材料力(刘鸿文第四版)课件 第二章~1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,轴 向 拉，压与剪切,第 二 章,轴向拉伸和压缩的,概念与实例,轴向拉伸和压缩时横截面上的内力和应力,轴向拉伸和压缩时的变形,失效，安全因数,和强度计算,直杆,轴向拉伸和压缩时斜截面上应力,轴向拉伸和压缩变形能,拉，压超静定问题，温度应力和装配应力,材料的力学性,能,剪切和挤压的实用计算,目录,钢压杆,2.1,轴向拉伸和压缩,的,概念与实例,杆件的变形是沿轴线方向伸长或缩短。,一，轴向拉伸和,压缩变形的受力特征,作用于杆上的外力（或外力合力）的作用线与杆的轴线重合。,二，变形特征,三，,计算简图,杆的两端各受一对集中力,F,作用，两个,F,大小相等,，,指向相反,，,且作用线与杆轴线重合,。,轴向拉伸，杆发生纵向伸长,轴向压缩,杆发生纵向缩短。,F,F,F,F,一，横截面上的内力（,轴力,）,截面法是求内力的一般方法,1,，截面法求内力,设一等直杆在两端轴向拉力,F,的作用下处于平衡，欲求杆件,横截面,mm,上的内力,2.2,轴向拉伸或压缩时,横截面,上的内力和应力,在求内力的截面,mm,处,，,假想地将杆截为两部分，取其中一部分为研究对象，如左侧杆段（,脱离体,）,。,（,1,）截开,m,m,F,F,F,m,m,m,m,F,F,F,m,m,（,2,）代替,弃去部分对研究对象的作用以截开面上的内力代替。合力为,F,N,。,F,N,m,m,F,F,F,m,m,F,N,（,3,）平衡,对研究对象列平衡方程,F,N,=F,m,m,F,F,F,m,m,F,N,F,N,与,杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过其形心,。,称为,轴力,。,F,N,为杆件任一横截面,mm,上的内力。,m,m,F,F,F,m,m,F,N,F,N,m,m,F,若取 右侧为研究对象，则在截开面上的轴力与左侧部分,上的轴力数值相等而指向相反。,m,m,F,F,F,m,m,F,N,F,N,m,m,F,2,，轴力符号的规定,若轴力的指向背离截面，则规定为,正号,，称为拉力。,若轴力的指向指向截面，则规定为,负号,，,称为压力。,+,+,F,N,x,2,，轴力图,用,平行于杆轴线的坐标,表示横截面的位置，用垂直于杆轴线,的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截,面位置关系的图线，称为,轴力图,。,将正的轴力画在上侧，,负的画在下侧。,例题,：一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。,C,A,B,D,E,40KN,55KN,25KN,20KN,解：求支座反力,F,C,A,B,D,E,40KN,55KN,25KN,20KN,C,A,B,D,E,40KN,55KN,25KN,20KN,20KN,C,A,B,D,E,40KN,55KN,25KN,F,用力的作用截面将杆分段,该杆分为：,AB,，,BC,，,CD,，,DE,，,四段。,分别求出各段横截面上的轴力再画轴力图。,求,AB,段内的轴力（,假设轴力为正,）,F,N1,F=,0,F,N1,=F=,+,10KN,20KN,C,A,B,D,E,40KN,55KN,25KN,F,1,F,F,N1,(+),轴力符号与计算符号相同。,计算符号,轴力符号,20KN,C,A,B,D,E,40KN,55KN,25KN,F,求,BC,段内的轴力（,假设轴力为正,）,F,40KN,F,N2,2,轴力符号与计算符号相同。,20KN,C,A,B,D,E,40KN,55KN,25KN,F,3,F,N3,求,CD,段内的轴力（,假设轴力为正,）,（,-,）,F,N3,=-5KN,20KN,25KN,轴力符号与计算符号相同。,20KN,C,A,B,D,E,40KN,55KN,25KN,F,求,DE,段内的轴力（,假设轴力为正,）,20KN,F,N4,4,轴力符号与计算符号相同。,F,N1,=10KN （,拉力）,F,N2,=50KN （,拉力,）,F,N3,=-5KN （,压力）,F,N4,=20KN （,拉力）,F,Nmax,=50KN,发生在,BC,段内任一横截面上,10,5,20,50,+,+,C,A,B,D,E,40KN,55KN,25KN,20KN,10,5,20,50,+,+,C,A,B,D,E,40KN,55KN,25KN,20KN,右,左,B,注意,1,，计算横截面上的轴力时，应先假设轴力为正值，则轴力的实,际符号与其计算符号一致。