复变复习要点市公开课特等奖市赛课微课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,考试安排,考试时间:,一,、,年 11 月 28 日 晚上,考试地点:,答疑时间:,二,、,11月26日早晨、下午,11月,27日早晨、下午、晚上,11月 28日 早晨,答疑地点:,科技楼南楼 813室 计算数学系,下午2:30分至5：30时,晚上7：00时至9:30分,早晨8:30时至11:30分,三,、,第1页,复变函数与积分变换复习,第一章 复数与复变函数,要求：,1、复数表示（实部、虚部、模及幅角、三角,表示）；,2、基本运算（四则、乘方、开方、De Moivre、,求方程根）；,3、已知平面曲线C方程F(x,y)=0，写出C复数,形式；,4、由复数所适合方程（或不等式）确定平面图,形特征。,注：多出现在填空题中。,第2页,第二章 解析函数,要求,：,1、正确了解复变函数导数、解析函数等基本概念。,2、掌握并能利用C-R方程。,3、知道解析函数与调和函数关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数uiv。,4、会求初等复函数值。,第3页,重点：,1、会证实调和函数及结构解析函数。（大题）,2、会利用C-R方程判断函数解析性。（大题）,3、会求初等复函数值。（填空）,参见教材P34公式(2.4);,参见教材P35例2.4、P38例2.6、2.7、2.8。,第4页,第三章 复变函数积分,要求,：,1、正确了解复变函数积分概念、性质；,2、掌握复变函数积分普通计算法；,3、掌握并能利用Cauchy积分定理，复合闭 路定理和柯西积分公式、高阶导公式，尤其要能利用它们来计算积分及,证实,等式。,第5页,第四章 解析函数级数表示,要求：,1、正确了解级数收敛、发散与绝对收敛等概念。,2、清楚地知道级数收敛范围是圆域以及它在收敛圆内性质、有理运算与分析运算。,3、会把比较简单解析函数用适当方法展开Taylor级数，并指出其收敛半径。,记住几个主要初等函数Taylor展开式。,4、会把比较简单函数围绕它,孤立奇点,用适当方法展开成,Laurent级数,。,第6页,重点：,1、将函数作Laurent展开。,方法,：,以展开中心为圆心，以展开中心到各奇点距离为半径画圆，即可得解析环域；再将函数在各解析环域内作Laurent展开（L展开在环域，R展开在圆盘）。,2、会求Taylor展开收敛半径（填空题）。,第7页,第五章 留数及其应用,要求,：1、正确了解孤立奇点概念与孤立奇点分类，,尤其是极点阶数；,2、正确了解函数在孤立奇点留数概念；,3、掌握并能应用留数定理；,4、掌握留数计算法，并能利用留数计算一些实,积分。,第8页,第六章 保形映射,要求,：1、正确了解导数几何意义和保角映射概念,（求旋转角、伸缩率）；,2、掌握分式线性映射主要性质保角性、,保圆性、保对称性；,3、给定三对对应点，能比较熟练地掌握分式线,性映射；,4、区域之间映射，只要求能求出由分式线性,函数、幂函数、指数函数以及它们复合函数所,组成映射。,记住：角域到角域、带域到角域、上半平面到单位圆等 映射。,第9页,重点,：1、已知映射W=f(Z)，求曲线或区域像；,方法,：给了区域找边界，依据函数求其像，边界绕行定区域；或直接解出Z.,2、已知两个区域，求映射。,方法,：看两端，想中间，联络起来求函数。,第10页,第七章 积分变换,要求：,1、两种变换定义及性质。,2、,记住几个惯用广义傅氏变换对。,3、了解卷积概念并会计算简单卷积。,4、会求拉氏变换及拉氏逆变换。,5、,会用拉氏变换解微分方程,。,6、记住几个惯用拉氏变换对。,第11页,拉氏变换线性性：记,微分性质：,求拉氏逆变换惯用方法：,1、部分分式法；,2、留数法。,留数法：,第12页,主要内容,一,、复数几个表示及,运算;,区域,曲线;初等,复变函数.,二,、柯西-黎曼方程:,(1),判断可导与解析,求导数;,七,、Fourier变换概念,函数,卷积.,三,、,柯西积分公式,柯西积分定理,高阶导数公式.,四,、,洛朗展式.,五,、留数:,(1),计算闭路积分;,六,、保形映射:,(1),求象区域;,八,、,利用Laplace变换求解常微分方程(组).,(2),结构,解析函数.,(2),计算定积分;,(2),结构,保形映射.,第13页,一、填空题。,(1),模为,，辐角主值为,.,。,.,(2),值为,值为,，,.,.,。,(3),伸缩率为,处旋转角为,映射,w=z,3,-,z,在,z=,i,.,。,，,.,(4),在区域D内解析,函数,.,。,充要条件为,第14页,(7),.,。,(5),在,z,0,=1+i,处展开成泰勒级数,.,。,收敛半径为,(6),z,=0 是,(何种类型奇点)。,.,(8),，,已知,.,。,求,第15页,四,、计算以下各题：,(2).,(3).,(4).,(1).,(5).已知,，,，求,。,二,、,验证,z,平面上调和函数，并求以,为实部解析函数，使,是,。,三,、,将函数,在,与,洛朗级数。,处展开为,第16页,五,、,求区域,在映射,下像。,八,、设函数,在,上解析，证实：,七,、用拉氏变换求解方程：,六,、求把下列图阴影部分,映射到单位圆内部保形映射。,i,-,i,第17页,二,、,验证,z,平面上调和函数，并求以,为实部解析函数，使,是,。,故,u,(,x,y,),为调和函数,(1),解:,(2)方法一,第18页,二,、,验证,z,平面上调和函数，并求以,为实部解析函数，使,是,。,解:,故,u,(,x,y,),为调和函数,(1),(2)方法二,第19页,三,、,将函数,在,与,洛朗级数。,处展开为,解:,(1)在,z,=1,处,第20页,三,、,将函数,在,与,洛朗级数。,处展开为,解:,(2)在,z,=2,处,第21页,四,、,(1).,解:,方法一:利用留数求解,z,=0 为二级极点,方法二:利用高阶导数公式求解,第22页,四,、,(2).,解:,z,=1 为本性奇点,第23页,四,、,(3).,解:,第24页,四,、,(4).,解:,第25页,四,、,(5).已知,，,求,。,解:,，,f,2,(,t-,),f,2,(,t-,),f,1,(,),f,1,(,),f,2,(,),f,1,(,),t,t,f,2,(-,),f,2,(-,),第26页,五,、,求区域,在映射,下像。,解:,(,z,),(,w,),第27页,六,、求把下列图阴影部分,映射到单位圆内部保形映射。,i,-,i,(,z,),(,w,),(,z,2,),(,z,1,),第28页,七,、用拉氏变换求解方程：,解：,(1)对方程两边取拉氏变换得：,(2)取拉氏逆变换得：,第29页,八,、设函数,在,上解析，证实：,证实：,(1)奇点,因为,(2)左边=,第30页,(7)0;,(8),一,、,(1)1,;(2),(5),;(4),u,v,在D内可微，且满足CR方程,(3),4,;(6)可去奇点,第31页,