧,】,1.,证实共线问题惯用方法,(1),向量,a,，,b,(,a,0,),共线,存在唯一实数,，使,b,=,a,.,(2),向量,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,),共线,x,1,y,2,-x,2,y,1,=0.,(3),向量,a,与,b,共线,|,a,b,|=|,a,|,b,|.,(4),向量,a,与,b,共线,存在不全为零实数,1,，,2,，使,1,a,+,2,b,=0.,39/59,2.,证实平面向量垂直问题惯用方法,a,b,a,b,=0 x,1,x,2,+y,1,y,2,=0,，,其中,a,=(x,1,，,y,1,),，,b,=(x,2,，,y,2,).,40/59,【,变式训练,】,(1),已知向量,a,=(1,，,-1),，,b,=(1,，,2),，向量,c,满足,(,c,+,b,),a,，,(,c,-,a,),b,，则,c,等于,(,),A.(2,，,1)B.(1,，,0)C.,D.(0,，,-1),【,解析,】,选,A.,设,c,=(x,，,y),，由,(,c,+,b,),a,，,(,c,-,a,),b,可得,解得,所以,c,=(2,，,1).,41/59,(2),已知向量,a,=(2,，,3),，,b,=(-1,，,2),，若,(m,a,+n,b,)(,a,-2,b,),，,则等于,_.,【,解析,】,m,a,+n,b,=(2m,，,3m)+(-n,，,2n),=(2m-n,，,3m+2n),，,a,-2,b,=(2,，,3)-(-2,，,4)=(4,，,-1).,由,(m,a,+n,b,)(,a,-2,b,),-(2m-n)=4(3m+2n),，,整理得,14m=-7n,，,则,=-,.,答案：,-,42/59,【,赔偿训练,】,已知向量,a,，,b,不共线，,c,=k,a,+,b,，,d=,a,-,b,.,(1),若,c,d,，求,k,值，并判断,c,，,d,是否同向,.,(2),若,|,a,|=|,b,|,，,a,与,b,夹角为,60,，当,k,为何值时，,c,d,？,43/59,【,解析,】,(1),c,d,，故,c,=,d,，即,k,a,+,b,=(,a,-,b,).,又,a,，,b,不共线，所以得,即,c,=-,d,，故,c,与,d,反向,.,(2),c,d,=(k,a,+,b,),(,a,-,b,)=k,a,2,-k,a,b,+,a,b,-,b,2,=(k-1),a,2,+(1-k)|,a,|,2,cos60,，,又,c,d,，故,(k-1),a,2,+,a,2,=0.,即,(k-1)+,=0.,解得,k=1.,44/59,类型四,平面向量模与夹角,【,典例,4】,(1),向量,a,，,b,满足,(,a,-,b,)(2,a,+,b,)=-4,，且,|,a,|=2,，,|,b,|=4,，则,a,，,b,夹角等于,_.,(2),已知,|,a,|=4,，,|,b,|=8,，,a,与,b,夹角是,120.,计算,|,a,+,b,|,，,|4,a,-2,b,|,；,当,k,为何值时，,(,a,+2,b,)(k,a,-,b,),？,45/59,【,解析,】,(1),设,a,与,b,夹角为,，因为,|,a,|=2,，,|,b,|=4,，,由,(,a,-,b,),(2,a,+,b,)=-4,得，,2|,a,|,2,-,a,b,-|,b,|,2,=-4,，即,a,b,=-4,，,所以,cos,所以,=120.,答案：,120,46/59,(2),由已知，,因为,|,a,+,b,|,2,=,a,2,+2,a,b,+,b,2,=16+2(-16)+64=48,，,所以,|,a,+,b,|=4,.,因为,|4,a,-2,b,|,2,=16,a,2,-16,a,b,+4,b,2,=1616-16(-16)+464=316,2,，,所以,|4,a,-