,（,设正法,）,2,，在集中力作用的截面两侧剪力值（图）发生突变，其突变,值等于集中力的数值。,三，直杆横截面上的应力,（1,）实验,（2,）观察现象,（3,）通过观察到的现象得出结论,（4,）通过结论推倒出应力公式,研究应力的方法,取一等直杆，在其侧面上画出许多与轴线平行的纵向线和,与轴线垂直的横向线,在两端施加一对轴向拉力,F,实 验,F,F,所有的纵向线伸长都相等，而横向线保持为直线且与,纵向线垂直。,观 察 现 象,F,F,（2,）各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同。,结 论,（1,）,平面假设：,直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面,。,F,F,由结论可知，在横截面上作用着均匀分布的正应力。,F,F,N,推 导公 式,F,F,N,式中：,F,N,为轴力，,A,为杆的横截面面积。,的符号与,轴,力,F,N,的符号相同,。,当,轴力为正号时（拉伸），,正应力也,为正号，称为拉,应力，,当,轴力为负号时（压缩），,正应力也,为负号，称为压,应力，,四，变截面杆横截面上的正应力,A(x),l,x,F,式中：,(,x),，,A(x),，,F,N,(x),都,是横截面位置,x,的函数。,例题,：一横截面为正方形的砖柱分上，,下两段，其受力情况，各段长度及,横截面面积如图所示。已知,F=50KN，,试求荷载引起的最大工作应力。,F,A,B,C,F,F,3000,4000,370,240,2,1,50KN,150KN,解：先作轴力图,F,A,B,C,F,F,3000,4000,370,240,2,1,50KN,150KN,F,A,B,C,F,F,3000,4000,370,240,2,1,max,在柱的下段，其值为,1.1,MPa，,是压应力。,例题：悬臂吊车斜杆,AB,为直径,d=20mm,的钢杆，荷载,W=15KN，,当,W,移到,A,点时，求斜杆,AB,横截面上的应力。,0.8m,A,B,C,W,1.9m,0.8m,A,B,C,W,1.9m,1,2,A,W,F,1,F,2,解：,(+),F,F,求与横截面成,角的任一斜截面,kk,上的应力,2.3,直杆轴向拉伸或压缩时 斜截面上的应力,k,k,截面法：假想地用一平面沿,斜截面,kk,将杆截为二，取左段为研究对象,k,k,F,F,k,F,k,x,n,k,k,F,F,k,F,k,为斜截面,KK,的外法线,n,与轴线的夹角,k,x,n,F,k,F,F,p,p,为斜截面,KK,上的,全应力,k,k,k,x,n,F,k,F,F,p,k,k,逆时针时,为正号,顺时针时,为负号,符号的规定,自,x,转向,n,：,+,k,x,n,F,k,F,F,p,k,k,+,A,为斜截面的面积,k,x,n,F,k,F,F,p,k,k,+,A,为斜截面的面积,A,为横截面的面积,k,x,n,F,k,F,F,p,k,k,+,为横截面上的正应力,沿截面法线方向的正应力,沿截面切线方向的切应力,将应力,p,分解为两个分量：,F,F,p,F,p,F,F,p,F,p,切应力：对研究对象任一点,取矩。,顺时针为正,逆时针为负,符号的规定：,正应力,拉伸为正,压缩为负,+,+,F,p,F,p,（,1,）当,=0,时（,横截面）,，,max,=,拉压杆最大,正应力发生在横截面上,。,在此截面上切应力为零。,讨 论,F,p,=45,0,时，,（,2,）数值上最大的切应力发生在与轴线成,45,0,的斜截面上,=-45,0,时，,F,p,在平行于杆件轴线的纵向截面上无任何应力。,（,3,）,=90,0,时（,平行于杆件轴线的纵向截面）,2.4,材料在拉伸时的力学性质,力学性质,：材料在外力作用下，在强度与变形方面表现出来,的性能。,一，,低碳钢拉伸试验,1,，试验方法,d,d,先在,试样,中间等直部分上划两条横线这一段杆称为,标距,l,。,l,=10d,或,l,=5d,l,标距,设备主要有两类，一类称为,万能试验机,。另一类设备是用来,测试变形的,变形仪,。,F,o,l,2,，低碳钢拉伸时的力学性质,（,1,）拉伸图（,F,l,图,）,试样的变形完全是弹性的。此阶段内的直线段材料满足胡克定律。,阶段,1,：弹性阶段,F,o,l,1,F,o,l,1,阶段,11,：屈服阶段,试样的荷载基本不变而试样却不断伸长。,屈服阶段出现的变形是不可恢复的塑性变形。,试样外表面有大约与轴线成,45,0,方向的条纹，称为滑移线。,2,F,o,l,1,2,3,阶段,111,：强化阶段,在强化阶段试样的变形主要是塑性变形。