03曲面及其方程、二次曲面省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,*,*,高等数学（下）主讲杨益民,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,高等数学,北京工商大学杨益民,第1页,8/29/2025,1,第三节 曲面及其方程,一、曲面方程概念,普通地，若曲面,S,与三元方程,F,(,x,y,z,)=0 满足：,（1）曲面,S,上任一点坐标都满足方程,F,(,x,y,z,)=0；,（2）不在曲面,S,上点坐标都不满足方程,F,(,x,y,z,)=0；,则称：方程,F,(,x,y,z,)=0是曲面,S,方程，而曲面,S,就叫做方程,F,(,x,y,z,)=0图像。,两个基本问题,：,（2）已知,F,(,x,y,z,)=0，问它表示什么曲面？,（1）已知曲面,S,，求曲面方程,F,(,x,y,z,)=0？,第2页,8/29/2025,2,一些特殊平面,例3,方程 表示,什么图形？,用截痕法讨论几个特殊曲面（尤其二次曲面）,例1,求球心在点 半径为,R,球面方程。,例2,已知空间两点,A,(1,2,3)，,B,(2,-1,4)，求线段,AB,垂直平分,面方程。,普通地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）,表示空间一张球面。,第3页,8/29/2025,3,例4,方程 图形是怎样？,依据题意有,图形上不封顶，下封底。,解,第4页,8/29/2025,4,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,播放,第5页,8/29/2025,5,例5,证实以,oz,轴为旋转轴，,yoz,坐标面上已知曲线,为母线所产生旋转曲面,S,方程为：,证实：,旋转曲面如图,设,M,(,x,y,z,)为旋转曲面,S,上任意一点，,显然，,M,一定是由母线C上某点,M,1,(0,y,1,z,1,)旋转得到，,(0,0,z,),代入母线方程即得证实。,即,第6页,8/29/2025,6,注意：,1.,yoz,平面上母线 绕,oz,轴旋转得旋转曲面,2.,yoz,平面上母线 绕,oy,轴旋转得旋转曲面,3.,xoy,平面上母线 绕,ox,轴旋转得旋转曲面,第7页,8/29/2025,7,例6,求,xoz,坐标面上,双曲线C：分别绕,x,轴和,z,轴,旋转双曲面,解：,一周生成旋转曲面方程。,直线,L,绕另一条与,L,相交直线旋转一周，所得旋转曲面叫,圆锥面,，两直线交点叫圆锥面,顶点,，两直线夹角叫圆锥面,半顶角,。,第8页,8/29/2025,8,解:,圆锥面方程,例7,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为,z,轴，半顶角为,圆锥面方程。,圆锥面母线方程为,第9页,8/29/2025,9,播放,定义,三、柱面,观察柱面形成过程:,沿定曲线,C,移动动直线,L,所形成曲面称为,柱面,。,这条定曲线,C,叫柱面,准线,，动直线,L,叫柱面,母线,。,第10页,8/29/2025,10,柱面举例,抛物柱面,平面,第11页,8/29/2025,11,普通地，已知准线方程,母线平行于,z,轴,柱面方程为：,注意,：,方程 中缺,z,，表示,z,能够任意取值，所以方程 表示母线平行于,z,轴柱面。,普通地，在空间直角坐标下,（缺,z,），,表示母线？，准线为？柱面。,（缺,y,），,表示母线？，准线为？柱面。,（缺,x,），,表示母线？，准线为？柱面。,第12页,8/29/2025,12,问：,（1）表示什么曲面？,（2）表示什么曲面？,回顾,1.三元方程,F,(,x,y,z,)=0表示空间一张曲面,S,。,2.,表示一张球面。,3.,表示空间一张平面。,4.,yoz,平面上母线 绕,oz,轴旋转得旋转曲面,第13页,8/29/2025,13,四、二次曲面,三元二次方程所表示曲面称为,二次曲面,。,目标：,利用,截痕法,讨论二次曲面形状。,即：用坐标面和平行于坐标面平面与曲面相截，考查其交线（即截痕）形状，然后加以综合，从而了解曲面全貌。,5.,xoy,平面上准线方程,母线平行于,z,轴,柱面方程为：,第14页,8/29/2025,14,（一）椭球面,椭球面与三个坐标面交线：,椭球面与平面 交线为椭圆,同理与平面,x,=,x,1,和,y,=,y,1,交线也是椭圆,第15页,8/29/2025,15,椭球面几个特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 或 绕,z,轴旋转而成。,球面,方程可写为,第16页,8/29/2025,16,（二）抛物面,（,p,与,q,同号）,（1）椭圆抛物面,用截痕法讨论：,（1）用坐标面,xoy,(,z,=0)去截；,设,p,与,q,都大于零。,（2）用平面 去截；,（3）用坐标面,xoz,或,yoz,去截；,（4）用平面 去截；,y,o,x,z,第17页,8/29/2025,17,z,x,y,o,椭圆抛物面图形以下：,x,y,z,o,特殊地：当,p,=,q,时，方程变为,旋转抛物面,第18页,8/29/2025,18,（2）双曲抛物面（马鞍面）,(,p,与,q,同号),用截痕法讨论：,设,x,z,y,o,第19页,8/29/2025,19,（三）双曲面,单叶双曲面,x,y,o,z,（1）,z,o,x,y,.,第20页,8/29/2025,20,双叶双曲面,x,y,o,（2）,x,o,y,z,第21页,8/29/2025,21,习题83,4，5，7，8，9，10，11,第22页,8/29/2025,22,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,第23页,8/29/2025,23,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,第24页,8/29/2025,24,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,第25页,8/29/2025,25,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,第26页,8/29/2025,26,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,第27页,8/29/2025,27,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,第28页,8/29/2025,28,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,第29页,8/29/2025,29,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,第30页,8/29/2025,30,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,第31页,8/29/2025,31,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,第32页,8/29/2025,32,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,第33页,8/29/2025,33,二、旋转曲面,定义：,以一条平面曲线绕其平面上一条直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面,母线,和,旋转轴,。,第34页,8/29/2025,34,