材料力学3扭转.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,扭 转,第三章 扭 转,3.1,扭转的概念和实例,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,3.3,纯剪切,3.4,圆轴扭转时的应力,3.5 圆轴扭转时的变形,汽车传动轴,3.1,扭转的概念和实例,汽,车方向盘转轴,3.1,扭转的概念和实例,在,垂直于杆轴的两个平面,内，,受到一对大小相等,方向相反的,力偶作用,杆件的横截面绕轴线产生相对转动。,扭转轴受力特点：,3.1,扭转的概念和实例,受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍,圆轴扭转,。,扭转轴的变形特点,:,M,e,M,e,2.,任意两个横截面绕轴线产生相对转动，相对转过的角度为相对扭转角。,（扭转角,）,1.,杆的母线变为一斜直线。,直接计算,1.,外力偶矩,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,使杆件产生扭转变形的外力偶，称为扭力矩,。,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知,轴转速,n,转,/,分钟,输出功率,P,千瓦,求：力偶矩,M,e,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,功率、转速与扭力矩之间关系：,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,若,P,的单位为千瓦,若,P,的单位为马力,2.,扭矩和扭矩图,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,用截面法研究横截面上的内力,T,T=Me,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为,正,(+),反之为,负,(-),3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,m,I,T,I,m,I,I,T,m,I,T,I,m,I,I,T,截面法求扭矩时一律设为,正,扭矩！,扭矩图,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,解,:,(1),计算外力偶矩,例题,3.1,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,传动轴,已知转速,n=300r/min,主动轮,A,输入功率,P,A,=45kW,三个从动轮输出功率分别为,P,B,=10kW,P,C,=15kW,P,D,=20kW.,试绘轴的扭矩图,.,由公式,(2),计算扭矩,（设正法）,(3),扭矩图,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,T,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,传动轴上主、从动轮安装的位置不同，轴所承受的最大扭矩也不同。,A,B,C,D,A,318N,.,m,795N,.,m,1432N,.,m,T,3.2,外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,D,薄壁圆筒：,壁厚,（,r,：,平均半径）,一、实验：,1.,实验前：,画纵向线，圆周线；,施加一对外力偶,m,。,3.3,纯剪切,2.,实验后变形特征,圆筒表面各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。（横截面可看作刚性圆片）,各纵向线均倾斜了同一微小角度,。,所有小矩形网格均倾斜成同样大小的平行四边形。,3.3,纯剪切,横截面上各点无正应力,横截面上各点必有切应力,，其方向,垂直于半径，指向,与该截面的扭矩转向一致，,切应力,沿壁厚方向近似认为,均匀分布。,结论,3.3,纯剪切,二、薄壁圆筒切应力,大小：,A,：平均半径所作圆的面积。,3.3,纯剪切,x,y,z,dx,dy,dz,单元体：边长微小的直角六面体。,dx,dy,左右面为横截面,上下面为纵向截面,前后面为自由表面,分析受力（用应力表示）,若平衡，上下面必有与,x,轴平行的切应力。,左右面（横截面）：,(,t,dydz,),dx,平衡,上下面：,(,t,dxdz,),dy,(,t,dydz,),dx,(,t,dxdz,),dy,T,T,三,、切应力互等定理,3.3,纯剪切,在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。,切应力互等定理,：,纯剪切,在其两对相互垂直的,截面上只有切应力没有正应力的情况称为纯剪切,3.3,纯剪切,试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。,30MPa,例题,3.3,纯剪切,三、切应变 剪切胡克定律,在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量,称为切应变。,当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变,与切应力,成正比，这个关系称为,剪切胡克定律,。,G,剪切弹性模量,(,GN/m,2,),各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：,四、剪切应变能,x,y,z,单元体外力作功,应变能密度,横截面上的应力,表面变形情况,推断,横截面的变形情况,(,问题的几何方面,),横截面上应变的变化规律,横截面上应力变化规律,应力,-,应变关系,(,问题的物理方面,),内力与应力的关系,横截面上应力的计算公式,(,问题的静力学方面,),3.4,圆轴扭转时的应力,3.4,圆轴扭转时的应力,1.变形几何关系,观察变形：,2.,纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个,微小,角度。,圆轴扭转的平面假设：,圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。,M,e,x,p,p,q,q,M,e,x,p,p,q,q,M,e,M,e,1.,圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度；,3.4,圆轴扭转时的应力,扭转角（,rad,）,dx,微段两截面的,相对扭转角,边缘上,a,点的错动距离：,边缘上,a,点的切应变：,发生在垂直于半径的平面内。