高等数学31中值定理.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,$3-1中值定理,*,1,$3-1中值定理,1/28,一、罗尔(Rolle)定理,比如,2,$3-1中值定理,2/28,点击图片任意处播放暂停,物了解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,A,B,3,$3-1中值定理,3/28,证,4,$3-1中值定理,4/28,($1-4Th2),5,$3-1中值定理,5/28,注意,(1),若罗尔定理三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,比如,2,-2,（有不可导点）,6,$3-1中值定理,6/28,又比如,(2)利用罗尔定理，能够证实方程,1,0,1。,1,0,7,$3-1中值定理,7/28,例1,解,在（-1，2）与（2，5）内均可导，,且,最少存在一点,使,即方程,又,故,至多有两个实根，,所以，,分别位于区间,（-1，2）与（2，5）内.,(与习题3-1，5类似）,8,$3-1中值定理,8/28,例2,证,由零点存在定理，,即为方程小于1正实根.,矛盾,(与p166习题3-1，12类似）,9,$3-1中值定理,9/28,二、拉格朗日中值定理,10,$3-1中值定理,10/28,几何解释:,证,分析:,弦,AB,方程为,11,$3-1中值定理,11/28,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:,拉氏公式准确地表示了函数在一个区间上增量与函数在这区间内某点处导数之间关系.,12,$3-1中值定理,12/28,拉格朗日中值定理又称,有限增量定理,.,拉格朗日中值公式又称,有限增量公式,.,微分中值定理,13,$3-1中值定理,13/28,推论,证,应用拉格朗日中值公式，,即,注：利用此推论可证实恒等式.,14,$3-1中值定理,14/28,例3(P166,习题3-1，6）,证,又,15,$3-1中值定理,15/28,例4,（P163例1）,证,由上式得,辅助函数和区间.,关键是找到一个适当,注：利用拉氏定理，可证实不等式，,16,$3-1中值定理,16/28,三、柯西中值定理,柯西（,Cauchy,）中值定理,假如函数,),(,x,f,及,),(,x,F,在闭区间,b,a,上连续,在开区间,),(,b,a,内可导,且,),(,x,F,在,),(,b,a,内每一点处均不为零，那末在,),(,b,a,内,最少,有一点,),(,b,a,x,x,使等式,),(,),(,),(,),(,),(,),(,x,x,F,f,a,F,b,F,a,f,b,f,=,-,-,成立,.,17,$3-1中值定理,17/28,几何解释:,证,作辅助函数,18,$3-1中值定理,18/28,注：,（即拉格朗日公式）,.,(2)证实方法与拉格朗日定理证法相同,但不能直接用拉格朗日定理推出.,19,$3-1中值定理,19/28,例4,（补充）,证,分析:,结论可变形为,20,$3-1中值定理,20/28,四、小结,Rolle,定理,Lagrange,中值定理,Cauchy,中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间关系:,(1),定理成立条件；,(2)利用中值定理证实等式与不等式步骤;,注意：,（3）证实题类型.,21,$3-1中值定理,21/28,th,罗尔,Rolle,拉格朗日,Lagrange,柯西,Cauchy,条件,1.同右,2.同右,3.f(a)=f(b),1.f(x)在a,b上连续,2.f(x)在(a,b)内可导,1.f(x)、F(x)在a,b上连续,2.f(x)、F(x)在(a,b)内可导，,且,结论,同右,最少存在一点 使,最少存在一点 使,几何意义,关系,推广,推广,特例,.f(a)=f(b),特例,F(x)=x,A,B,22,$3-1中值定理,22/28,思索题,试举例说明拉格朗日中值定理条件缺一不可.,23,$3-1中值定理,23/28,思索题解答,不满足在闭区间上,连续,条件；,且,不满足在开区间内,可微,条件；,以上两个都可说明问题.,24,$3-1中值定理,24/28,练 习 题,25,$3-1中值定理,25/28,26,$3-1中值定理,26/28,(P167,习题3-1，15）,27,$3-1中值定理,27/28,练习题答案,28,$3-1中值定理,28/28,