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2025年高考数学文化试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”意思是现有扇形田，弧长30步，直径16步，问这块田的面积是多少？该问题的答案是（ ）
A. 120平方步 B. 240平方步 C. 360平方步 D. 480平方步
2. 最早使用“函数”（function）这一术语的数学家是（ ）
A. 莱布尼茨 B. 约翰·伯努利 C. 雅各布·伯努利 D. 欧拉
3. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点$F_1,F_2$在x轴上，椭圆C的面积为$2\sqrt{3}\pi$，且离心率为$\frac{1}{2}$，则椭圆C的方程为（ ）
A. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ B. $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$ C. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{3}=1$ D. $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{16}=1$
4. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A. 192里 B. 96里 C. 48里 D. 24里
5. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金分割比$\omega=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$，黄金分割比还可以表示为$2\sin18^{\circ}$，则$\frac{\sin18^{\circ}}{1 - 2\sin^{2}27^{\circ}}$的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ C. $\sqrt{5}-1$ D. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
6. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石
7. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（ ）
A. 9 B. 18 C. 20 D. 35
8. 古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数$k(k\gt0,k\neq1)$的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，设$A(-3,0),B(3,0)$，动点M满足$\frac{|MA|}{|MB|}=2$，则动点M的轨迹方程为（ ）
A. $(x - 5)^2 + y^2 = 16$ B. $(x + 5)^2 + y^2 = 16$ C. $x^2 + (y - 5)^2 = 16$ D. $x^2 + (y + 5)^2 = 16$
9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为$N\equiv n(\bmod m)$，例如$10\equiv2(\bmod4)$.现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于（ ）
A. 21 B. 22 C. 23 D. 24
10. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列$\{a_n\}$称为“斐波那契数列”，则$(a_1a_3 - a_2^2)(a_2a_4 - a_3^2)(a_3a_5 - a_4^2)\cdots(a_{2017}a_{2019} - a_{2018}^2)$等于（ ）
A. 1 B. -1 C. 2019 D. -2019

二、多项选择题(总共10题，每题2分)
1. 下列数学著作中，属于中国古代数学著作的是（ ）
A. 《周髀算经》 B. 《几何原本》 C. 《九章算术》 D. 《孙子算经》
2. 下列关于数学文化的说法正确的是（ ）
A. 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理
B. 祖冲之是世界上第一个将圆周率精确到小数点后第七位的人
C. 杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一
D. 最早使用负数概念的国家是中国
3. 以下哪些是古希腊著名数学家（ ）
A. 欧几里得 B. 阿基米德 C. 毕达哥拉斯 D. 高斯
4. 下列与椭圆有关的结论正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率$e\in(0,1)$
B. 椭圆上的点到两个焦点的距离之和为定值
C. 椭圆的长轴长大于短轴长
D. 椭圆的标准方程有两种形式
5. 以下哪些算法是中国古代数学中的算法（ ）
A. 更相减损术 B. 秦九韶算法 C. 割圆术 D. 辗转相除法
6. 关于数列，下列说法正确的是（ ）
A. 等差数列的通项公式是一次函数
B. 等比数列的公比不能为0
C. 斐波那契数列是递增数列
D. 数列的通项公式可以唯一确定数列
7. 下列数学符号与数学家对应正确的是（ ）
A. $\pi$ - 祖冲之 B. $e$ - 欧拉 C. $i$ - 高斯 D. $\sqrt{}$ - 海伦
8. 以下哪些问题可以用数学建模的方法解决（ ）
A. 预测人口增长趋势 B. 优化交通流量 C. 分析股票价格走势 D. 设计建筑物结构
9. 下列关于圆锥曲线的说法正确的是（ ）
A. 抛物线的离心率为1
B. 双曲线的渐近线方程与双曲线的焦点位置有关
C. 椭圆可以看作是平面内到两个定点距离之和为定值的点的轨迹
D. 圆锥曲线的第二定义与焦点有关
10. 以下哪些是数学文化在现代生活中的应用（ ）
A. 密码学中的加密算法 B. 计算机图形学中的图形绘制 C. 金融领域的风险评估 D. 艺术设计中的美学原理

