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2025年信号处理基础题试题及答案

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1. 以下哪种信号属于连续时间信号？（ ）
A. 语音信号
B. 计算机中的数字信号
C. 图像信号经过量化后的信号
D. 数字时钟信号
答案：A
解析：语音信号是随时间连续变化的，属于连续时间信号；计算机中的数字信号、图像信号经过量化后的信号以及数字时钟信号都是离散时间信号。
2. 信号\(f(t)=5\sin(10t + \frac{\pi}{4})\)的频率\(f_0\)为（ ）
A. \(5Hz\)
B. \(10Hz\)
C. \(\frac{10}{\pi}Hz\)
D. \(\frac{5}{\pi}Hz\)
答案：C
解析：对于正弦信号\(f(t)=A\sin(\omega t + \varphi)\)，其频率\(f_0=\frac{\omega}{2\pi}\)，这里\(\omega = 10\)，所以\(f_0=\frac{10}{2\pi}=\frac{5}{\pi}Hz\)。
3. 信号\(x(n)\)的能量\(E_x\)为（ ）
A. \(\sum_{n = -\infty}^{\infty}x^2(n)\)
B. \(\sum_{n = 0}^{\infty}x^2(n)\)
C. \(\int_{-\infty}^{\infty}x^2(t)dt\)
D. \(\int_{0}^{\infty}x^2(t)dt\)
答案：A
解析：离散信号\(x(n)\)的能量定义为\(E_x=\sum_{n = -\infty}^{\infty}x^2(n)\)，连续信号\(x(t)\)的能量定义为\(E_x=\int_{-\infty}^{\infty}x^2(t)dt\)。
4. 已知\(x(n)\)的\(Z\)变换\(X(z)=\sum_{n = -\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}\)，其收敛域为\(0.5\lt|z|\lt2\)，则\(x(n)\)是（ ）
A. 因果序列
B. 反因果序列
C. 双边序列
D. 有限长序列
答案：C
解析：收敛域为\(0.5\lt|z|\lt2\)，是一个环形区域，所以\(x(n)\)是双边序列。
5. 序列\(x(n)=u(n)-u(n - 3)\)的长度是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
解析：\(u(n)\)是单位阶跃序列，\(u(n)-u(n - 3)\)表示从\(n = 开始到\(n = 2\)的序列，长度为 3。
6. 线性时不变系统的输出\(y(n)\)与输入\(x(n)\)满足（ ）
A. \(y(n)=x(n) h(n)\)
B. \(y(n)=x(n)+h(n)\)
C. \(y(n)=x(n)-h(n)\)
D. \(y(n)=x(n)/h(n)\)
答案：A
解析：线性时不变系统的输出\(y(n)\)等于输入\(x(n)\)与系统单位脉冲响应\(h(n)\)的卷积，即\(y(n)=x(n) h(n)\)。
7. 一个线性时不变系统稳定的充要条件是其单位脉冲响应\(h(n)\)满足（ ）
A. \(\sum_{n = -\infty}^{\infty}|h(n)|\lt\infty\)
B. \(\sum_{n = 0}^{\infty}|h(n)|\lt\infty\)
C. \(\sum_{n = -\infty}^{\infty}h(n)\lt\infty\)
D. \(\sum_{n = 0}^{\infty}h(n)\lt\infty\)
答案：A
解析：线性时不变系统稳定的充要条件是其单位脉冲响应绝对可和，即\(\sum_{n = -\infty}^{\infty}|h(n)|\lt\infty\)。
8. 已知系统函数\(H(z)=\frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}\)，其收敛域为\(|z|\gt0.5\)，则该系统是（ ）
A. 因果稳定系统
B. 因果非稳定系统
C. 非因果稳定系统
D. 非因果非稳定系统
答案：A
解析：收敛域为\(|z|\gt0.5\)，包含\(|z|=\infty\)，所以系统是因果的，又因为\(H(z)\)的极点\(z = 0.5\)在收敛域内，所以系统是稳定的，即为因果稳定系统。
9. 序列\(x(n)=2^n u(-n)\)的\(Z\)变换\(X(z)\)为（ ）
A. \(\frac{1}{1 - 2z^{-1}}\)，\(|z|\gt2\)
B. \(\frac{1}{1 - 2z^{-1}}\)，\(|z|\lt2\)
C. \(\frac{1}{1 - 2z}\)，\(|z|\gt\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{1}{1 - 2z}\)，\(|z|\lt\frac{1}{2}\)
答案：B
解析：\(x(n)=2^n u(-n)\)，根据\(Z\)变换定义\(X(z)=\sum_{n = -\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}=\sum_{n = -\infty}^{0}2^n z^{-n}=\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{z}{2})^n=\frac{1}{1 - \frac{z}{2}}=\frac{1}{1 - 2z^{-1}}\)，收敛域为\(|z|\lt2\)。
10. 离散傅里叶变换（DFT）是对以下哪种信号进行的变换？（ ）
A. 连续时间信号
B. 离散时间非周期信号
C. 离散时间周期信号
D. 模拟信号
答案：C
解析：离散傅里叶变换（DFT）是对离散时间周期信号进行的变换。