在此阶段可以较明显,地看到整个试样的横向尺寸在缩小。,F,o,l,1,2,3,4,阶段,1,V：,局部变形阶段,试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现,颈缩,现象。一直到试样被拉断。,F,o,l,1,2,3,4,若到,强化阶段,的,某一点,停止加载，并逐渐卸载，在卸载过程中，,荷载与试样伸长量之间遵循直线关系的规律称为材料的卸载定律。,C,a,b,卸载定律,F,o,l,1,2,3,4,C,a,b,l,C,是试样的弹性变形,l,S,是试样的塑性变形,F,o,l,1,2,3,4,C,a,在常温下把材料预拉到强化阶段然后卸载，当再次加载时，,试样在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大。,b,冷作硬化,F,o,l,1,2,3,4,C,a,b,若试样预拉到强化阶段然后卸载，经过一段时间后再受拉，,则弹性范围内所能承受的最大荷载还有所提高。,冷作时效,o,A,点,是应力与应变成正比的最高限。,1,2,4,3,（,2,）应力应变曲线,P,比例极限,A,o,1,2,4,3,B,C,B,点是弹性阶段的最高点。,C,弹性,极限,D,S,D,点为屈服低限,S,屈服,极限,A,o,1,2,4,3,A,B,C,D,S,b,强度,极限,G,点是强化阶段的,最高点,G,试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由,l,变为,l,1,，,横截面积原为,A,，,断口处的最小横截面积为,A,1,。,断面收缩率：,延伸率：,和,均较高的材料，称作塑性材料。,P,23,P,29,自 学,2.7,失效，安全因数和强度计算,一，失效,断裂或出现塑性变形统称为失效；受压短杆的被压溃，压扁,同样也是失效。,强度不足造成的构件的失效；,刚度不足造成的构件的失效；,稳定性不足造成的构件的失效；,本节只讨论,强度问题,二 、安全因数 许用应力,对于某种材料，应力的增加是有限度的，超过这一限度,材料就要破坏。,应力可能达到的这一限度称为材料极限应力,u,。,材料的两个强度指标,s,和,b,称作极限应力。,塑性材料：,u,=,S,脆性材料：,u,=,b,杆件能安全工作的应力最大值，称为许用应力,。,n,是一个大于,1,的因数，称作安全因数。,塑性材料：,脆性材料：,强度条件,：杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力。,三，强度条件,等直杆内最大正应力发生在最大轴力所在的横截面上。,该截面称为,危险截面,。,危险截面上的正应力称为,最大工作应力,。,（1,）强度校核,（2,）设计截面,（3,）确定许可核载,F,max,强度计算问题的三种类型,例题,：三角屋架的主要尺寸如图所示，它所承受的竖向均布荷载沿水平方向的集度为,q,=4.2kN/m。,屋架中钢拉杆,AB,直径,d,=16mm，,许用应力,=170,MPa,。,试校核,AB,的强度。,0.4m,C,q,A,B,9.3m,8.5m,1.42m,R,B,H,A,R,A,解：,（,1,）求支反力,C,q,A,B,9.3m,8.5m,1.42m,A,C,q,4.65,4.25,1.42,（2,）求拉杆的轴力,F,N,R,x,R,y,A,C,q,4.65,4.25,1.42,F,N,R,x,R,y,(3),强度校核,例题,：简易起重设备中，,AC,杆由两根,80,8 0,7,等边角钢组,成，,AB,杆由两根,10,号工字钢组成。材料为,Q235,钢，许用应力,=170,MPa 。,求许可荷载,F。,A,B,C,F,1m,30,0,F,A,x,y,解：取结点,A,为研究对象，受力分析如图,所示。,F,N1,F,N2,A,B,C,F,1m,30,0,结点,A,的平衡方程为,得到：,F,A,x,y,F,N1,F,N2,由型钢表查得,F,A,x,y,F,N1,F,N2,许可轴力为,F,N1,=2F,F,N2,=1.732F,各杆的许可荷载,许可荷载,F=184.6kN,例题,：,刚性杆,ACB,有圆杆,CD,悬挂在,C,点，,B,端作用集中力,P=25 KN，,已知,CD,杆的直径,d=20 mm，,许用应力,=160,MPa,，,试：,（,1,）校核,CD,杆的强度，,（2,）结构的许可荷载,P；,（3）,若,P=50 KN，,设计,CD,杆的,直径。