安徽省肥东县第二中学2024-2025学年高二数学第二学期期末联考试题含解析.doc

安徽省肥东县第二中学2024-2025学年高二数学第二学期期末联考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定积分的值为( )
A． B． C． D．
2．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示.

由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为
A．数据挖掘>数据开发>数据产品>数据分析 B．数据挖掘>数据产品>数据开发>数据分析
C．数据挖掘>数据开发>数据分析>数据产品 D．数据挖掘>数据产品>数据分析>数据开发
3．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ）人．
（K2≥k1）
1．151
1．111
k1
3.841
6.635
A．12 B．6 C．11 D．18
4．观察下列各式：，则的末四位数字为（ ）
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
5．如图是某陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的体积为（ ）

A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，曲线（为参数）上的点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ）

A．72种 B．48种 C．24种 D．12种
8．随机变量服从正态分布，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x

3
4

y

12

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是　　
A． B． C． D．
11．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )
A． B． C． D．
12．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有
A．5种 B．10种
C．20种 D．120种
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
14．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是，则直线l被圆C截得的弦长为____________．
15．将极坐标化成直角坐标为_________.
16．现有3位男学生3位女学生排成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有两位相邻，则不同的排法种数是_____．（用数字作答）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，，求.
18．（12分）已知是定义在上的奇函数，且当时，．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）解不等式．
19．（12分）设命题函数在是减函数；命题，都有成立．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
20．（12分）已知数列各项均为正数，，，.
（1）若，
①求的值；
②猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若，证明：当时，.
21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）已知直线与轴交于点，且与曲线交于，两点，求的值.
22．（10分）已知集合，其中。表示集合A中任意两个不同元素的和的不同值的个数。
(1)若，分别求和的值；
(2)若集合，求的值，并说明理由；
(3)集合 中有2019个元素，求的最小值，并说明理由。
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据微积分基本定理，可知求解，即可.
【详解】

故选：C
本题考查微积分基本定理，属于较易题.
2、B
【解析】
根据表格中的数据计算出各类岗位的平均薪资，比较大小后得出结论。
【详解】
由表格中的数据可知，数据开发岗位的平均薪资为
（万元），
数据分析岗位的平均薪资为（万元），
数据挖掘岗位的平均薪资为（万元），
数据产品岗位的平均薪资为（万元）。
故选：B。
本题考查样本数据的平均数，熟练利用平均数公式计算样本数据的平均数，是解本题的关键，考查计算能力与数据分析能力，属于中等题。
3、A
【解析】
由题，设男生人数x，然后列联表，求得观测值，可得x的范围，再利用人数比为整数，可得结果.
【详解】
设男生人数为，则女生人数为，
则列联表如下：

喜欢抖音
不喜欢抖音
总计
男生

女生

总计

若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则
即 解得
又因为为整数，所以男生至少有12人
故选A
本题是一道关于独立性检验的题目，总体方法是运用列联表进行分析求解，属于中档题.
4、C
【解析】
根据，分析次数与末四位数字的关系，归纳其变化规律求解.
【详解】
因为，
观察可知的末四位数字3125，
的末四位数字5625，
的末四位数字8125，
的末四位数字0625，
又，则的末四位数字为0625.
故选：C
本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题.
5、C
【解析】
几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，代入体积公式计算即可.
【详解】
解：几何体上部分为圆柱，下部分为圆锥，
其中圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为1，高为1，
所以几何体的体积.
故选：C.
本题考查了常见几何体的三视图与体积的计算，属于基础题.
6、B
【解析】
将直线，化为直角方程，根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值.
【详解】

可得：
根据点到直线距离公式，可得上的点到直线的距离为

本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.
7、A
【解析】
试题分析：先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A．
考点：本题主要考查分步计数原理的应用．
点评：从某一区域涂起，按要求“要求相邻的矩形涂色不同”，分步完成．
8、D
【解析】
利用正态密度曲线的对称性得出，再将代数式与相乘，展开后可利用基本不等式求出的最小值．
【详解】
由于，由正态密度曲线的对称性可知，，
所以，，即，，
由基本不等式可得
，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，故选D.
本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．
9、D
【解析】
先分析函数奇偶性,再分析函数是否有零点即可.
【详解】
因为,故为奇函数,排除A,B.
又当时,故有零点,排除C.
故选D
本题主要考查函数图像的判定方法,一般考虑奇偶性与函数的零点或者函数的正负等,属于基础题型.
10、D
【解析】
根据的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.
【详解】
根据实验数据可以得出，近似增加一个单位时，的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较接近，故选D.
本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.
11、D
【解析】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．
【详解】
由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，
所以．
故选：D．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．
12、B
【解析】
根据题意，可看做五个位置排列五个数，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根据相克原理，1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，依次类推，用分布计数原理写出符合条件的情况.
【详解】
把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，所以以“1”开头的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”两种，同理以其他数开头的排法都是2种，所以共有种．选B.
本题考查分步计数原理的应用，考查抽象问题具体化，注重考查学生的思维能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 [－1，＋∞)
【解析】
对于，不等式恒成立，等价于的图象在的图象上方，根据数形结合可求出实数的取值范围.
【详解】

