2025-2026学年九年级上学期真光中学9月检测数学试题（含答案）.docx

2025 学年第一学期 9 月检测题
九年级数学（问卷）
一、选择题（本大题共 10 小题，每个小题 3 分，共 18 分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1
2
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）

8
6
4
A. B. C. D.
2. 以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）

2
2
3
6
A. 3，4，5 B. 1， ，1 C. 17 ，15 ，8 D. ， ，
3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知ÐA + ÐC = 280° ，则ÐB 的度数为（ ）

A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°

3
2
6
3
8
2
4. 下列计算正确的是（ ）

3
2
5
A. + =
B. - = 1
C. 2 ´ = 2
D. - = 2

5. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O， DE ^AC 于点 E， ÐAOD = 130° ，则
ÐCDE 的大小是（ ）

A. 45°
B. 35°
C. 25°
D. 20°

6. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从 2025 届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是 8 名男生在某次训练时 50 米游泳时间（秒）： 48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49

( )
m - 2 x|m| - 2x - 3 = 0
7. 若关于 x 的方程 是一元二次方程，则（ ）

A. m = 2
B. m = -2
C. m = ±2
D. m ¹ ±2

第 1 页/共 6 页

8. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面30m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s ．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y（单位：m）与无人机上升的时间 x（单位：s）之间的关系如
图所示．下列说法正确的是（ ）

A. 5s 时，两架无人机都上升了40m
B. 10s 时，两架无人机的高度差为30m
C. 乙无人机上升的速度为6m/s
D. 10s 时，甲无人机距离地面的高度是60m
9. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标为（-2，0），则下列说法正确的是（ ）

A. y 随 x 的增大而减小 B. 关于 x 的方程 kx + b = 0 的解为 x = -2

第 5 页/共 6 页

C. 当 x > -2 时， y < 0
D. k > 0 ， b < 0

10. 如图，在V ABC 中， ÐC = 90° ，点 D 是线段 AB 上的动点（与A ， B 不重合），作 DE ^AC 于 E ，

DF ^
BC 于 F ，连接 EF ，若 AC = 8 ， BC = 6 ，则点 D 从点A 运动到点 B 的过程中， EF 的最小值

为（ ）

A. 2.4
B. 4 C. 4.8
D. 5

x - 2
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11. 若 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
12. 一次函数 y = -3x + b 的图象经过点(1, m) ， (-1, n) ，则 m n（填“ > ”或“ < ”或“ = ”）．
13. 甲乙两地 9 月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10 天日平均气温的方差大小关系为

S
S
2 2
甲 乙（填>或<）．
14. x2 -16 = 3x(x - 4)
方程 的解是： ．
15. 如图是“赵爽弦图”， A ABE ， VBCF ， ACDG 和A DAH 是四个全等的直角三角形，四边形
ABCD 和 EFGH 都是正方形，如果 AB = 5 ， BE = 3 ，那么正方形 EFGH 的面积是 ．

16. 如图，菱形 ABCD 周长为 16，∠DAC＝30°，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则

PE+PB 的最小值是 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分，解答题应写出必要的文字说明，推理过程或演算步骤）
17. 如图，在A ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC ， AD 上，且 BE = DF ．求证： AE = CF ．

18. 已知直线l1 : y = -2x + 4 和直线l2 : y = -x + 3 相交于点 P，直线l1 , l2 分别与 x 轴相交于点 A，B．

（1） 求点 P 的坐标；
（2） 求A ABP 的面积．
19. 如图，四边形 ABCD 的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为 1．

（1） CD = ．
（2） 连接 BD ，判断A BCD 是什么三角形？请说明理由．
（3） 求四边形 ABCD 的面积．
记录时间
x (min)

0

1

2

3

…
水位高度
y (cm)

2

2.3

2.6

2.9

…

20. 漏刻是我国古代的一种计时工具，该装置通过水位变化计量时间，体现了古代对函数关系的创造性运用．某数学兴趣小组依据漏刻的原理设计了一个简易模型( 如图) ，每分钟记录水位数据并整理如下表：

( ) ( )
y cm x min
（1） 兴趣小组研究发现水位高度 是时间 的一次函数，求该一次函数关系式；
（2） 当水位高度 y 为8cm 时，求此时的时间．

成绩/分
体能
技能
心理素质
甲
85
80
93
乙
78
94
82

21. 近期为了助力推广冰雪运动在花都区的发展，广州融创决定启动 2025 年花都区青少年滑雪竞技队队员招募活动，本次活动有 40 名选手参与选拔，每位选手需参加体能、技能、心理素质三项测试（每项满分100 分），下表是对甲、乙两名选手的成绩记录．

