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2025年信号与系统设计测试题及答案

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1. 以下哪种信号是能量信号？
A. \(f(t)=e^{-t}u(t)\)
B. \(f(t)=\sin(2t)\)
C. \(f(t)=u(t)\)
D. \(f(t)=1\)
答案：A
解析：能量信号的能量有限，功率为 0。对选项 A，\(E=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt=\int_{0}^{\infty}e^{-2t}dt=\frac{1}{2}\)，能量有限，是能量信号；选项 B 是周期信号，功率有限，是功率信号；选项 C 和 D 能量无穷大，既不是能量信号也不是功率信号。
2. 已知信号\(f(t)\)的傅里叶变换为\(F(j\omega)\)，则\(f(2t)\)的傅里叶变换为？
A. \(\frac{1}{2}F(j\frac{\omega}{2})\)
B. \(2F(j2\omega)\)
C. \(F(j\frac{\omega}{2})\)
D. \(F(j2\omega)\)
答案：A
解析：根据傅里叶变换的尺度变换特性，若\(f(t)\)的傅里叶变换为\(F(j\omega)\)，则\(f(at)\)的傅里叶变换为\(\frac{1}{|a|}F(j\frac{\omega}{a})\)，这里\(a = 2\)，所以\(f(2t)\)的傅里叶变换为\(\frac{1}{2}F(j\frac{\omega}{2})\)。
3. 下列系统中，属于线性时不变系统的是？
A. \(y(t)=f(t - 1)\)
B. \(y(t)=f^2(t)\)
C. \(y(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\)
D. \(y(t)=tf(t)\)
答案：A
解析：线性时不变系统满足叠加性和均匀性以及时不变性。选项 A 满足时不变性，当\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)分别作用时，\(y_1(t)=f_1(t - 1)\)，\(y_2(t)=f_2(t - 1)\)，\(af_1(t)+bf_2(t)\)作用时，\(y(t)=af_1(t - 1)+bf_2(t - 1)\)，满足线性；选项 B 不满足线性；选项 C 是线性系统但不满足时不变性；选项 D 不满足线性。
4. 信号\(f(t)=\cos(2\pi t)+\sin(4\pi t)\)的周期为？
A. 1
B. 2
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{1}{4}\)
答案：A
解析：\(\cos(2\pi t)\)的周期\(T_1 = 1\)，\(\sin(4\pi t)\)的周期\(T_2=\frac{1}{2}\)，两个周期信号之和的周期是它们周期的最小公倍数，所以\(f(t)\)的周期为 1。
5. 已知系统的冲激响应\(h(t)=u(t)\)，输入\(f(t)=e^{-t}u(t)\)，则系统的零状态响应为？
A. \((1 - e^{-t})u(t)\)
B. \(e^{-t}u(t)\)
C. \(u(t)\)
D. \((1 + e^{-t})u(t)\)
答案：A
解析：零状态响应\(y_{zs}(t)=f(t)h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)h(t - \tau)d\tau=\int_{0}^{t}e^{-\tau}d\tau=(1 - e^{-t})u(t)\)。
6. 离散序列\(x[n]=\delta[n - 1]+\delta[n + 1]\)的 Z 变换为？
A. \(z^{-1}+z\)
B. \(z + z^{-1}\)
C. \(2z\)
D. \(2z^{-1}\)
答案：B
解析：根据 Z 变换的定义，\(Z[\delta[n - 1]] = z^{-1}\)，\(Z[\delta[n + 1]] = z\)，所以\(X(z)=z + z^{-1}\)。
7. 序列\(x[n] = a^n u[n]\)，其收敛域为？
A. \(|z|>|a|\)
B. \(|z|<|a|\)
C. \(|z|=|a|\)
D. 全 z 平面
答案：A
解析：\(X(z)=\sum_{n = 0}^{\infty}(az^{-1})^n=\frac{1}{1 - az^{-1}}\)，收敛条件是\(|az^{-1}|<1\)，即\(|z|>|a|\)。
8. 已知\(F(s)=\frac{s + 1}{s^2 + 2s + 2}\)，其拉普拉斯逆变换\(f(t)\)为？
A. \(e^{-t}\cos t\)
B. \(e^{-t}\sin t\)
C. \(e^{-t}(\cos t+\sin t)\)
D. \(e^{-t}\)
答案：C
解析：\(F(s)=\frac{s + 1}{s^2 + 2s + 2}=\frac{s + 1}{(s + 1)^2+1}\)，根据拉普拉斯逆变换公式，\(f(t)=e^{-t}(\cos t+\sin t)\)。
9. 信号\(f(t)\)的拉普拉斯变换\(F(s)\)的收敛域不包含？
A. 有限值的\(s\)
B. 无穷大
C. 虚轴
D. 原点
答案：D
解析：拉普拉斯变换的收敛域是使得\(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|e^{- \sigma t}dt\)收敛的\(s=\sigma + j\omega\)的取值范围，不包含原点。
10. 下列关于离散傅里叶变换（DFT）的说法，错误的是？
A. DFT 是对序列的离散频域表示
B. 有限长序列的 DFT 是其 Z 变换在单位圆上的等间隔采样
C. DFT 具有周期性
D. DFT 变换后序列长度会改变
答案：D
解析：DFT 是对有限长序列进行的变换，变换后序列长度不变，选项 D 错误。