不等式f(x)≥g(x)恒成立
如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，
观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，
因此a的取值范围是[－1，＋∞)．故答案为[－1，＋∞)．
本题主要考查利用函数图象解答不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.
14、2
【解析】
分析：先求出直线的普通方程，再求出圆的直角坐标方程，再利用公式求直线被圆C截得的弦长.
详解：由题意得直线l的方程为x-y-4=0,圆C的方程为(x-2)2+y2=4.
则圆心到直线的距离d=，故弦长=.
故答案为2.
点睛：（1）本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的弦长的计算，意在考查学生对这些问题的掌握水平.(2)求直线被圆截得的弦长常用公式.
15、
【解析】
试题分析：由题意得，，所以直角坐标为
故答案为：
考点：极坐标与直角坐标的互化.
16、72
【解析】
对6个位置进行编号，第一步，两端排男生；第二步，2，3或4，5排两名女生，则剩下位置的排法是固定的.
【详解】
第一步：两端排男生共，
第二步：2，3或4，5排两名女生共，
由乘法分步原理得：不同的排法种数是.
本题若没有注意2位相邻女生的顺序，易出现错误答案.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）x+y-1=0, ； （2）.
【解析】
（1）由直线的参数方程，消去参数，即可得到普通方程；根据极坐标与直角坐标的转化公式，可将化为直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，再设两点对应的参数为，根据韦达定理，即可求出结果.
【详解】
（1）直线的普通方程为
由，得，
则，故曲线的直角坐标方程为.
（2）将,代人，得，
设两点对应的参数为，
则，
故.
本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ） ．
【解析】
（Ⅰ）当时，，因为是定义在上的奇函数，所以可得；，进而求出解析式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得出函数的单调性，利用单调性解不等式．
【详解】
（Ⅰ）当时，，因为是定义在上的奇函数
所以；
当时，；
所以
（Ⅱ）易知当时，单调递增，又是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增，
所以不等式等价于，解得，
所以原不等式的解集为．
本题考查函数的奇偶性与单调性，解题的关键是由奇偶性先求出解析式，属于一般题．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）将问题转化为在上恒成立；分别在和求得范围，取交集得到结果；（2）由含逻辑连接词命题的真假性可知真假或假真，分别在两种情况下求得范围，取并集得到结果.
【详解】
（1）当命题为真命题时，在上恒成立
当时，；当时，，则
综上所述：
即：若命题为真命题，则
（2）当命题为真命题时，等价于，即
由得： ，解得：
若为真命题，为假命题，则真假或假真
当真假时，；当假真时，
综上所述：
本题考查根据命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到函数单调性与导数的关系、恒成立问题的求解、含逻辑连接词的命题的真假性的性质应用等知识；解题关键是分别求出两个命题为真时参数的取值范围.
20、 (1) ①；； ② (2)见证明
【解析】
（1）①根据递推公式，代入求值即可；
②观察已知的数列的前几项，根据其特征，先猜想其通项公式，之后应用数学归纳法证明即可得结果；
（2）应用数学归纳法证明.
【详解】
(1) 当时，即
当时，
当时，
当时，
②由此猜想：
证明如下：①当时，，成立；
②假设当时，猜想也成立，即,
则当时，
.
即当时，猜想也成立．
由①②得，猜想成立，即.()
(2) 当时，即
当时，由知不等式成立．
假设当时，命题也成立，即.
由

即当时，命题也成立．
由①②得，原命题成立，即当时，.
该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的特定项，根据已知的数列的前几项猜想数列的通项公式，应用数学归纳法证明问题，属于中档题目.
21、（1）直线的直角坐标方程为，的普通方程；（2）.
【解析】
（1）利用将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程.利用将曲线的参数方程转化为直角坐标方程.（2）先求得点的坐标，写出直线的参数方程并代入的直角坐标方程，写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求解出所要求的表达式的值.
【详解】
解：（1）因为直线的极坐标方程为，所以直线的直角坐标方程为.
因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程.
（2）由题可知，
所以直线的参数方程为，（为参数），
代入，得.
设，两点所对应的参数分别为，，
则，.
.
本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.
22、 (1) ＝5，＝10 (2)见解析；(3) 最小值是4035
【解析】
（1）根据题意进行元素相加即可得出和的值；
(2) 因为共有项，所以．由集合，任取，由此能出的值；
（3）不妨设，可得，故中至少有4035个不同的数，即．由此能出的最小值．
【详解】
（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，
得＝5，由1+2=3,1+4=5,1+8=9,1+16=17，2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，
4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得＝10 ．
（2）证明：因为共有项，所以．
又集合，不妨设，m＝1，2，…，n．
，
当时，不妨设，则，即，
当时，，因此，当且仅当时，．
即所有的值两两不同，因此．
（3）不妨设，
可得，
故中至少有4035个不同的数，即．
事实上，设成等差数列，考虑，根据等差数列的性质，
当时， ；
当时， ；
因此每个和等于中的一个，
或者等于中的一个．所以最小值是4035。
本题考查，，，的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意集合性质、分类讨论思想的合理运用．