信号与系统-第十章.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,*,Outline,1,、,z,变换的定义,2,、,z,变换的收敛域,3,、常用序列的,z,变换,4,、,z,变换的性质,5,、逆,z,变换,6,、系统函数及零极点分析,7,、离散时间系统的频率响应,8,、单边,z,变换及其应用,1,Motivation,类似于连续时间系统的,Laplace,变换,2,z,变换的基本定义,对于一个给定的离散时间序列,，其,z,变换的基本定义为,为方便起见，序列的,Z,变换一般用符号 表示。,Observation,：序列的,Z,变换是复变量,z,的幂级数，当 时，它是,z,的正幂级数；而当 时，它是,z,的负幂级数。,例如，对一些简单的序列，可以直接写出其变换,可见，,Z,变换是由各个样点序列值的,Z,变换之和组成，每个样点的序列值都对应一个,Z,变换。,3,observation,1,、设定 ，在变换域中将连续信号和离散序列联系起来了，即在拉氏变换中的,s,平面与,z,变换中的,z,平面之间建立了一种映射关系。通过这种映射关系，可以解释离散时间信号与系统中许多与连续时间信号与系统相同的特性。,2,、从抽样信号的拉氏变换引导出,z,变换，意味着拉氏变换与,z,变换之间存在许多内在的联系，而且沟通了连续系统与离散系统之间的联系，使人们可以借助离散系统对连续系统进行近似的数值分析、计算和模拟。,6,s,平面与,z,平面之间的映射关系,7,收敛域,Z,变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛时，其,z,变换才存在。,收敛域的定义,：,对于序列 ，满足下式的所有,z,值组成的集合称为,z,变换的收敛域。,8,收敛域,收敛域只跟 有关,当收敛域包含单位圆 ，其离散时间傅立叶变换 存在,与,Laplace,变换类比,9,Exmaple 1,10,11,12,13,有理,z,变换,若,x,n,是实指数或复指数的线性组合，其,z,变换,X,z,就一定是有理的。,根据,X,z,的零极点可以大致确定其,z,变换,14,Z,变换收敛域的性质,X,z,的,ROC,是在,z,平面内以原点为中心的圆环（等价于,s,平面的垂线）,ROC,内不包含任何极点,15,如果,x,n,是有限长序列，那么,ROC,就是整个,z,平面，可能除去,z,=0,或,z,=,16,单位阶跃序列,单位阶跃序列在各个样点的序列值都等于,1,，因此，可求得其,Z,变换为,和拉氏变换一样，序列的,Z,变换也可以用零极点,来表述。,17,矩形序列,矩形序列是一个有限长序列，利用定义不难求得其,Z,变换为,18,19,如果,x,n,是一个右边序列，并且 的圆位于,ROC,内，那么 的全部有限,z,值都一定在这个,ROC,内。,20,如果,x,n,是一个左边序列，并且 的圆位于,ROC,内，那么 的全部有限,z,值都一定在这个,ROC,内。,如果,x,n,是一个双边序列，并且 的圆位于,ROC,内，那么该,ROC,一定是由包含 的圆环所组成。,下面的,ROC,分别对应什么样的原信号？,21,22,23,24,如果 是有理的，那么它的,ROC,就是被极点所界定，或者延伸至无限远,若 是有理的，,若 是右边序列，那么,ROC,就位于,z,平面内最外层极点的外边,若 是左边序列，那么,ROC,就位于,z,平面内最里层极点的里边,25,if,then,Z,变换的性质,26,看下页例题,27,28,29,(Z,域微分性质,),30,看下页例题,31,解：,故,又,32,33,Example,已知序列,x,n,的,z,变换为,X,(,z,),，求,x,n,之初值和终值。,34,逆,z,变换,35,36,37,38,观察长除结果可以得到,由于收敛域,|,z,|,|,a,|,，,x,n,是右边序列，把分子、分母按,z,的降幂排列相除,解,求下述,X,(,z,),的逆变换,x,n,由此求得,X,(,z,),之逆变换为：,Example,39,Example,40,X(z),必须为真分式，才能展开为部分分式的形式。