2025-2026学年辽宁省大连育明高级中学数学高三第一学期期末质量检测模拟试题.doc

2025-2026学年辽宁省大连育明高级中学数学高三第一学期期末质量检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若平面向量，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A．丙被录用了 B．乙被录用了 C．甲被录用了 D．无法确定谁被录用了
8．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中)有，跨接了6个坐位的宽度()，每个座位宽度为，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）

A． B． C． D．
9．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）
A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件
11．若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）

A．E B．F C．G D．H
12．函数（且）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则______.
14．正方形的边长为2，圆内切于正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______.
15．已知等比数列满足公比，为其前项和，，，构成等差数列，则_______．
16．已知圆C：经过抛物线E：的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线与直线.
（1）求抛物线C上的点到直线l距离的最小值；
（2）设点是直线l上的动点，是定点，过点P作抛物线C的两条切线，切点为A，B，求证A，Q，B共线；并在时求点P坐标.
18．（12分）己知点，分别是椭圆的上顶点和左焦点，若与圆相切于点，且点是线段靠近点的三等分点.

求椭圆的标准方程；
直线与椭圆只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于，两点，求面积的取值范围.
19．（12分）若关于的方程的两根都大于2，求实数的取值范围．
20．（12分）如图，在平行四边形中，，，现沿对角线将折起，使点A到达点P，点M，N分别在直线，上，且A，B，M，N四点共面.

（1）求证：；
（2）若平面平面，二面角平面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（12分）如图，底面是等腰梯形，，点为的中点，以为边作正方形，且平面平面.

（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的正弦值．
22．（10分）设为等差数列的前项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若满足不等式的正整数恰有个，求正实数的取值范围．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.
【详解】
直线，，的充要条件是，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.
故答案为C.
判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
2．D
【解析】
设，整理得到方程组，解方程组即可解决问题．
【详解】
设，
因为，所以，
所以，解得：，
所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限.
故选D
本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题．
3．C
【解析】
在长方体中， 得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论.
【详解】
在长方体中，平面即为平面，
过做于，平面，
平面，
平面，为与平面所成角，
在，
，
直线与平面所成角的余弦值为.
故选:C.

本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.
4．D
【解析】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.
【详解】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.
故选：D
本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.
5．B
【解析】
构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.
【详解】
构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得.
故选:B.
本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.
6．C
【解析】
可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.
【详解】
由题意可得：
，

，

，
故选：C
本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.
7．C
【解析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
8．B
【解析】
为弯管，为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧所在圆的半径为，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解.
【详解】
如图所示，为弯管，为6个座位的宽度，

则

设弧所在圆的半径为，则

解得

可以近似地认为，即
于是，长
所以是最接近的，其中选项A的长度比还小，不可能，
因此只能选B，260或者由，
所以弧长.
故选：B
本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.
9．A
【解析】
计算，得到答案.
【详解】
根据题意，故，表示的复数在第一象限.
故选：.
本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.
10．D
【解析】
由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.
【详解】
设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意，
画出可行域如图所示，

显然当经过时，最大.
故选：D.
本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.
11．C
【解析】
由于在复平面内点的坐标为，所以，然后将代入化简后可找到其对应的点.
【详解】
由，所以，对应点.
故选：C
此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.
12．D
【解析】
因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出的值．
【详解】
解：若，则，
即，所以．
故答案为：．
本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
14．
【解析】
根据向量关系表示，只需求出的取值范围即可得解.
【详解】
由题可得：，

故答案为：
此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.
15．0
【解析】
利用等差中项以及等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】
由，，是等差数列可知

因为，所以，
故答案为：0
本题考查了等差中项的应用、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
16．
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长．
【详解】
抛物线E: 的准线为，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得，所以圆心的坐标为，半径为5，则圆心到准线的距离为1，
所以弦长．
本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）证明见解析，或
【解析】
（1）根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；（2）设，，，，表示出直线，的方程，利用表示出，，即可求定点的坐标．
【详解】
（1）设抛物线上点的坐标为，
则，时取等号），
则抛物线上的点到直线距离的最小值；
（2）设，，，，
，
，
直线，的方程为分别为，，
由两条直线都经过点点得，为方程的两根，，
直线的方程为，，
，
，，共线．
又，
，
，
解，，
点，是直线上的动点，
时，，时，，
，或．
本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
18．;.
【解析】
连接，由三角形相似得，，进而得出，，写出椭圆的标准方程；
由得，，因为直线与椭圆相切于点，，解得，，因为点在第二象限，所以，，所以，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，求出面积的取值范围.
【详解】
解：连接，由可得，
，，
椭圆的标准方程；
由得，，
因为直线与椭圆相切于点，
所以，即，
解得，，
即点的坐标为，
因为点在第二象限，所以，，
所以，
所以点的坐标为，
设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，
设直线的方程为，
则
，
当且仅当，即时，有最大值，
所以，即面积的取值范围为.
本题考查直线和椭圆位置关系的应用，利用基本不等式，属于难题.
19．
【解析】
先令，根据题中条件得到，求解，即可得出结果.
【详解】
因为关于的方程的两根都大于2，
令
所以有，
解得，所以.
本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型.
20．（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用线面平行的性质定理，//，最后可得结果.
（2）根据二面角平面角大小为，可知N为的中点，然后利用建系，计算以及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果.
【详解】
（1）不妨设，则，
在中,
，
则，
因为，
所以，因为//，
且A、B、M、N四点共面，所以//平面.
又平面平面，所以//.
而，.
（2）因为平面平面，且，
所以平面，，
因为，所以平面，，
因为，平面与平面夹角为，
所以，在中，易知N为的中点，
如图，建立空间直角坐标系，

则，，，
，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则由，
令，得.
设与平面所成角为，
则.
本题考查线面平行的性质定理以及线面角，熟练掌握利用建系的方法解决几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.
21．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先证明四边形是菱形,进而可知,然后可得到平面,即可证明平面平面;
（2）记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,进而可求出二面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：因为点为的中点,,所以,
因为,所以,所以四边形是平行四边形,
因为,所以平行四边形是菱形,所以,
因为平面平面,且平面平面,所以平面.
因为平面,所以平面平面.
（2）记AC,BE的交点为O,再取FG的中点P.由题意可知AC,BE,OP两两垂直,故以O为坐标原点,以射线OB,OC,OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为底面ABCD是等腰梯形,,所以四边形ABCE是菱形，且,
所以,
则,设平面ABF的法向量为,
则,不妨取,则,
设平面DBF的法向量为,
则,不妨取,则,
故.
记二面角的大小为,故.

本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题.
22．（1）；（2）．
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（2）求出，可得出，可知当为奇数时不等式不成立，只考虑为偶数的情况，利用数列单调性的定义判断数列中偶数项构成的数列的单调性，由此能求出正实数的取值范围．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
则，整理得，
解得，，因此，；
（2），
满足不等式的正整数恰有个，得，
由于，若为奇数，则不等式不可能成立.
只考虑为偶数的情况，令，
则，．
.
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
所以，，
又，，，，.
因此，实数的取值范围是.
本题考查数列的通项公式的求法，考查正实数的取值范围的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．