二、填空题（每题 3 分，共 15 分）
1. 信号\(f(t)=3\cos(2\pi t)\)的周期\(T\)为______。
答案：1
解析：对于余弦信号\(f(t)=A\cos(\omega t)\)，周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，这里\(\omega = 2\pi\)，所以\(T = 1\)。
2. 已知\(x(n)=n^2\)，则\(x(n)\)的一阶差分\(\Delta x(n)\)为______。
答案：\(2n - 1\)
解析：一阶差分\(\Delta x(n)=x(n + 1)-x(n)=(n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1\)。
3. 线性时不变系统的单位脉冲响应\(h(n)=\delta(n - 2)\)，则该系统的输出\(y(n)\)与输入\(x(n)\)的关系为______。
答案：\(y(n)=x(n - 2)\)
解析：根据线性时不变系统输出与输入关系\(y(n)=x(n) h(n)\)，\(h(n)=\delta(n - 2)\)，则\(y(n)=x(n) \delta(n - 2)=x(n - 2)\)。
4. 序列\(x(n)=2^n u(n)\)的\(Z\)变换\(X(z)\)为______，收敛域为______。
答案：\(\frac{1}{1 - 2z^{-1}}\)，\(|z|\gt2\)
解析：\(x(n)=2^n u(n)\)，\(X(z)=\sum_{n = 0}^{\infty}2^n z^{-n}=\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{z}{2})^n=\frac{1}{1 - \frac{z}{2}}=\frac{1}{1 - 2z^{-1}}\)，收敛域为\(|z|\gt2\)。
5. 8 点离散傅里叶变换（DFT）中，\(X(k)=\sum_{n = 0}^{7}x(n)W_8^{nk}\)，其中\(W_8=\)______。
答案：\(e^{-j\frac{\pi}{4}}\)
解析：\(W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}\)，这里\(N = 8\)，所以\(W_8=e^{-j\frac{2\pi}{8}}=e^{-j\frac{\pi}{4}}\)。

三、简答题（每题 10 分，共 30 分）
1. 简述信号的分类方式，并举例说明。
答案：信号可以按照多种方式分类。按信号随时间的变化情况可分为连续时间信号和离散时间信号，如语音信号是连续时间信号，计算机中的数字信号是离散时间信号；按信号的周期性可分为周期信号和非周期信号，如正弦信号是周期信号，矩形脉冲信号是非周期信号；按信号的能量或功率特性可分为能量信号和功率信号，如有限长的离散序列是能量信号，周期信号是功率信号。
解析：从信号的基本特性出发，时间连续性、周期性以及能量功率特性等方面对信号进行分类，通过具体例子能更直观地理解各类信号特点。
2. 什么是线性时不变系统？并说明其线性和时不变性的含义。
答案：线性时不变系统是指满足叠加性和均匀性以及时不变性的系统。线性包括叠加性，即当输入为\(x_1(n)\)和\(x_2(n)\)时，输出\(y_1(n)\)和\(y_2(n)\)，对于输入\(x(n)=x_1(n)+x_2(n)\)，输出\(y(n)=y_1(n)+y_2(n)\)；均匀性，即对于输入\(x(n)\)，输出\(y(n)\)，当输入为\(ax(n)\)时，输出为\(ay(n)\)。时不变性是指系统的特性不随时间变化，即当输入为\(x(n)\)时输出为\(y(n)\)，那么当输入为\(x(n - n_0)\)时，输出为\(y(n - n_0)\)。
解析：分别阐述线性时不变系统线性特性中的叠加性和均匀性，以及时不变性的具体含义，通过对这些特性的解释说明线性时不变系统的定义。
3. 简述离散傅里叶变换（DFT）的定义及物理意义。
答案：离散傅里叶变换（DFT）定义为\(X(k)=\sum_{n = 0}^{N - 1}x(n)W_N^{nk}\)，其中\(W_N=e^{-j\frac{2\pi}{N}}\)，\(k = 0,1,\cdots,N - 1\)。其物理意义在于它将一个长度为\(N\)的离散时间序列\(x(n)\)变换到频域，得到\(N\)点的离散频谱\(X(k)\)，\(X(k)\)表示了序列\(x(n)\)在不同频率成分上的分布情况，反映了信号的频率特性。
解析：准确给出 DFT 的定义公式，详细说明其物理意义是如何通过变换得到频域信息以及频域信息所代表的含义。