,2a,a,P,A,B,D,C,解：求,CD,杆受,力,F,NCD,P,A,C,B,（1,）校核,CD,杆的强度,2a,a,P,A,B,D,C,F,NCD,P,A,C,B,2a,a,P,A,B,D,C,P=33.5KN,（2,）结构的许可荷载,P,F,NCD,P,A,C,B,2a,a,P,A,B,D,C,（2,）若,P=50KN，,设计,CD,杆的,直径。,d=24.4mm,取d=25mm,2.8,轴向拉伸或压缩的变形,l,d,一、,变形与线应变,d,1,P,P,l,1,l,d,d,1,P,P,l,1,杆件的纵向伸长为,纵向线应变为,伸长时纵向线应变为正，缩短时纵向线应变为负。,l,d,d,1,P,P,l,1,杆件在纵向变形的同时，将有横向变形。,杆件的横向线应变为,伸长时横向线应变为负，缩短时横向线应变为正。,l,d,d,1,P,P,l,1,二，,泊松比,当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩,沿纵向缩短时，横向则伸长。,l,d,d,1,P,P,l,1,横向线应变与纵向线应变之间的关系,称为,泊松比,或,横向变形因数,三、虎克定律,实验表明工程上大多数材料都有一个,弹性阶段,，在此范围内,轴向 拉，压 杆件的 伸长 或 缩短量,l,，,与轴力,F,N,和杆长,l,成正比，与横截面面积,A,成反比。,式中,E,称为,弹性模量,，,EA,称为,抗拉（压）刚度,。,上式称,虎克定律,上式改写为,虎克定律：,在线弹性范围,，正应力与线应变成正比。,或称单轴应力状态下的虎克定律,例题,：,图所示杆系由两根钢杆,1,和,2,组成。已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成,=30,0,的角度，长度均为,l,=2m，,直径均为,d,=25mm，,钢的弹性模量为,E,=210,GPa,。,设在点处悬挂一重物,P=100,kN,，,试求,A,点,的位移,A,。,A,B,C,1,2,解：列平衡方程，求杆的轴力,F,N2,F,N1,A,B,C,1,2,P,x,y,A,F,N2,F,N1,A,B,C,1,2,P,x,y,A,两杆的变形为,（,伸长）,A,B,C,1,2,A,B,C,1,2,变形的几何条件相容是，变形后，两杆仍应铰结在一起。,画变形图求位移,以两杆伸长后的长度,BA,1,和,CA,2,为半径作圆弧相交于,A,，,即为,A,点的新位置。,AA,就是,A,点的位移。,A,1,A,1,2,C,B,A,B,C,1,2,A,1,A,1,2,C,B,A,B,C,1,2,因变形很小，故可过,A,1,，,A,2,分别做两杆的垂线，相交于,A,可认为,A,1,1,2,A,C,B,所以,A,B,C,1,2,例题,：图示三角形架,AB,和,AC,杆的弹性模量,E=200GPa,，,求当,P=130KN,时节点的位移。,A,1,=2172mm,2,，A,2,=2548mm,2,。,A,B,C,P,30,0,1,2,2m,A,B,C,P,30,0,1,2,P,A,F,N1,F,N2,30,0,解：由平衡方程的两杆的轴力,1,杆受,拉,，,2,杆受,压,。,2m,A,B,C,P,30,0,1,2,2m,A,1,A,2,30,0,A,3,A,B,C,P,30,0,1,2,2m,A,1,A,2,A,A,1,A,2,30,0,30,0,A,3,A,A,1,A,2,A,AA,3,为所求,A,点的位移,注意,只有在杆长,l,范围内，各截面的轴力,F,N,为常量，才能直接用,该公式。,若为变截面杆,A(x),，,或轴力是变量,F,N,(x)，,须积分求,l,。,例题,：结构如图所示。杆,1,和杆,2,的材料，截面面积均相同，,A=100mm,2,，E=200GPa。,当,P=9KN,时 测得杆,1,的轴向,线应变,1,=20010,-6,，试求此时结构,C,端的竖直位移,C,。,A,B,C,P=9KN,1.732m,1.732m,1,2,30,0,刚杆,解：,(1),求,F,N1,，F,N2,A,B,C,P=9KN,1.732m,1.732m,1,2,30,0,刚杆,P,F,N1,F,N2,A,B,C,A,B,C,P=9KN,1.732m,1.732m,1,2,30,0,P,F,N1,F,N2,A,B,C,列平衡方程,求得,F,N2,=16KN,A,B,C,1,2,30,0,(2),求,C,点的竖直位移,画变形图,B,1,C,1,例题,：,一等直杆受自重及集中力,P,作用。杆的长度为,l,，,横,截面面积为,A，,材料的容重为,，弹性模量为,E。,试分析杆的,自,重对强度的影响，并求杆的伸长。