二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
1. 信号\(f(t)\)是实偶函数，则其傅里叶变换\(F(j\omega)\)是______。
答案：实偶函数
解析：根据傅里叶变换的性质，实偶函数的傅里叶变换是实偶函数。
2. 已知\(f(t)\)的傅里叶变换为\(F(j\omega)\)，则\(\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)d\omega=\)______。
答案：\(2\pi f(0)\)
解析：由傅里叶变换的积分特性可得。
3. 系统的单位阶跃响应\(g(t)\)与冲激响应\(h(t)\)的关系为______。
答案：\(g(t)=\int_{-\infty}^{t}h(\tau)d\tau\)
解析：单位阶跃响应是冲激响应的积分。
4. 离散序列\(x[n]\)的 Z 变换\(X(z)\)在\(z = z_0\)处收敛，则\(|z_0|\)的取值范围是______。
答案：收敛域内
解析：Z 变换收敛域是使得\(X(z)\)收敛的\(z\)的取值范围，\(z = z_0\)在收敛域内。
5. 已知\(F(s)=\frac{1}{s(s + 1)}\)，其拉普拉斯逆变换\(f(t)=\)______。
答案：\(1 - e^{-t}\)
解析：对\(F(s)\)进行部分分式展开再求逆变换。

三、简答题（每题 10 分，共 30 分）
1. 简述信号的分类方式有哪些？
答案：信号可按多种方式分类。按信号随时间的变化规律可分为确定性信号和随机信号；按信号的周期性可分为周期信号和非周期信号；按信号的能量或功率特性可分为能量信号和功率信号；按信号的取值情况可分为连续信号和离散信号；按信号的自变量性质可分为时间信号和非时间信号等。
解析：信号分类方式多样且重要，不同分类方式有助于从不同角度理解信号特性。
2. 说明线性时不变系统的性质有哪些？
答案：线性时不变系统具有叠加性、均匀性和时不变性。叠加性指当系统有多个输入时，总输出等于各个输入单独作用时输出之和；均匀性指输入乘以常数时，输出也乘以相同常数；时不变性指当输入延迟或提前某个时间时，输出也相应延迟或提前相同时间。
解析：这些性质是分析线性时不变系统的基础，可用于求解系统响应等问题。
3. 简述离散傅里叶变换（DFT）的物理意义。
答案：DFT 是对有限长序列的离散频域表示。它将时域的有限长序列变换到频域，得到同样长度的离散频谱序列。通过 DFT 可以分析序列的频率特性，如频率成分、幅度和相位分布等，在信号处理、频谱分析、通信等领域有广泛应用。
解析：理解 DFT 的物理意义对于利用它进行信号处理相关工作至关重要。