四、计算题（每题 10 分，共 20 分）
1. 已知信号\(x(n)=2^n u(n)\)，求其\(Z\)变换\(X(z)\)及收敛域。
答案：
\(X(z)=\sum_{n = 0}^{\infty}2^n z^{-n}=\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{z}{2})^n\)
这是一个等比级数，根据等比级数求和公式\(S=\frac{a}{1 - r}\)（\(a = 1\)，\(r=\frac{z}{2}\)），可得\(X(z)=\frac{1}{1 - \frac{z}{2}}=\frac{1}{1 - 2z^{-1}}\)。
对于等比级数\(\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{z}{2})^n\)，要使其收敛，需\(|\frac{z}{2}|\lt1\)，即\(|z|\gt2\)，所以收敛域为\(|z|\gt2\)。
解析：利用\(Z\)变换定义将序列转化为等比级数，通过等比级数求和公式求出\(Z\)变换表达式，再根据等比级数收敛条件确定收敛域。
2. 已知线性时不变系统的单位脉冲响应\(h(n)=(\frac{1}{2})^n u(n)\)，输入\(x(n)=u(n)\)，求系统的输出\(y(n)\)。
答案：
根据线性时不变系统输出与输入关系\(y(n)=x(n) h(n)\)。
\(y(n)=\sum_{m = -\infty}^{\infty}x(m)h(n - m)=\sum_{m = 0}^{n}(\frac{1}{2})^{n - m}u(m)u(n - m)\)
因为\(u(m)u(n - m)\)当\(0\leq m\leq n\)时为\(1\)，其他情况为\(0\)，所以：
\(y(n)=\sum_{m = 0}^{n}(\frac{1}{2})^{n - m}=\sum_{k = 0}^{n}(\frac{1}{2})^k\)（令\(k = n - m\)）
这又是一个等比级数求和，\(a = 1\)，\(r=\frac{1}{2}\)，根据等比级数求和公式可得：
\(y(n)=\frac{1 - (\frac{1}{2})^{n + 1}}{1 - \frac{1}{2}}=2 - 2^{-(n)}\)，\(n\geq0\)
解析：依据卷积公式展开求和，利用单位阶跃序列性质确定求和范围，再通过等比级数求和公式求出输出序列表达式。

五、综合题（15 分）
已知一个线性时不变系统，其系统函数\(H(z)=\frac{1 + z^{-1}}{1 - 0.5z^{-1} + 0.25z^{-2}}\)。
1. 求系统的单位脉冲响应\(h(n)\)。
答案：
将\(H(z)=\frac{1 + z^{-1}}{1 - 0.5z^{-1} + 0.25z^{-2}}\)进行部分分式展开。
\(1 - 0.5z^{-1} + 0.25z^{-2}=(1 - 0.25z^{-1})^2\)
设\(\frac{1 + z^{-1}}{(1 - 0.25z^{-1})^2}=\frac{A}{1 - 0.25z^{-1}}+\frac{B}{(1 - 0.25z^{-1})^2}\)
\(1 + z^{-1}=A(1 - 0.25z^{-1})+B\)
令\(z^{-1}=4\)，得\(1 + 4 = A(1 - 1)+B\)，解得\(B = 5\)。
对\(1 + z^{-1}=A(1 - 0.25z^{-1})+B\)两边求导，\(-1=-0.25A\)，解得\(A = 4\)。
所以\(H(z)=\frac{4}{1 - 0.25z^{-1}}+\frac{5}{(1 - 0.25z^{-1})^2}\)
已知\(\frac{1}{1 - az^{-1}}=\sum_{n = 0}^{\infty}a^n z^{-n}\)，\(\frac{1}{(1 - az^{-1})^2}=\sum_{n = 0}^{\infty}(n + 1)a^n z^{-n}\)
则\(h(n)=4\times(0.25)^n+5\times(n + 1)\times(0.25)^n=(9 + 5n)(0.25)^n\)，\(n\geq0\)
解析：先对系统函数进行部分分式展开，通过特定值法和求导法确定系数，再利用已知的\(Z\)变换公式求出单位脉冲响应。
2. 分析系统的稳定性和因果性。
答案：
系统函数\(H(z)=\frac{1 + z^{-1}}{1 - 0.5z^{-1} + 0.25z^{-2}}\)的极点为\(z = 0.25\)（二阶极点）。
收敛域：对于\(H(z)\)，其分母\(1 - 0.5z^{-1} + 0.25z^{-2}\)的收敛域为整个\(z\)平面