（1） 若根据三项成绩的平均分确定总评成绩，则 的成绩更好（填甲或乙）；
( )
（2） 根据需要，现将体能、技能、心理素质三项成绩分别按30% ， 50% ， 20% 的占比计入总评成绩， 则谁的成绩更好？请通过计算说明．
2
（3） 根据 中的计算方式得出 40 名选手的总评成绩，并对成绩进行整理，绘制出了如图所示的频数分
布直方图．若主办方决定根据总评成绩择优选拔 20 名滑雪竞技队员，请分析甲、乙选手能否入选，并说明理由．

22. 实验探究：

实验情景示意图

实验使用装置
①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮 A，一端固定在滑块 B 上，另一端固定在物体 C 上；（ A 、B、C 可以视作三个点）
②滑块 B 可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体 C 的高度．

初始状态
图 1 物体 C 静止在轨道上，其到滑轮 A 的垂直距离为8dm ，且
AB + BC = 16dm ．
实验条件

绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略．

任务
（1）求绳子的总长度；
（2）图 2 若物体 C 升高7dm ，求滑块 B 向左滑动的距离．

2025 学年第一学期 9 月检测题九年级数学（问卷）
一、选择题（本大题共 10 小题，每个小题 3 分，共 18 分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1
2
12. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）

8
6
4
A. B. C. D.
【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足两个条件“①被开方数的因数不含完全平方数；②被开方数不含分母”成为解题的关键．
8
2
根据最简二次根式必须满足的条件逐项判断即可．

【详解】解：A、
= 2 ，则此项不是最简二次根式，不符合题意；

6
B、 是最简二次根式，则此项符合题意；

4
C、 = 2 ，则此项不是最简二次根式，不符合题意；

0.5
1
2
= = 2
D、 2
，则此项不是最简二次根式，不符合题意．

故选：B．

13. 以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）

2
2
3
6
A. 3，4，5 B. 1， ，1 C. 17 ，15 ，8 D. ， ，
【答案】D

【解析】

【分析】本题考查勾股定理定理的逆定理，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．逐项判断是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、Q32 + 42 = 52 ，\能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B、Q12 + 12 = ( 2)2 ，\能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、Q82 +152 = 172 ，\能构成直角三角形，故本选项不合题意；

第 1 页/共 18 页

Q( 2 )2 + ( 3 )2 ¹ ( 6 )2
D、 ，\不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D．
14. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知ÐA + ÐC = 280° ，则ÐB 的度数为（ ）

第 11 页/共 18 页

A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查的是平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，邻角互补可得答案．
【详解】解：Q四边形 ABCD 是平行四边形，
\ÐA = ÐC ， AD ∥ BC ，
\ÐA + ÐB = 180° ，
QÐA + ÐC = 280°， ÐA = ÐC ，
\ÐA = ÐC = 140° ，
\ÐB = 40°
故选：A．

3
2
6
3
8
2
15. 下列计算正确的是（ ）

3
2
5
A. + =
B. - = 1
C. 2 ´ = 2
D. - = 2

【答案】C

【解析】

2
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的运算法则逐项判断即可．
3
【详解】解： 与 不是同类二次根式，无法合并，则 A 不符合题意，

3
2
与 不是同类二次根式，则 B 不符合题意，

6
12
2 ´ = = 2

3
，则 C 符合题意，

8
2
2
2
2
- = 2 - =

故选：C．

，则 D 不符合题意，

16. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O， DE ^AC 于点 E， ÐAOD = 130° ，则
ÐCDE 的大小是（ ）

A. 45°
B. 35°
C. 25°
D. 20°

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．由矩形的性质得出OC = OD ，得出ÐODC = ÐOCD = 65° ，由直角三角形的性质求出
ÐCDE = 25° ，即可得出答案．
【详解】解：Q四边形 ABCD 是矩形，
\ÐADC = 90°， AC = BD ， OA = OC ， OB = OD ，
\OC = OD ，
\ÐODC = ÐOCD ，
QÐAOD = 130° ，
\ÐDOE = 50° ，
\ÐODC = ÐOCD = 1 ´ (180° - 50°)= 65°
2 ，
Q DE ^ AC ，
\ÐDEC = 90°，
\ÐCDE = 90° - ÐOCD = 90° - 65° = 25° ．