,41,42,43,Quiz,44,解：,Example,已知,，求,X,(,z,),有两个单极点，分别为,，于是,从而求得逆变换为：,求各分式的系数如下,可展开为,45,所求逆变换为：,因此：,将 按其极点展开成部分分式之和,X,(,z,),有一个一阶极点,z,=3,，一个二阶极点,z,=5,，由于收敛域,|,Z,|,5,包括 点，故,x,n,是一个因果序列。,解：,已知 ，求逆变换,x,n,。,分别确定系数，可得：,46,47,48,Discussion,上述方法各有千秋，但是都有一个共同点，即都和,X,(,z,),的收敛域密切相关，这和前面所说的在给出,X,(,z,),时必须同时给出其收敛域是相一致的。在求逆,z,变换时，如果没有给定收敛域，则将得不到唯一确定的解。,49,系统函数,1.,系统函数的定义与求解,系统是初始松弛的,50,Discussion,系统函数与系统差分方程之间有着密切的联系,系统函数的收敛域,系统函数和系统冲激响应之间是一对,z,变换,系统函数的求解,51,52,系统函数与系统框图,Observation,：从这个简单的例子可以看到，在系统函数和系统框图之间也是存在着唯一的对应关系，我们既可以通过系统函数画出系统框图，也可以通过系统框图写出系统函数。,如果系统的起始状态为,0,，则可求得该系统的系统函数为：,53,1,、全零点结构,所谓全零点结构，即系统函数中只有零点，而除了在原点的极点外，没有其它的极点。其系统函数式为,如果系统函数只有一个零点，则可得：,从这个表达式可知，只有一个零点的系统将由一个相加器、一个倍乘器和一个延迟器组成。,其对应的差分方程为：,54,全零点结构系统框图的基本特点：,没有反馈环路，只有前向通路,55,2,、全极点结构,由此差分方程可知，系统的输出,y,n,由两项组成：一项是系统输入,x,n,，另一项是将系统输出进行单位延迟后再乘以一个常数,-,a,1,，即 。因此，该系统框图中应有一个延迟器、一个相加器和一个倍乘器。,如果只有一个极点，则,式中，我们假设,a,0,=1,，其对应的差分方程为,全极点的系统函数可表示为,全极点结构，即在系统函数中只有极点，而除了在原点,z,=0,有零点外，没有其它的零点。,56,全极点结构系统框图的基本特点：有反馈环路，环路的个数与极点的个数相同，一个环路表示一个极点,57,3,、零极点混合结构,对应的差分方程为：,零极点混合结构，即系统函数中既含有零点，又含有极点，其系统函数的一般形式为：,此时，该系统可看作是一个只有一个零点的子系统,H,1,(,z,),和一个只有一个极点的子系统,H,2,的级联，即,例如，如果系统函数只有一个零点和一个极点，则相应的系统函数为,58,59,60,Quiz,1,、请画出系统函数的最少延迟器实现框图,2,、请写出系统框图所对应的系统函数,61,Result,62,差分方程,系统函数,Observation,：,系统函数、系统框图、差分方程之间可以相互转换，并完全由其在,z,平面上的零极点确定,63,H,(,z,),的零极点分布对系统特性的影响,64,由此而可求得系统的冲激响应,对此式进行部分分式展开，并假设,H,(,z,),的所有极点都是一阶极点，则有,一个离散时间系统的系统函数可以表示为,单位样值序列,h,n,65,Observation,：,1,、系统冲激响应由系统函数的极点确定。因此，针对不同的极点位置，系统冲激响应的基本特征将有所不同。,2,、离散序列的基本特征通常指的是序列包络的变化趋势和变化频率，如前所述，这些基本特征完全由系统函数的极点位置决定，而零点位置只影响冲激响应的幅度大小和相位。,66,极点的半径决定了序列包络的变化趋势，,而极点的幅角决定序列包络的变化频率。,67,68,系统的稳定性,充要条件,69,系统的因果性,充要条件,因果离散系统稳定的充分必要条件是：其有理系统函数的所有极点都在单位圆之内。,70,Example,下列系统函数中，哪一个可作为因果、稳定系统的系统函数？,71,响应特性。,离散时间系统的频率响应特性,72,73,74,频率响应特性的几何确定法,75,Example,分别绘出下列各系统函数的幅频曲线，假设系统都是稳定系统,76,(c),77,单边,z,变换,78,单边,z,变换的性质,卷积性质,79,时移性质,80,利用,z,变换解差分方程,81,82,83,84,Example,85,Homework,10.7,10.16,10.24,10.19(b),10.37,10.42(a),86,