,M,e,p,p,q,q,M,e,d,c,a,b,b,p,p,q,q,3.4,圆轴扭转时的应力,距圆心为,的圆周,上,e,点的错动距离：,距圆心为,处的,切应变：,也发生在垂直于,半径的平面内,。,扭转角,沿,x,轴的变化率。,d,c,a,b,b,p,p,q,q,e,e,3.4,圆轴扭转时的应力,2.物理关系,根据剪切胡克定律,距圆心为,处的,切应力：,垂直于半径,横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。,纵向截面上的切应力：,O,T,横截面上的切应力分布图：,轴,线,T,t,t,t,圆轴扭转时，横截面上的切应力与点到圆心距离成正比，圆心处切应力为零，边缘切应力最大；同一圆上切应力相等；切应力垂直半径。,3.4,圆轴扭转时的应力,O,M,T,横截面上的切应力分布图：,M,T,O,M,T,t,max,t,max,O,t,max,t,max,t,max,t,max,3.4,圆轴扭转时的应力,3.静力关系,横截面对形心的极惯性矩,3.4,圆轴扭转时的应力,公式适用于：,1）圆杆,2）,令,抗扭截面系数,在圆截面边缘上，有最大切应力,横截面上某点的切应力的方向与扭矩方向相同，并垂直于半径。切应力的大小与其和圆心的距离成正比。,实心轴,3.4,圆轴扭转时的应力,与 的计算,空心轴,令,则,3.4,圆轴扭转时的应力,3.4,圆轴扭转时的应力,实心轴与空心轴 与 对比,思考：,对于空心圆截面，,其原因是什么？,低碳钢扭转试验开始,低碳钢扭转试验结束,塑性材料,：首先发生屈服，在试样表面出现滑移线，,最后沿横截面被剪断。,扭转失效,低碳钢扭转破坏断口,铸铁扭转破坏试验过程,铸铁扭转破坏断口,脆性材料,：变形很小，在与轴线约成,45,的面上,断裂。,低碳钢,铸铁,扭转极限应力,扭转许用切应力,强度条件,3.4,圆轴扭转时的应力,扭转强度条件：,1.,等截面圆轴：,2.,阶梯形圆轴：,3.4,圆轴扭转时的应力,强度条件的应用,（1）校核强度,（2）设计截面,（3）确定载荷,3.4,圆轴扭转时的应力,例3.2,由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径,D,=89,mm,、,壁厚,=2.5,mm，,材料为20号钢，使用时的,最大扭矩,T=,1930,Nm,=70,MPa,.,校核此轴的强度。,解：（1）计算抗扭截面模量,cm,3,（2）强度校核,满足强度要求,3.4,圆轴扭转时的应力,例3.3,如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。并比较实心轴和空心轴的重量。,解：,当实心轴和空心轴的最大应力同,为,时，两轴的许可扭矩分别为,若两轴强度相等，则,T,1,=T,2,，,于是有,3.4,圆轴扭转时的应力,在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。,可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31,%,。,实心轴和空心轴横截面面积为,工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，,结构轻便，应用广泛。,P,1,=14kW,P,2,=,P,3,=,P,1,/2=7 kW,n,1,=,n,2,=120r/min,解：,1,、计算各轴的功率与转速,2,、计算各轴的扭矩,例题,3.,4,3,3.4,圆轴扭转时的应力,求,:,各,轴,横截面上的最大切应力；,并校核各轴强度。,已知：输入功率,P,1,14kW,P,2,=,P,3,=,P,1,/2,，,n,1,=,n,2,=120r/min,z,1,=36,z,3,=12;,d,1,=70mm,d,2,=50mm,d,3,=35mm.,=30,MPa,。,.,T,1,=M,1,=1114 N m,T,2,=M,2,=557 N m,T,3,=M,3,=185.7 N m,3,、计算各轴的横截面上的,最大切应力；,校核各轴,强度,3,3.4,圆轴扭转时的应力,满足强度要求。,等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的,相对扭转角,(,相对角位移,),j,来度量。,M,e,A,D,B,C,M,e,j,g,3.5,圆轴扭转时的变形,当等直圆杆相距,l,的两横截面之间，扭矩,T,及材料的切变模量,G,为常量时有,由,前已,得到的扭转角沿杆长的变化率,(,亦称,单位长度扭转角,),为 可知，杆的相距,l,的两横截面之间的相对扭转角,j,为,抗扭刚度,3.5,圆轴扭转时的变形,对于阶梯轴或各段 、不同时有,代入正负号,单位长度扭转角,扭转刚度条件,3.5,圆轴扭转时的变形,许用单位扭转角,rad/m,/,m,刚度条件公式,注意：,单位：,N-m,的数值按照对机器的要求决定：,精密机器的轴：,一般传动轴：,精度要求不高的轴：,刚度计算的三方面：,校核刚度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,扭转强度条件,扭转刚度条件,已知,T,、,D,和,，,校核强度,已知,T,和,，,设计截面,已知,D,和,，,确定许可载荷,已知,T,、,D,和,/,，,校核刚度,已知,T,和,/,，,设计截面,已知,D,和,/,，,确定许可载荷,3.5,圆轴扭转时的变形,例题,3.6,3.5,圆轴扭转时的变形,某传动轴所承受的扭矩,T=200Nm，,轴的直径,d=40mm，,材料的,=40MPa，,剪切弹性模量,G=80GPa，,许可单位长度转角,/,=1,/,m。,试校核轴的强度和刚度。,传动轴的转速为,n,=500r/min,，主动轮,A,输入功率,P,1,=400kW,，从动轮,C,，,B,分别输出功率,P,2,=160kW,，,P,3,=240kW,。已知,=70MPa,，,=1,/m,，,G,=80GPa,。,(1),试确定,AC,段的直径,d,1,和,BC,段的直径,d,2,；,(2),若,AC,和,BC,两段选同一直径，试确定直径,d,；,(3),主动轮和从动轮应如何安排才比较合理,?,解：,1.,外力偶矩,例题,3.7,3.5,圆轴扭转时的变形,2.,扭矩图,按刚度条件,3.,直径,d,1,的选取,按强度条件,3.5,圆轴扭转时的变形,按刚度条件,4.,直径,d,2,的选取,按强度条件,5.,选同一直径时,3.5,圆轴扭转时的变形,6.,将,主动轮安装在两从动轮之间,受力合理,3.5,圆轴扭转时的变形,小结,1,、受扭物体的受力和变形特点,2,、扭矩计算，扭矩图绘制,3,、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算,4,、圆轴扭转时的变形及刚度计算,