,l,P,P,x,m,m,Ax,F,N,(x),解：,F,N,(x)=P+,Ax,+,P+,A,l,P,F,Nmax,=P+,A,l,l,P,m,m,x,P,x,m,m,Ax,F,N,(x),+,P+,A,l,P,F,Nmax,=P+,A,l,l,P,m,m,x,可见，若杆的,l,很小，则杆的自重影响很小，可略去不计。,F,N,(x),F,N,(x)+,dF,N,(x),dx,Adx,P,x,m,m,Ax,F,N,(x),l,P,m,m,x,F,N,(x)=P+,Ax,F,N,(x),F,N,(x)+,dF,N,(x),dx,Adx,P,x,m,m,Ax,F,N,(x),l,P,m,m,x,W=,A,l,为杆的自重,l,P,l,P,例题,：,图示为一变截面圆杆,ABCD。,已知,F,1,=20KN，,F,2,=35KN，F,3,=35KN。,l,1,=,l,3,=300 mm，,l,2,=400 mm。,d,1,=12mm，d,2,=16mm，d,3,=24mm。,试求：,(1)11，11,11,，111,111截面的轴力，作轴力图,(2),杆的最大正应力,max,(3),B,截面的位移及,AD,杆的变形,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,F,解：求支座反力,1,3,2,F=,-,50 KN,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,F,(1),求各段的轴力，作轴力图。,F,1,F,N1,-F,N1,+F,1,=0,F,N1,=20KN,（+）,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,F,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,F,F,2,F,1,F,N2,-F,N2,+F,1,-F,2,=0,F,N2,=-15KN,（-）,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,F,F,N3,F=0,F,N3,=F=,-,50KN,（-）,F,F,N3,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,F,F,N2,=-15KN（-）,F,N1,=20KN（+）,F,N3,=-50KN（-）,15,+,-,20,50,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,F,F,N2,=-15KN（-）,F,N1,=20KN（+）,F,N3,=-50KN（-）,(2),杆的最大正应力,max,AB,段：,DC,段：,BC,段：,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,F,F,N2,=-15KN（-）,F,N1,=20KN（+）,F,N3,=-50KN（-）,发生在,AB,段的各横截面上,(3),B,截面的位移及,AD,杆的变形,AB,段：,BC,段：,CD,段：,F,NBC,=-15KN（-）,F,NAB,=20KN（+）,F,NCD,=-50KN（-）,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,注意,1,，求节点位移时需画变形图，杆件的伸长或缩短一定与,轴力附号一致。,2,，,求一根杆的变形时，每段的,l,一定代正，负号，杆的,变形等于每段,l,的代数和。,（,单位,J),V,=W,根据能量守恒，积蓄在弹性体内的,应变能,在数值上等于外力所做作的功，即：,2.9,轴向拉伸或压缩的,应变能,应变能：伴随,弹性变形,增减而改变的能量。,一，应变能,本节只讨论线弹性体,P,l,F,l,o,F,l,l,F,l,F,l,o,F,l,l,F,（单位,J/m,3,),应变能密度：单位体积的应变能。记作,。,二，比能（,应变能密度,）,例题,：,BD,杆为无缝钢管，外径,90,mm，,壁厚,2.5,mm，,长,l,=,3m。,弹性模量,E=210,GPa,。BC,是两条横截面面积为,172,mm,2,的,钢索，弹性模量,E,1,=177,GPa,。,求,B,点的垂直位移,。设,P=30 KN。