复变函数与积分变换经典PPT—复变函数5.1.ppt

,*,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title style,复变函数与积分变换,第五章 留数,1.,孤立奇点,2.,留数,3.,留数在定积分计算上的应用,4,.,对数留数与辐角原理,5,.,第五章小结与习题,R,x,y,o,第,一,节,孤立奇点,孤立奇点的概念,1,函数的零点与极点的关系,2,小结与思考,4,函数在无穷远点的性态,3,一、孤立奇点的概念,定义,如果,函数,在,不解析,但,在,的某一去心邻域,内处处解析,则称,为,的孤立奇点,.,例,1,是函数,的孤立奇点,.,是函数,的孤立奇点,.,注意,:,奇点不一定是孤立奇点,.,例,2,指出函数,在点,的奇点特性,.,解,即在,的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点为,总有,不是孤立奇点,.,所以,孤立奇点的分类,依据,在其孤立奇点,的去心邻域,内的洛朗级数的情况分为三类,:,1,可去奇点,1,可去奇点,;2,极点,;3,本性奇点,.,如果洛朗级数中不含,的负幂项,那末孤立奇点,称为,的可去奇点,.,1),定义,其和函数,为在,解析的函数,.,说明,:(1),(2),无论,在,是否有定义,补充定义,则函数,在,解析,.,2),可去奇点的判定,(1),由定义判断,:,的洛朗级数无负,在,如果,幂项则,为,的可去奇点,.,(2),判断极限,若极限存在且为有限值,则,为,的可去奇点,.,如果补充定义,:,时,那末,在,解析,.,例,3,中不含负幂项,是,的可去奇点,.,例,4,说明,为,的可去奇点,.,解,所以,为,的可去奇点,.,无负幂项,另解,的可去奇点,.,为,2.,极点,其中关于,的最高幂为,即,级极点,.,那末孤立奇点,称为函数,的,或写成,1),定义,如果洛朗级数中只有有限多个,的,负幂项,特点,:,说明,:,1.,2.,(1),(2),的极点,则,为函数,如果,例,5,有理分式函数,是二级极点,是一级极点,.,2),极点的判定方法,的负幂项为有,的洛朗展开式中含有,限项,.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,(1),由定义判别,(2),由定义的等价形式判别,(3),利用极限,判断,.,课堂练习,求,的奇点,如果是极点,指出它的,级数,.,答案,3.,本性奇点,如果洛朗级数中,含有无穷多个,那末孤立奇点,称为,的本性奇点,.,的负幂项,例如，,含有无穷多个,z,的负幂项,特点,:,在本性奇点的邻域内,不存在且不,为,同时,不存在,.,综上所述,:,孤立奇点,可去奇点,m,级极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为,有限值,不存在,且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,含有限个负幂项,关于,的最高幂,为,二、函数的零点与极点的关系,1.,零点的定义,不恒等于零的解析函数,如果,能表示成,其中,在,解析且,m,为某一正整数,那末,称为,的,m,级零点,.,例,6,注意,:,不恒等于零的解析函数的零点是孤立的,.,2.,零点的判定,零点的充要条件是,证,(,必要性,),由定义,:,设,的泰勒展开式为,:,如果,在,解析,那末,为,的,级,如果,为,的,级零点,其中,展开式的前,m,项系数都为零,由泰勒级数的系数,公式知,:,并且,充分性证明略,.,(1),由于,知,是,的一级零点,.,课堂练习,是五级零点,是二级零点,.,知,是,的一级零点,.,解,(2),由于,答案,例,7,求以下函数的零点及级数,:,(1),(2),的零点及级数,.,求,3.,零点与极点的关系,定理,如果,是,的,m,级极点,那末,就是,的,m,级零点,.,反过来也成立,.,证,如果,是,的,m,级极点,则有,当 时,函数,在,解析且,由于,只要令,那末,的,m,级零点,.,就是,反之如果,的,m,级零点,是,那末,当 时,解析且,所以,是,的,m,级极点,.,说明,此定理为判断函数的极点提供了一个较,为,简便的方法,.,例,8,函数,有些什么奇点,如果是极点,指出,它的级,.,解,函数的奇点是使,的点,这些奇点是,是孤立奇点,.,的一级极点,.,即,解,解析且,所以,不是二级极点,而是一级极点,.,是,的几级极点,?,思考,例,9,问,是,的二级极点吗,?,注意,:,不能以函数的表面形式作出结论,.,三、函数在无穷远点的性态,1.,定义,如果函数,在无穷远点,的去心,邻域,内解析,则称点,为,的孤,立奇点,.,R,x,y,o,令变换,规定此变换将,:,映射为,扩充,z,平面,扩充,t,平面,映射为,映射为,映射为,结论,:,在去心邻域,内对函数,的研究,在去心邻域,内对函数,的研究,因为,在去心邻域,内是解析的,所以,是,的孤立奇点,.,规定,:,m,级奇点或本性奇点,.,的可去奇点、,m,级奇点或,本性奇点,如果,t=,0,是,是,的可去奇点、,那末就称点,1),不含正幂项,;,2),含有有限多的正幂项且,为最高正幂,;,3),含有无穷多的正幂项,;,那末,是,的,1),可去奇点,;,2),m,级极点,;,3),本性奇点,.,判别法,1(,利用洛朗级数的特点,),2.,判别方法,:,在,内的洛朗级数中,:,如果,例,10 (1),函数,在圆环域,内的洛朗展开式为,:,不含正幂项,所以,是,的可去奇点,.,(2),函数,含有正幂项且,z,为最高正,幂项,所以,是,的,m,级极点,.,(3),函数,的展开式,:,含有无穷多的正幂项,所以,是,的本性奇点,.,课堂练习,的奇点及其,类型,.,说出函数,答案,判别法,2:(,利用极限特点,),如果极限,1),存在且为有限值,;,2),无穷大,;,3),不存在且不为无穷大,;,那末,是,的,1),可去奇点,;,2),m,级极点,;,3),本性奇点,.,例,11,函数,在扩充复平面内,有些什么类型的奇点,?,如果是极点,指出它的级,.,解,函数,除点,外,所以这些点都是,的一级零点,故这些点中除,1,-1,2,外,都是,的三级极点,.,内解析,.,在,所以,那末,是,的可去奇点,.,因为,不是,的孤立奇点,.,所以,四、小结与思考,理解孤立奇点的概念及其分类；掌握可去,奇点、极点与本性奇点的特征；熟悉零点与极,点的关系,.,思考题,思考题答案,Thank You!,再见！,