三、填空题(总共4题，每题5分)
1. 我国古代数学著作《张丘建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则$\begin{cases}x + y + z = 100\\5x + 3y + \frac{z}{3}=100\end{cases}$，当$z = 75$时，$x =$____，$y =$____.
2. 已知黄金分割比$\omega=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，若$\omega^2+\omega = 1$，则$1 + 2\omega+3\omega^2+\cdots + 2025\omega^{2024}=$____.
3. 古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形：以直角三角形的各边为直径作半圆，则在直角三角形斜边所对的半圆内的两个月形图案（阴影部分）的面积与直角三角形的面积____.（填“相等”或“不相等”）
4. 我国古代数学名著《九章算术》中有“勾股容圆”问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是____.

四、判断题(总共共10题，每题2分)
1. 中国古代数学以算法为主要特征，所以中国古代数学没有理论体系.（ ）
2. 古希腊的数学成就主要在几何方面，而中国古代数学主要在代数方面.（ ）
3. 椭圆的离心率越大，椭圆越圆.（ ）
4. 等比数列的公比为1时，该数列是常数列.（ ）
5. 秦九韶算法可以用来求多项式的值，也可以用来求多项式的导数.（ ）
6. 黄金分割比是一个无理数.（ ）
7. 数列的通项公式一定是关于n的函数.（ ）
8. 抛物线是双曲线的一支.（ ）
9. 数学文化只存在于古代数学中，现代数学中不存在数学文化.（ ）
10. 用数学方法解决实际问题时，不需要考虑实际背景.（ ）

五、简答题(总共4题，每题5分)
1. 简述中国古代数学的主要成就以及对世界数学发展的贡献.
2. 举例说明斐波那契数列在生活中的应用.
3. 请解释椭圆的离心率的概念，并说明其几何意义.
4. 介绍一下“中国剩余定理”的内容，并说明其在数论中的重要性.

答案及解析

一、单项选择题
1. 答案：A。解析：扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径），已知弧长$l = 30$步，直径16步则半径$r = 8$步，所以面积$S=\frac{1}{2}\times30\times8 = 120$平方步。
2. 答案：A。解析：最早使用“函数”这一术语的数学家是莱布尼茨。
3. 答案：A。解析：由椭圆面积$S = 2\sqrt{3}\pi$可得$ab=\sqrt{3}$，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又$a^2 = b^2 + c^2$，联立解得$a = 2$，$b=\sqrt{3}$，所以椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。
4. 答案：B。解析：设第六天走的路程为$x$里，则第五天走$2x$里，第四天走$4x$里，第三天走$8x$里，第二天走$16x$里，第一天走$32x$里，由$x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x = 378$，解得$x = 6$，所以第二天走了$16\times6 = 96$里。
5. 答案：D。解析：因为黄金分割比$\omega = 2\sin18^{\circ}$，且$\frac{\sin18^{\circ}}{1 - 2\sin^{2}27^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{\cos54^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{\sin36^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{ \sin18^{\circ}}{2\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{\sin36^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin18^{\circ}\cos{18}^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{\sin36^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin(90^{\circ}-54^{\circ})}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\cos54^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin36^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}}=\frac{1}{ \cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{\sin36^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin(90^{\circ}-54^{\circ})}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\cos54^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin36^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{\sin36^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin(90^{\circ}-54^{\circ})}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\cos54^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin36^{\circ}}=\frac{ \sin18^{\circ}}{2\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin(90^{\circ}-72^{\circ})}{2\sin(90^{\circ}-54^{\circ})}=\frac{\cos72^{\circ}}{2\cos54^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin36^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin36^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin(90^{\circ}-54^{\circ})}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\cos54^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin36^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin36^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin(90^{\circ}-54^{\circ})}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\cos54^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin36^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}}=\frac{1}{2\cos18^{\circ}}=\frac{\sin18^{\circ}}{2\