故选：C．

17. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从 2025 届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是 8 名男生在某次训练时 50 米游泳时间（秒）： 48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查求一组数据的众数和中位数，熟记众数和中位数的定义是解题的关键．根据众数和中位数的定义求解．

【详解】解：这组数据中出现次数最多的数是 48，因此众数是 48； 将这组数据从小到大排序为：47，47，48，48，48，49，49，50，
48 + 48 = 48
第 4，5 位是 48，48，因此中位数是 2 ，
故答案为：C．

( )
m - 2 x|m| - 2x - 3 = 0
18. 若关于 x 的方程 是一元二次方程，则（ ）

A. m = 2
B. m = -2
C. m = ±2
D. m ¹ ±2

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 （a，b，c
是常数且 a ¹ 0 ）是解题的关键．
根据一元二次方程的定义列出关于 m 的等式求解即可．

( )
m - 2 x m - 2x - 3 = 0
【详解】解：∵关于 x 的方程 是一元二次方程，
∴| m |= 2 且 m - 2 ¹ 0 ，
\ m = -2 ． 故答案为：B．
19. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面30m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s ．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y（单位：m）与无人机上升的时间 x（单位：s）之间的关系如
图所示．下列说法正确的是（ ）

A. 5s 时，两架无人机都上升了40m
B. 10s 时，两架无人机的高度差为30m
C. 乙无人机上升的速度为6m/s
D. 10s 时，甲无人机距离地面的高度是60m

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查函数图象的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】解：由图象可得，
A． 5s 时，甲无人机上升了40m ，乙无人机上升了40 - 30 = 10 (m)，故错误； C．甲无人机的速度为： 40 ¸ 5 = 8(m/s)，乙无人机的速度为： (40 - 30)¸ 5 = 2 (m/s)，故错误； B．10s 时，两架无人机的高度差为： (8´10)- (30 + 2 ´10)= 30 (m)，故正确；
D．10s 时，甲无人机距离地面的高度是8´10 = 80 (m)，故错误； 故选：B．
20. 如图，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点坐标为（-2，0），则下列说法正确的是（ ）

A. y 随 x 的增大而减小 B. 关于 x 的方程 kx + b = 0 的解为 x = -2

C. 当 x > -2 时， y < 0
D. k > 0 ， b < 0

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数图象和一次函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．

【详解】解：∵图象过第一、二、三象限，

∴k＞0，b＞0，y 随 x 的增大而增大，故 A、D 错误； 又∵图象与 x 轴交于（-2，0），
∴kx+b=0 的解为 x=-2，故 B 正确；
当 x＞-2 时，图象在 x 轴上方，y＞0，故 C 错误； 故选：B．

【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合的思想解答是 解答本题的关键．
21. 如图，在V ABC 中， ÐC = 90° ，点 D 是线段 AB 上的动点（与A ， B 不重合），作 DE ^AC 于 E ，

DF ^
BC 于 F ，连接 EF ，若 AC = 8 ， BC = 6 ，则点 D 从点A 运动到点 B 的过程中， EF 的最小值

为（ ）

A. 2.4
B. 4 C. 4.8
D. 5

【答案】C

【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识，判断出CD ^ AB 时，线段 EF 的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
连接CD ，利用勾股定理列式求出 AB ，判断出四边形CFDE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得
EF = CD ，再根据垂线段最短可得CD ^ AB 时，线段 EF 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可．
【详解】解：连接CD ，如图所示：

∵ ÐACB = 90° ， AC = 8 ， BC = 6 ，

AC 2 + BC 2
82 + 62
∴ AB = = = 10 ，
∵ DE ^ AC ， DF ^ BC ， ÐACB = 90 °，
∴四边形CFDE 是矩形，
\ EF = CD ，
由垂线段最短可得CD ^ AB 时，线段 EF 的值最小，

此时，
SA ABC
= 1 AC ´ BC = 1 AB ´ CD
2 2 ，

CD = AC ´ BC = 8´ 6 = 4.8
∴ AB 10 ，

即 EF 的最小值为4.8 ， 故选：C．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

x - 2
22. 若 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．
【答案】 x ³ 2
【解析】