,V,=W,D,B,C,75,0,45,0,P,1,2,V,=W,D,B,C,75,0,45,0,P,1,2,解：,可求得：,l,1,=2.20 m,已知：,l,2,=3m,已知：,A,1,=2,172mm,2,=344mm,2,可求得：,A,2,=687,mm,2,V,=W,D,B,C,75,0,45,0,P,1,2,F,N2,=1.93 P,F,N1,=1.41P,由,B,点的静力平衡方程求得,约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情况称作静,定,问题。,只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。,2.10 (11),拉伸，压缩 超静定问题,2,，,超静定问题,1,，,静定问题,一，概念,F,A,B,C,D,A,C,B,F,F,F,未知力个数与独立的静力平衡方程个数之差,称作超静定的次数。,3,，,超静定的次数,5,，,多余未知力,4,，,多余约束,多于维持平衡所必需的支座或杆件。,与多余约束相应的支反,力,或内,力。,1,，一般超静定问题,例题：,两端固定的等直杆,AB,横截面积为,A，,弹性模量为,E，,在,C,点处承受轴力,P,的作用,。计算约束反力。,二，超静定问题一般解法,P,b,l,B,A,C,a,P,B,A,C,这是一次超静定问题。,列静力平衡方程,R,B,R,A,P,b,l,B,A,C,a,P,B,A,C,R,B,R,A,P,b,l,B,A,C,a,变形相容条件,：杆的总长度不变。,变形几何方程：,P,B,A,C,R,B,R,A,P,b,l,B,A,C,a,物理方程（虎克定律）：,P,B,A,C,R,B,R,A,P,b,l,B,A,C,a,补充方程：,P,B,A,C,R,B,R,A,P,b,l,B,A,C,a,静力平衡与补充方程联立求出未知反力,例：,一根用两种不同材料制成的组合杆，通过两端的水,平刚性平板作用着一对轴向压力,P。,设两种材料横截面面,积和弹性模量分别为,A,1,，E,1,和,A,2,，E,2,。,试求组合杆两种,材料中的内力和应力。,P,P,E,2,A,2,E,1,A,1,解：（,1,）画内力图，列,静力平衡方程,P,F,N1,F,N2,这是一次超静定问题,P,P,E,2,A,2,E,1,A,1,（2,）建立,变形几何方程,变形相容条件是：两种材料的缩短相等,变形几何方程为：,（3,）,物理方程,（虎克定律）,（4,）建立,补充方程,为：,P,P,E,2,A,2,E,1,A,1,（5,）联立补充方程和静力平衡方程,解得：,P,P,E,2,A,2,E,1,A,1,（5,）计算两种材料的应力,例题,：设,1,、,2,、,3,三杆用铰链连结，,l,1,=,l,2,=,l,，,A,1,=A,2,=A,E,1,=E,2,=E,3,杆的长度,l,3,横截面积,A,3,弹性模量,E,3,。,试求在沿铅垂方向的外力,P,作用下各杆的轴力。,C,A,B,D,P,1,2,3,解：列,静力,平衡,方程,C,A,B,D,P,1,2,3,F,N3,F,N1,F,N2,P,A,这是一次超静定问题。,由于,1,2,两杆在,几何,，,物理,及,受力,方面都是对称。所以,变形后,A,点将沿铅垂方向下移。,C,A,B,D,P,1,2,3,F,N3,F,N1,F,N2,P,A,相容条件：变形后三杆仍绞结在一起。,C,A,B,D,P,1,2,3,F,N3,F,N1,F,N2,P,A,C,A,B,D,1,2,3,A,C,A,B,D,1,2,3,A,A,B,D,1,2,3,A,l,1,l,2,l,3,变形,几何方程,为,物理方程,为,C,A,B,D,1,2,3,A,A,B,D,1,2,3,A,l,1,l,2,l,3,补充方程,为,F,N3,F,N1,F,N2,P,A,补充方程,平衡,方程,解得,解超静定问题的步骤,（2,）根椐变形相容条件建立变形,几何方程,。变形几何方程的,个数与超静定次数相等；,（3,）将变形与力之间的关系（,物理方程,）代入变形几何,方程得,补充方程,；,（4,）联立补充方程与静力平衡方程求解。,（1,）列,静力平衡方程,确定超静定次数；,画 受 力 图,列静力平衡方程,画 变 形 几 何 关 系 图,列 变 形 几 何关系方 程,建 立 补 充 方 程,解联立方程求出全部未知力,虎克定律,解超静定问题注意,画变形图时，杆的变形与假设的轴力符号要一致。,例题,：刚性杆,AB,如图所示。已知,1、2,杆的材料，横截面积，,长度均相同。若两杆的横截面面积,A=2cm,2,，,材料的许用应,力,=100,MPa。,试求结构所能承受的最大荷载,P,max,。,1,2,A,B,C,P,2,a,a,解：,(1),列静力平衡方程,取,AB,为研究对象,1,2,A,B,C,P,2,a,a,F,N1,F,N2,P,N,F,N2,2a+F,N1,a-P a=0,这是一次超静定问题,1,2,A,B,C,P,2,a,a,注意：由受力图看出，假设，,1,杆伸长,，,2,杆缩短,。