2025年潍坊第一中学高三数学第一学期期末质量跟踪监视试题.doc

2025年潍坊第一中学高三数学第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ）
A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣85
2．设直线的方程为，圆的方程为，若直线被圆所截得的弦长为，则实数的取值为
A．或11 B．或11 C． D．
3．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
4．定义运算，则函数的图象是（ ）．
A． B．
C． D．
5．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ）
A．2 B．4 C． D．8
6．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ）

A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省
B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长
C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元
7．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分不必要条件
8．函数的大致图象为
A． B．
C． D．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．

A． B． C． D．
10．已知向量，则（ ）
A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥( )
11．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：
55
57
59
61
68
64
62
59
80
88
98
95
60
73
88
74
86
77
79
94
97
100
99
97
89
81
80
60
79
60
82
95
90
93
90
85
80
77
99
68
如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
12．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）
A．且
B．且
C．且
D．且
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的展开式中的系数为，则_______．
14．实数满足，则的最大值为_____．
15．已知向量，，若，则实数______.
16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，．
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.

（1）证明：平面平面ABCD；
（2）设H在AC上，，若，求PH与平面PBC所成角的正弦值.
19．（12分）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意都有，求实数的取值范围．
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点且，，，.

求证：平面平面以；
求二面角的大小.
21．（12分）等差数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列
第二列
第三列
第一行
5
8
2
第二行
4
3
12
第三行
16
6
9
（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式；
（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由.
22．（10分）如图所示，已知平面，，为等边三角形，为边上的中点，且.

(Ⅰ)求证：面；
(Ⅱ)求证：平面平面；
(Ⅲ)求该几何体的体积．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，
∵a5＝16，a3a4＝﹣32，
∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，
∴q＝﹣2，则，
则，
故选：D.
本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.
2．A
【解析】
圆的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线的距离，结合弦长公式得，解得或，故选A．
3．B
【解析】
利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得
【详解】
，故.
故选：B
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.
4．A
【解析】
由已知新运算的意义就是取得中的最小值，
因此函数，
只有选项中的图象符合要求，故选A.
5．B
【解析】
根据题意得到，，解得答案.
【详解】
，，解得或（舍去）.
故.
故选：.
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.
6．D
【解析】
根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】
由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；.
故D项不正确.
故选：D.
本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.
7．A
【解析】
试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.
考点：充分条件、必要条件.
8．A
【解析】
因为，所以函数是偶函数，排除B、D，
又，排除C，故选A．
9．C
【解析】
根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.
【详解】
第一次循环：
第二次循环：
第三次循环：
第四次循环：
第五次循环：
第六次循环：
第七次循环：
第八次循环：
所以框图中①处填时，满足输出的值为8.
故选：C
此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.
10．D
【解析】
由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.
【详解】
∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐标对应不成比例，故、不平行，故排除A；
显然，•3+2≠0，故、不垂直，故排除B；
∴（﹣2，﹣1），显然，和的坐标对应不成比例，故和不平行，故排除C；
∴•（）＝﹣2+2＝0，故 ⊥（），故D正确，
故选：D.
本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.
11．D
【解析】
根据程序框图判断出的意义，由此求得的值，进而求得的值.
【详解】
由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数，的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故，，所以.
故选：D
本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.
12．A
【解析】
试题分析：由题意得，，
∴，，
∵，∴，∴，
∴若：，，∴，
若：，，∴，
若：，，∴，
综上可知，同理可知，故选A.
考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2
【解析】
首先求出的展开项中的系数，然后根据系数为即可求出的取值.
【详解】
由题知，
当时有，
解得.
故答案为：.
本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.
14．．
【解析】
画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.
【详解】
解：作出可行域，如图所示，
则当直线过点时直线的截距最大，z取最大值．
由同理
，，
取最大值．
故答案为： ．
本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.
15．-2
【解析】
根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.
【详解】
由题意得：
，解得：
本题正确结果：
本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.
16．
【解析】
如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，计算得到，得到答案.
【详解】
如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，
则，所以，所以球的半径，
则球的表面积为.
故答案为：.

本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥补成长方体是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由题意不等式化为，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）由题意把问题转化为，分别求出和，列出不等式求解即可．
【详解】
（Ⅰ）由题意知，，
若，则不等式化为，解得；
若，则不等式化为，解得，即不等式无解；
若，则不等式化为，解得，
综上所述，的取值范围是；
（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，
只需，
当时，，，
因为，所以当时，
，
即，解得，
结合，所以的取值范围是.
本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.
18．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）记，连结，推导出，平面，由此能证明平面平面；（2）推导出，平面，连结，由题意得为的重心，，从而平面平面，进而是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：记，
连结，中，，，，
，，平面，
平面，平面平面．
（2）中，，，，，
，，
，，
，平面，∴，
连结，由题意得为的重心，
，，，平面
平面平面，∴在平面的射影落在上，
是与平面所成角，
中，，，，
．
与平面所成角的正弦值为．

本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（1）（2）
【解析】
利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集，
对恒成立，则，
由三角不等式，得求解
【详解】
解：当时，不等式即为，
可得或或，
解得或或，
则原不等式的解集为
若对任意、都有，
即为，
由，当取得等号，
则，由，可得，
则的取值范围是
本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.
20．证明见解析；.
【解析】
推导出，，从而平面，由此证明平面平面以；
以为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角的大小.
【详解】
解：，，为的中点，
四边形为平行四边形，.
,，即.
又平面平面，且平面平面，
平面.
平面，
平面平面.
，为的中点，
.
平面平面，且平面平面，
平面.
如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则平面的一个法向量为，
，，，，
设，则，，
，
，
，
在平面中，，，
设平面的法向量为，
则，即，
平面的一个法向量为，
，
由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为.
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查了空间向量的应用，属于中档题.
21．（1）见解析，或；（2）存在，.
【解析】
（1）满足题意有两种组合：①，，，②，，，分别计算即可；
（2）由（1）分别讨论两种情况，假设存在正整数，使得，，成等比数列，即，解方程是否存在正整数解即可.
【详解】
（1）由题意可知：有两种组合满足条件：
①，，，此时等差数列，，，
所以其通项公式为.
②，，，此时等差数列，，，
所以其通项公式为.
（2）若选择①，.
则.
若，，成等比数列，则，
即，整理，得，即，
此方程无正整数解，故不存在正整数，使，，成等比数列.
若选则②，，
则，
若，，成等比数列，则，
即，整理得，因为为正整数，所以.
故存在正整数，使，，成等比数列.
本题考查等差数列的通项公式及前n项和，涉及到等比数列的性质，是一道中档题.
22．（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.
【解析】
（I）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得平面.（II）利用，证得平面，从而得到平面，由此证得平面平面.（III）作交于点，易得面，利用棱锥的体积公式，计算出棱锥的体积.
【详解】
(Ⅰ)取的中点，连接，则，，
故四边形为平行四边形.
故.
又面，平面，所以面.
(Ⅱ)为等边三角形，为中点，所以.又，
所以面.
又，故面，所以面平面.
(Ⅲ)几何体是四棱锥，作交于点，即面，
.
本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查空间想象能力，所以中档题.