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可．

x - 2
【详解】解：要使 在实数范围内有意义，则 x - 2 ³ 0 ，即 x ³ 2 ． 故答案为： x ³ 2
12. 一次函数 y = -3x + b 的图象经过点(1, m) ， (-1, n) ，则 m n（填“ > ”或“ < ”或“ = ”）．
【答案】<
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的增减性，根据k = -3 < 0 ，可得一次函数 y 随 x 的增大而减小，进一步求解可得答案．
【详解】解：Q一次函数 y = -3x + b 的k = -3 < 0 ，
\一次函数 y 随 x 的增大而减小，
Q-1 < 1，
\ m < n ，
故答案为： < ．
13. 甲乙两地 9 月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10 天日平均气温的方差大小关系为

S
S
2 2
甲 乙（填>或<）．

【答案】 >
【解析】

【分析】本题考查方差，折线统计图，掌握相关知识是解决问题的关键．方差是考查一组数据的波动情况， 观察折线图判断哪组数据更加稳定，波动较小即可．
【详解】解：观察平均气温统计图得：

乙地的平均气温比较稳定，波动较小；
\乙地的日平均气温的方差小，

\ S 2 > S 2
甲 乙 ．
故答案为： > ．
方程 的解是： ．
14. x2 -16 = 3x(x - 4)
【答案】 x1 = 4 ， x2 = 2

【解析】

【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接利用因式分解的方法解方程即可．

【详解】解：∵ x2 -16 = 3x(x - 4) ，
∴ (x + 4)(x - 4) - 3x(x - 4) = 0 ，
∴ (x + 4 - 3x)(x - 4) = 0 ，
∴ x + 4 - 3x = 0 ， x - 4 = 0 ，
\ x1 = 4 ， x2 = 2 ．
故答案为： x1 = 4 ， x2 = 2
23. 如图是“赵爽弦图”， A ABE ， VBCF ， ACDG 和A DAH 是四个全等的直角三角形，四边形
ABCD 和 EFGH 都是正方形，如果 AB = 5 ， BE = 3 ，那么正方形 EFGH 的面积是 ．

【答案】1

【解析】

【分析】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理是解决问题的关键．根据勾股定理求出另一条直角边， 进而求出小正方形的边长，即可答案．
【详解】解：由题意知，在正方形 ABCD 中， A ABE ， VBCF ， ACDG 和A DAH 是四个全等的直角三
角形，
∴ AH = BE = 3 ，
Q AB = 5 ， BE = 3 ，
AB2 - BE2
52 - 32
∴ AE = = = 4 ，
∴正方形 EFGH 的边长为： EH = AE - AH = 4 - 3 = 1 ，
\正方形 EFGH 的面积= EH 2 = 1．

故答案为：1．

24. 如图，菱形 ABCD 周长为 16，∠DAC＝30°，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则

3
PE+PB 的最小值是 ．
【答案】 2

【解析】

【分析】连接 BD 交 AC 于点 O，连接 PD，DE．由四边形 ABCD 是菱形，可得：

AC ^BD ， BO = DO ．可知 AC 垂直平分 BD，所以 PB = PD ．可得 PE + PB = PE + PD ³ DE ，即
PE + PB ³ DE ．由四边形 ABCD 是菱形， ÐDAC = 30° ,可得ÐDAB = 2ÐDAC = 60° ．由四边形 ABCD
是菱形且周长是 16，可得 AB = BC = CD = AD = 4 ．结合ÐDAB = 60°，可得△ABD 是等边三角

形．由于点 E 是 AB 的中点，可得 DE ^AB ．所以ÐDEA = ÐDEB = 90° ．由ÐDAB = 60°，可得
AE = 1 AD = 2

ÐADE = 30° ．在 RtA ADE 中，由直角三角形性质，可求出 2
．由勾股定理可得

3
AE2 + DE2 = AD2 ，可求出 DE = 2
．所以 PE + PB 的最小值为2 ．

3
【详解】解：连接 BD 交 AC 于点 O，连接 PD，DE
Q四边形 ABCD 是菱形

\ AC ^BD ， BO = DO ， AB = BC = CD = AD ，
Q AC ^BD ， BO = DO
\AC 垂直平分 BD
\ PB = PD
\ PE + PB = PE + PD ³ DE
即 PE + PB ³ DE
ÐDAC = ÐBAC = 1 ÐDAB


ÐDAC = ÐBAC = 1 ÐDAB
2

Q ÐDAC = 30° ， 2
\ ÐDAB = 2ÐDAC = 60°
Q菱形 ABCD 的周长为 16
\ AB = BC = CD = AD = 4
\ △ABD 是等边三角形
Q点 E 是 AB 的中点
\ DE ^AB
\ ÐDEA = ÐDEB = 90°
Q ÐDAB = 60°
\ ÐADE = 90° - ÐDAB = 30°
在 RtA ADE 中，Q ÐADE = 30°
AE = 1 AD = 2
\ 2
在 RtA ADE 中，由勾股定理得 AE2 + DE2 = AD2