,F,N1,F,N2,P,N,(2),画变形图,1,2,A,B,C,P,2,a,a,C,几何方程,2a,a,C,物理方程,补充方程,F,N2,=2F,N1,平衡方程：,2,F,N2,+F,N1,P=0,(3),由静力平衡方程和补充,方程联立解,F,N1,和,F,N2,F,N1,F,N2,P,N,1,2,A,B,C,P,2,a,a,F,N1,F,N2,P,N,1,2,A,B,C,P,2,a,a,强度条件为,求得,P=50KN,(4),由强度条件求,P,max,F,N1,F,N2,P,N,1,2,A,B,C,P,2,a,a,1,2,A,B,C,假设两杆伸长,例题,：图示平行杆系,1、2、3,悬吊着横梁,AB,(,AB,的变形略,去不计,),，在横梁上作用着荷载,G,。,如杆,1、2、3,的截面,积、长度、弹性模量均相同，分别 为,A,，,l,，,E,。,试求,1、,2、3,三杆的轴力,F,N1,，F,N2,，F,N3,。,A,B,C,G,1,2,3,a,a,l,B,A,C,G,解：,(1),平衡方程,这是一次超静定问题，,且假设,均为拉杆,。,F,N1,F,N2,F,N3,H,A,B,C,G,1,2,3,a,a,l,A,1,2,3,B,C,(2),变形,几何方程,A,B,C,G,1,2,3,a,a,l,方程物理,A,1,2,3,B,C,A,B,C,G,1,2,3,a,a,l,(3),补充方程,A,B,C,G,1,2,3,a,a,l,(4),联立平衡方程与补充方程求解,A,B,C,G,1,2,3,a,a,l,1,杆缩短，,2，3,杆伸长,例题,：桁架由三根抗拉刚度均为,EA,的杆,AD，BD,和,CD,在,D,点绞接而成，求在力,P,作用下三杆的内力。,A,B,C,D,1,2,3,P,H,解：设,AD、BD,和,CD,杆的轴力,F,N1,，F,N2,，F,N3,均为拉力,。,作节点,D,的受力图。,A,B,C,D,1,2,3,P,H,F,N1,F,N2,F,N3,D,P,A,B,C,D,1,2,3,P,H,F,N1,F,N2,F,N3,D,P,平衡方程,为,这是一次超静定问题,变形协调条件是：变形后三杆仍绞接在一起。,A,B,C,D,1,2,3,P,H,D,2,l,2,D,3,作变形图,l,1,A,B,C,D,1,2,3,P,H,1,2,3,D,D,1,D,2,l,2,D,3,l,1,1,2,3,D,F,l,2,G,D,1,D,2,l,2,D,3,l,1,1,2,3,D,D,1,F,l,2,G,E,几何方程,为,D,2,l,2,D,3,l,1,1,2,3,D,D,1,F,l,2,G,E,物理方程,补充方程,联立补充方程和平衡方程求解,F,N1,=?,F,N2,=,?,F,N3,=,?,A,B,C,D,1,2,3,P,H,例题,：设横梁,AB,的变形可以省略。,1，2,两杆的横截面面积相等，,材料相同。试求两杆的内力。,a,A,B,F,a,a,1,2,l,a,A,B,F,a,a,1,2,l,A,B,F,F,N2,F,N1,由,静力平衡方程,m,A,=0,得,A,B,F,1,2,l,画变形图写,几何方程,l,1,l,2,A,B,F,1,2,l,物理方程,l,1,l,2,补充方程,A,B,F,1,2,l,F,N1,=?F,N2,=?,A,B,1,2,l,l,1,l,2,例：,有一结构受力如图所示。水平梁,ABCD,可视为刚杆，,杆,1,和杆,2,均采用,A3,钢，材料的弹性模量,E=200GPa，,容许,应力,=120,MPa,。,杆长均为,l,=1m，,杆,1,的直径,d,1,=10mm，,杆,2,的直径,d,2,=20mm，,且的两杆长度相等（,l,1,=,l,2,=,l,）。,试求的容许荷载,P。,静力平衡方程，几何方程，物理方程，补充方程。,1,2,A,B,C,D,P,a,a,a,60,0,30,0,解：这是一次超静定问题,（1,）列静力平衡方程,A,F,N2,F,N1,60,0,30,0,P,取,ABCD,梁为研究对象,1,2,A,B,C,D,P,a,a,a,60,0,30,0,得,A,F,N2,F,N1,60,0,30,0,P,a,a,a,（2,）画变形几何关系图,建立变形几何方程,梁,ABCD,绕绞链,A,转动，,1，2,两杆仍与其绞接。