2,b,|=16,.,若,(,a,+2,b,)(k,a,-,b,),，则,(,a,+2,b,),(k,a,-,b,)=0,，,所以,k,a,2,+(2k-1),a,b,-2,b,2,=0,，,即,16k-16(2k-1)-264=0,，所以,k=-7.,47/59,【,方法技巧,】,1.,处理向量模问题惯用策略,(1),应用公式：,|,a,|=,(,其中,a,=(x,，,y).,(2),应用三角形或平行四边形法则,.,(3),应用向量不等式,|,a,|-|,b,|,a,b,|,a,|+|,b,|.,(4),研究模平方,|,a,b,|,2,=(,a,b,),2,.,48/59,2.,求向量夹角,设非零向量,a=(x,1,，,y,1,),，,b=(x,2,，,y,2,),，两向量夹角,(0),余弦,49/59,【,变式训练,】,平面向量,a,与,b,夹角为,60,，,a,=(2,，,0),，,|,b,|=1,，,则,|,a,+2,b,|,等于,(,),A.2,B.2,C.4,D.,【,解析,】,选,B.,由已知得,|,a,|=2,，,|,a,+2,b,|,2,=,a,2,+4,a,b,+4,b,2,=4+421cos60+4=12,，,所以,|,a,+2,b,|=2,.,50/59,【,赔偿训练,】,(,安阳高一检测,),已知非零向量,a,，,b,满足,|,a,|=1,，且,(,a,-,b,)(,a,+,b,)=,.,(1),求,|,b,|.,(2),当,a,b,=,时，求向量,a,与,b,夹角,值,.,51/59,【,解析,】,(1),因为,(,a,-,b,),(,a,+,b,)=,，,所以,a,2,-,b,2,=,，所以,|,b,|,2,=|,a,|,2,-,=1-,=,，,故,|,b,|=,.,(2),因为,又,0180,，所以,=45.,52/59,类型五,平面向量在解析几何和物理方面应用,【,典例,5】,(1),已知,O,是平面上一定点，,A,，,B,，,C,是平面上不共线三个动点，若动点,P,满足则点,P,轨迹一定经过,ABC,(,),A.,外心,B.,内心,C.,垂心,D.,重心,53/59,(2),已知向量,a,表示“向东航行,1km”,，向量,b,表示“向北航行,km”,，,则向量,a,+,b,表示,(,),A.,向东北方向航行,2 km,B.,向北偏东,30,方向航行,2 km,C.,向北偏东,60,方向航行,2 km,D.,向东北方向航行,(1+,)km,54/59,【,解析,】,(1),选,D.,由原等式得依据平行四边形法,则，知是,ABC,中线所对应向量,2,倍，所以点,P,轨迹必过,ABC,重心,.,(2),选,B.,a,与,b,夹角为,90,，则,a,b,=0,，,则,a,(,a,+,b,)=|,a,|,2,+,a,b,=1.,设,a,与,a,+,b,夹角为,，,则,所以,=60,，即,a,+,b,表示向北偏东,30,方向航行,2km.,55/59,【,方法技巧,】,平面向量两个方面应用,(1),平面几何应用：,（,2,）物理应用：速度、位移、力、功,.,向量,几何问题,共线向量,点共线问题、直线与直线平行,数乘向量,求线段长度之比,数量积,线段长度、直线与直线夹角,56/59,【,变式训练,】,(,韶关高一检测,),作用于同一点两个力,F,1,，,F,2,夹角为，且,|,F,1,|=3,，,|,F,2,|=5,，则,F,1,+,F,2,大小为,_,【,解析,】,57/59,【,赔偿训练,】,如图，已知甲、乙两人同时从,O,出发，甲行走,10km,抵达,B,处，乙出发方向与甲方向夹角为,60,，乙走了,14km,后到,A,处，求此时甲、乙两人之间距离,.,58/59,【,解析,】,设向量,又因为,所以,=100+196-21014cos60=156,，,所以,所以甲、乙两人此时之间距离为,km.,59/59,