AD2 - AE2
16 - 4
3
\ DE = = = 2
Q PE + PB ³ DE
3
\ PE + PB 的最小值为2

3
故答案为： 2

【点睛】本题主要考查知识点为：菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理．若要 PE + PB 最小，应让 PE、PB，在同一直线上，所以需将其中一条线段进行转移．掌
握上述知识点和求最值的思路，是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分，解答题应写出必要的文字说明，推理过程或演算步骤）
25. 如图，在A ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC ， AD 上，且 BE = DF ．求证： AE = CF ．

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，由平行四边形的性质得出 AD A BC ， AD = BC ，根据线段的和差关系得出 AF = EC ，再证明四边形 AFCE 是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD A BC ， AD = BC ，
∵ BE = DF ，
∴ AF = EC ， CE A AF ，
∴四边形 AFCE 是平行四边形，
∴ AE = CF ．
26. 已知直线l1 : y = -2x + 4 和直线l2 : y = -x + 3 相交于点 P，直线l1 , l2 分别与 x 轴相交于点 A，B．

（3） 求点 P 的坐标；
（4） 求A ABP 的面积．
( )
P 1, 2
【答案】（1）
（2）1

第 12 页/共 18 页

【解析】

ì y = -2x + 4
í y = -x + 3

【分析】（1）依据题意，可得方程组， î
，计算即可得解；

( )
P 1, 2
（2）依据题意，分别求出 A、B 的坐标，再结合 ，进而可以计算得解．
【小问 1 详解】

ì y = -2x + 4
y = -x + 3
í
解：由题意， î
；
\ P (1, 2)
【小问 2 详解】
ì x = 1
y = 2
í
，解得î ，

解：在 y = -2x + 4 ，令 y = 0 ，则 x = 2 ，
，
\ A(2, 0)
在 y = -x + 3 ，令 y = 0 ，则 x = 3 ，
，
\ B (3, 0)
\ AB = 3 - 2 = 1 ，
，
Q P (1, 2)

\ SA ABP
= 1 AB × y
2 P
= 1 ´1´ 2 = 1
2 ．

【点睛】本题主要考查了两条直线相交问题、一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键．
27. 如图，四边形 ABCD 的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为 1．

（1） CD = ．
（4） 连接 BD ，判断A BCD 是什么三角形？请说明理由．
（5） 求四边形 ABCD 的面积．
5
【答案】（1） 2
（2）△BCD 是等腰直角三角形，见解析
（3）7

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．

（3） 利用勾股定理求解即可；

（4） 根据勾股定理可求出 BC，，BD CD 的长，则可证明 BC = BD ， BC 2 + BD2 = CD2 ，据此可得结

论；

（5） 根据勾股定理可求出 AB，BD，AD 的长，则可证明 AB2 + AD2 = BD2 ，得A ABD 是直角三角形，

结合（2）结果，可得结论．

第 15 页/共 18 页

【小问 1 详解】

22 + 42
解：由勾股定理得： CD =

= 2 ，

5
5
故答案为： 2 ；

【小问 2 详解】
解： A BCD 是等腰直角三角形， 理由如下：

32 +12
如图，由勾股定理得： BC =


= ， BD = =

10
32 +12
10
5
∵ CD = 2 ，

\ BC = BD ， BC 2 + BD2 = ( 10)2 + ( 10)2 = 20 = (2 5)2 = CD2 ，
\ÐCBD = 90° ，
\△BCD 是等腰直角三角形；

【小问 3 详解】

解：如图，由勾股定理得： AB =

12 +12
2
= ， AD =

22 + 22
2
= 2 ，

10
∵ BD = ，
\ AB2 + AD2 = BD2 ，
\ÐA = 90° ，

\ S△BCD
= 1 ´ BC ´ BD = 1 ´ ´ = 5
10
10
2
2
2 2 ，

S△BDA
= 1 ´ BA ´ AD = 1 ´ ´ 2 = 2
2 2 ，

\ S四边形ABCD = S△B△CD + S
ABD = 5 + 2 = 7 ．

记录时间
x (min)

0

1

2

3

…
水位高度
y (cm)

2

2.3

2.6

2.9

…

28. 漏刻是我国古代的一种计时工具，该装置通过水位变化计量时间，体现了古代对函数关系的创造性运 用．某数学兴趣小组依据漏刻的原理设计了一个简易模型( 如图) ，每分钟记录水位数据并整理如下表：