,变形协调条件为：,1,2,A,B,C,D,P,a,a,a,60,0,30,0,D,B,C,A,F,N2,F,N1,60,0,30,0,P,1,2,A,B,C,D,P,a,a,a,60,0,30,0,D,B,C,A,F,N2,F,N1,60,0,30,0,P,变形几何方程,：,1,2,A,B,C,D,P,a,a,a,60,0,30,0,A,F,N2,F,N1,60,0,30,0,P,B,C,D,变形几何方程,：,（3,）建立补充方程,代入变形几何方程得,补充方程,1,2,A,B,C,D,P,a,a,a,60,0,30,0,（4,）将静力平衡方程与补充方程联立求解,1,2,A,B,C,D,P,a,a,a,60,0,30,0,（5,）根据两杆的强度条件确定容许荷载,P,1,2,A,B,C,D,P,a,a,a,60,0,30,0,结构的容许荷载为,P=12.6KN,A,C,D,2,1,3,l,B,二，装配应力,图示杆系，若,3,杆尺寸有微小误差，则在杆系装配好后各杆,将处于图中位置，因而产生轴力。,3,杆的轴力为拉力，,1，2,杆的轴力为压力。这种附加的内力就称为,装配内力,。与之相对应的应力称为,装配应力,。,A,C,D,2,1,3,l,B,A,C,D,2,1,3,B,代表杆,3,的伸长,代表杆,1,或杆,2,的缩短,代表装配后,A,点的位移,l,A,C,D,2,1,3,B,l,(1),变形几何方程,A,C,D,2,1,3,B,l,A,C,D,2,1,3,B,l,补充方程为,A,C,D,2,1,3,B,l,(4),平衡方程,补充方程为,与平衡方程联立,F,N1，,F,N2，,F,N3,可解,例题,：两铸件用两根钢杆,1，2,连接，其间距为,l,=200mm。,现要将制造得过长了,e=0.11mm,的铜杆,3,装入铸件之间，并,保持三根杆的轴线平行且等间距,a。,试计算各杆内的装配应,力。已知：钢杆直径,d=10mm，,铜杆横截面积为,20,30,mm,的,矩形，钢的弹性模量,E=210GPa，,铜的弹性模量,E,3,=100,GPa,。,铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。,A,B,B,1,A,1,C,1,1,2,C,a,a,l,C,1,3,A,B,B,1,A,1,C,1,1,2,l,C,1,3,l,3,l,1,=,l,2,C,a,a,l,C,1,3,l,3,A,B,B,1,A,1,C,1,1,2,l,1,=,l,2,C,a,a,变形几何方程为,补充方程,列平衡方程,a,a,F,N3,F,N1,F,N2,联立补充方程和平衡方程求解,可得装配内力,F,N1,，,F,N2,，,F,N3,，,进而求出装配应力。,三，温度应力,例题,：,图 示等直杆,AB,的两端分别与刚性支承连结。,设两支承的距离（即杆长）为,l,，,杆的横截面面积为,A，,材料的,弹性模量为,E，,线膨胀系数为,。试求温度升高,T,时杆内的,温度应力,。,解：,这是一次超静定问题,l,A,B,变形,相容条件,是，杆的总长度不变。即,A,l,N,A,杆的变形为两部分：,由温度升高引起的变形,由两端轴向压力引起的变形,l,T,l,A,B,B,F,N,A,A,l,A,B,B,F,N,变形几何方程是：,物理方程,A,A,l,A,B,B,F,N,补充方程：,温度内力为：,温度应力为：,例题,：桁架由三根抗拉压刚度均为,EA,的杆在,A,点绞接，,试求由于温度升高,T,而引起的温度应力。材料的线膨胀系,数为,。,1,3,2,A,B,D,C,l,B,1,C,1,A,1,解：,AB,1,，AC,1,，AA,1,分别为由于温度的升高引起,1，2,，,3,三杆的伸长。,1,3,2,A,B,D,C,l,1,3,2,A,B,1,C,1,A,1,1,3,2,A,B,D,C,l,1,3,2,A,B,1,C,1,A,1,1,3,2,A,B,D,C,l,1,3,2,A,A,2,假设装配后节点,A,下降至,A,2,处,B,1,C,1,A,1,1,3,2,A,A,2,B,2,C,2,A,1,A,2,装配后,3,杆的伸长,B,1,B,2,装配后杆,1,的缩短,C,1,C,2,装配后,2,杆的缩短,B,1,C,1,A,1,1,3,2,A,A,2,B,2,C,2,A,F,N1,F,N2,F,N3,F,N1,，,F,N2,，,F,N3,为各杆的装配内力,B,1,C,1,A,1,1,3,2,A,A,2,B,2,C,2,(1),几何方程,B,1,C,1,A,1,1,3,2,A,A,2,B,2,C,2,物理方程：,B,1,C,1,A,1,1,3,2,A,A,2,B,2,C,2,补充方程：,平衡方程,A,F,N1,F,N2,F,N3,1,3,2,A,B,D,C,l,联立求解,1,3,2,A,B,D,C,l,解