广西工业职业技术学院《实变函数本》2023-2024学年第一学期期末试卷.doc

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广西工业职业技术学院
《实变函数本》2023-2024学年第一学期期末试卷

院(系)_______ 班级_______ 学号_______ 姓名_______

题号
一
二
三
四
总分
得分

一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、设函数在[a,b]上连续，在内可导，若在[a,b]上既有最大值又有最小值，则在内（ ）
A. 至少有一点
B.
C.
D. 的符号不确定

2、求曲线 y = e^x，y = e^(-x)与直线 x = 1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积（ ）
A.π/2(1 + e²/e)；B.π/2(1 - e²/e)；C.π/2(e²/e - 1)；D.π/2(e²/e + 1)

3、已知曲线 C：y = x³，求曲线 C 在点(1,1)处的法线方程。（ ）
A.y = -1/3x + 4/3 B.y = -1/2x + 3/2 C.y = -1/4x + 5/4 D.y = -1/5x + 6/5

4、函数的极小值是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

5、求不定积分。（ ）
A. B. C. D.

6、求级数的和。（ ）
A.1 B. C. D.

7、计算三重积分∫∫∫Ω(x² + y² + z²)dxdydz，其中 Ω 是由球面 x² + y² + z² = 1 所围成的区域，采用球坐标变换后可得（ ）
A.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀¹r⁴dr B.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀²r⁴dr C.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀³r⁴dr D.∫₀²πdθ∫₀^πsinφdφ∫₀⁴r⁴dr

8、设函数 z = f(xy,x² + y²)，其中 f 具有二阶连续偏导数。求 ∂²z/∂x∂y。（ ）
A.f₁' + xf₂' + y(f₁₁'' + 2xf₁₂'' + f₂₁'' + 2yf₂₂'') B.f₁' + xf₂' + y(f₁₁'' + xf₁₂'' + f₂₁'' + yf₂₂'') C.f₁' + xf₂' + y(f₁₁'' + 3xf₁₂'' + f₂₁'' + 3yf₂₂'') D.f₁' + xf₂' + y(f₁₁'' + 4xf₁₂'' + f₂₁'' + 4yf₂₂'')

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）
1、函数在区间上的拐点为______。

2、求曲线在点处的切线方程为______________。

3、求由曲面与平面所围成的立体体积为____。

4、已知函数，则函数在点处的切线斜率为____。

5、求函数的单调区间为____。

三、解答题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）计算三重积分，其中是由平面，，和所围成的区域。

2、（本题10分）计算二重积分，其中是由直线，，所围成的区域。

四、证明题（本大题共2个小题，共20分)
1、（本题10分）设函数在[a,b]上可导，且，。证明：对所有成立。

2、（本题10分）设在[a,b]上可导，且。证明：。

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