（4） 兴趣小组研究发现水位高度 y (cm)是时间 x (min)的一次函数，求该一次函数关系式；
（5） 当水位高度 y 为8cm 时，求此时的时间．
【答案】（1） y = 0.3x + 2

（2） 20min
【解析】

【分析】本题考查了待定系数法，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

y = ( ) ( )kx + b
0, 2 , 2, 2.6
（1） 设一次函数的解析式为 ，把 分别代入解析式解答即可；
（2） 根据解析式，令 y = 8 ，求 x 的值即可．

【小问 1 详解】

解：设一次函数的解析式为 y = kx + b ，
ì2k + b = 2.6
(0, 2), (2, 2.6) í = 2
把 分别代入解析式，得îb ，
ìk = 0.3
í
解得îb = 2 ，
∴ y = 0.3x + 2 ．

【小问 2 详解】

解：根据题意，得 y = 8 时， 8 = 0.3x + 2 ， 解得 x = 20 ，
此时时间为20min ．

成绩/分
体能
技能
心理素质
甲
85
80
93
乙
78
94
82

29. 近期为了助力推广冰雪运动在花都区的发展，广州融创决定启动 2025 年花都区青少年滑雪竞技队队员招募活动，本次活动有 40 名选手参与选拔，每位选手需参加体能、技能、心理素质三项测试（每项满分100 分），下表是对甲、乙两名选手的成绩记录．

（1） 若根据三项成绩的平均分确定总评成绩，则 的成绩更好（填甲或乙）；
（2） 根据需要，现将体能、技能、心理素质三项成绩分别按30% ， 50% ， 20% 的占比计入总评成绩，

则谁的成绩更好？请通过计算说明．

( )
2
（3） 根据 中的计算方式得出 40 名选手的总评成绩，并对成绩进行整理，绘制出了如图所示的频数分
布直方图．若主办方决定根据总评成绩择优选拔 20 名滑雪竞技队员，请分析甲、乙选手能否入选，并说明理由．

【答案】（1）甲 （2）乙的成绩更好，见解析
（3）甲、乙选手能入选，理由见解析

【解析】

【分析】本题考查频数（率）分布直方图、加权平均数，能够读懂统计图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1） 分别求出甲和乙的成绩，即可得出答案．
（2） 结合加权平均分的定义分别求出甲和乙的成绩，即可得出结论．
（3） 由统计图可知，80 到 100 分的人数有15 + 4 = 19 （人），可知甲和乙都排在前 19 名，进而可知甲、乙

选手能入选．

【小问 1 详解】

( )
85 + 80 + 93 ¸ 3 = 86
解：由题意得，甲的成绩为 （分），

( )
78 + 94 + 82 ¸ 3 » 84.7
乙的成绩为 （分），

∵ 86 > 84.7 ，
\甲的成绩更好． 故答案为：甲．
【小问 2 详解】
解：由题意得，甲的成绩为85´ 30% + 80 ´ 50% + 93´ 20% = 84.1（分），乙的成绩为78´ 30% + 94 ´ 50% + 82 ´ 20% = 86.8 （分），
∵ 86.8 > 84.1，
\乙的成绩更好．

第 19 页/共 18 页

【小问 3 详解】

解：甲、乙选手能入选．
理由：由统计图可知，80 到 100 分的人数有15 + 4 = 19 （人），
Q甲的成绩为84.1 分，乙的成绩为86.8 分，
\甲和乙都排在前 19 名，
Q优选拔 20 名滑雪竞技队员，
\甲、乙选手能入选．

30. 实验探究：

实验情景示意图

实验使用装置
①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮 A，一端固定在滑块 B 上，另一端固定在物体 C 上；（ A 、B、C 可以视作三个点）
②滑块 B 可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体 C 的高度．

初始状态
图 1 物体 C 静止在轨道上，其到滑轮 A 的垂直距离为8dm ，且
AB + BC = 16dm ．
实验条件

绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略．

任务
（1）求绳子的总长度；
（2）图 2 若物体 C 升高7dm ，求滑块 B 向左滑动的距离．

【答案】（1）绳子长18dm ；（2）滑块 B 向左滑动的距离为9dm
【解析】

【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．

（1） 设 AB = xdm ，则 BC = (16 - x)dm ，在Rt△ABC 中，利用

AC 2 + BC 2 = AB2 求解，最后算出

绳子长度即可；