四、计算题（每题 10 分，共 20 分）
1. 已知信号\(f(t)=e^{-2t}u(t)\)，求其傅里叶变换\(F(j\omega)\)。
答案：
\(F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{0}^{\infty}e^{-2t}e^{-j\omega t}dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(2 + j\omega)t}dt\)
\(=\left[-\frac{1}{2 + j\omega}e^{-(2 + j\omega)t}\right]_0^{\infty}=\frac{1}{2 + j\omega}\)
解析：根据傅里叶变换的定义，将信号代入积分求解，利用指数函数积分公式得出结果。
2. 已知离散序列\(x[n] = (\frac{1}{2})^n u[n]\)，求其 Z 变换\(X(z)\)及收敛域。
答案：
\(X(z)=\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{1}{2})^n z^{-n}=\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{z^{-1}}{2})^n\)
这是一个等比级数，根据等比级数求和公式\(\sum_{n = 0}^{\infty}a^n=\frac{1}{1 - a}\)（\(|a|<1\)），可得\(X(z)=\frac{1}{1-\frac{z^{-1}}{2}}=\frac{z}{z-\frac{1}{2}}\)。
收敛域为\(|z|>\frac{1}{2}\)。
解析：按照 Z 变换定义写出级数形式，利用等比级数求和公式求解，根据收敛条件确定收敛域。

五、综合题（15 分）
已知描述系统的微分方程为\(y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)\)，初始条件\(y(0)=1\)，\(y'(0)=0\)，输入\(f(t)=u(t)\)。
1. 求系统的零输入响应\(y_{zi}(t)\)。
答案：
特征方程为\(r^2 + 3r + 2 = 0\)，
因式分解得\((r + 1)(r + 2)=0\)，
解得特征根\(r_ = -1\)，\(r_2=-2\)。
所以零输入响应\(y_{zi}(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}\)。
由初始条件\(y(0)=1\)，\(y'(0)=0\)可得：
\(y(0)=C_1 + C_2 = 1\)
\(y'(t)=-C_1e^{-t}-2C_2e^{-2t}\)，\(y'(0)=-C_! - 2C_2 = 0\)
联立解得\(C_1 = 2\)，\(C_2=-1\)。
所以\(y_{zi}(t)=2e^{-t}-e^{-2t}\)。
解析：先求特征方程和特征根，得到零输入响应形式，再利用初始条件确定系数。
2. 求系统的零状态响应\(y_{zs}(t)\)。
答案：
先求系统的冲激响应\(h(t)\)，对方程两边进行拉普拉斯变换：
\(s^2Y(s)+3sY(s)+2Y(s)=F(s)\)
\(H(s)=\frac{1}{s^2 + 3s + 2}=\frac{1}{(s + 1)(s + 2)}=\frac{1}{s + 1}-\frac{1}{s + 2}\)
\(h(t)=(e^{-t}-e^{-2t})u(t)\)
已知\(f(t)=u(t)\)，其拉普拉斯变换\(F(s)=\frac{1}{s}\)。
零状态响应\(y_{zs}(t)=f(t)h(t)\)
\(Y_{zs}(s)=F(s)H(s)=\frac{1}{s(s + 1)(s + 2)}=\frac{1}{2s}-\frac{1}{s + 1}+\frac{1}{2(s + 2)}\)
求拉普拉斯逆变换得\(y_{zs}(t)=\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t}\)。
解析：先求冲激响应，再利用卷积定理求零状态响应，通过拉普拉斯变换和逆变换得出结果。
3. 求系统的全响应\(y(t)\)。
答案：
全响应\(y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)\)
\(=(2e^{-t}-e^{-2t})+(\frac{1}{2}-e^{-t}+\frac{1}{2}e^{-2t})\)
\(=\frac{1}{2}+e^{-t}-\frac{1}{2}e^{-2t}\)
解析：将零输入响应和零状态响应相加得到全响应。