2025年山东省济南市济钢高级中学数学高二下期末调研模拟试题含解析.doc

2025年山东省济南市济钢高级中学数学高二下期末调研模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．随机变量服从正态分布，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知满足约束条件，则的最大值为（）
A． B． C．3 D．-3
3．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点是，则（ ）
A． B． C． D．1
4．曲线在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
5．设为虚数单位，若复数满足，则复数（　　）
A． B． C． D．
6．有一个偶数组成的数阵排列如下：
2 4 8 14 22 32 …
6 10 16 24 34 … …
12 18 26 36 … … …
20 28 38 … … … …
30 40 … … … … …
42 … … … … … …
… … … … … … …
则第20行第4列的数为 （ ）
A．546 B．540 C．592 D．598
7．对于复数，给出下列三个运算式子：（1），（2），（3）.其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．对于函数和，设，，若存在，，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则 （ ）
附：若，则，
A．0.3174 B．0.1587 C．0.0456 D．0.0228
10．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，其中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
12．用数学归纳法证明：“”，由到时，等式左边需要添加的项是（）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若随机变量的分布列如表所示，则______.

0
1
P
a

14．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”则乙的卡片上的数字是______.
15．已知集合，且，则实数的取值范围是__________．
16．精准扶贫期间，5名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至少安排一人，则不同的分配方法共有____________种．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.
18．（12分）在中，内角所对的边分别是，已知．
（Ⅰ）求证：为等腰三角形；
（Ⅱ）若是钝角三角形，且面积为，求的值．
19．（12分）已知函数，.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求实数k的取值范围.
20．（12分）已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
（Ⅱ）若过且与直线垂直的直线与曲线相交于两点，，求.
21．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平.某市的体育部门对某小区的4000人进行了“运动参与度”统计评分（满分100分），得到了如下的频率分布直方图：

（1）求这4000人的“运动参与度”的平均得分（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为这4000人的“运动参与度”的得分服从正态分布，其中，分别取平均得分和方差，那么选取的4000人中“运动参与度”得分超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用这4000人得分的情况来估计全市所有人的得分情况，现从全市随机抽取4人，记“运动参与度”的得分不超过84.81分的人数为，求.（精确到0.001）
附：①，；②，则，；③.
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线：的参数方程是，（为参数）. 以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、 于，两点，求.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用正态密度曲线的对称性得出，再将代数式与相乘，展开后可利用基本不等式求出的最小值．
【详解】
由于，由正态密度曲线的对称性可知，，
所以，，即，，
由基本不等式可得
，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，故选D.
本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．
2、B
【解析】
画出可行域，通过截距式可求得最大值.
【详解】

作出可行域，求得，，,通过截距式可知在点C取得最大值，于是.
本题主要考查简单线性规划问题，意在考查学生的转化能力和作图能力.目标函数主要有三种类型：“截距型”，“斜率型”，“距离型”，通过几何意义可得结果.
3、D
【解析】
遇到新定义问题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，在该题中求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决．
【详解】
解：函数，
，
，
因为方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，
已知函数的“拐点”是，
所以，即，

故选：．
本题考查导数的运算．导数的定义，和拐点，根据新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，属于基础题
4、B
【解析】
分析：先求导，然后根据切线斜率的求法得出切线斜率表达式，再结合斜率垂直关系列等式求解即可.
详解：由题可知：切线的斜率为：由切线与直线垂直，故，故选B.
点睛：考查切线斜率的求法，直线垂直关系的应用，正确求导是解题关键，注意此题导数求解时是复合函数求导，属于中档题.
5、D
【解析】
先由题意得到，，根据复数的除法运算法则，即可得出结果.
【详解】
因为，所以.
故选：D
本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.
6、A
【解析】
分析：观察数字的分布情况，可知从右上角到左下角的一列数成公差为2的等差数列，想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去即可，进而归纳每一行第一个数的规律即可得出结论．
详解：

顺着图中直线的方向，从上到下依次成公差为2的等差数列，
要想求第20行第4列的数，只需求得23行第一个数再减去即可.
观察可知第1行的第1个数为：；
第2行第1个数为：；
第3行第1个数为：.
……
第23行第1个数为：.
所以第20行第4列的数为.
故选A.
点睛：此题考查归纳推理，解题的关键是通过观察得出数字的排列规律，是中档题．
7、D
【解析】
分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.
详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得，（1）正确；设，则， ，（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知，（3）正确，即正确命题的个数是，故选D.
点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题.
8、D
【解析】
先得出函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2的零点为x＝1．再设g（x）＝x2﹣ax﹣a+3的零点为β，根据函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，利用新定义的零点关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g（x）＝x2﹣ax﹣a+3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．
【详解】
函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2的零点为x＝1．
设g（x）＝x2﹣ax﹣a+3的零点为β，
若函数f（x）＝ex﹣1+x﹣2与g（x）＝x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，
根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，
∴0≤β≤2，如图

由于g（x）＝x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），
故要使其零点在区间[0，2]上，则或，
解得2≤a≤3，
故选D
本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用
9、D
【解析】
由随机变量，所以正态分布曲线关于对称，再利用原则，结合图象得到.
【详解】
因为，所以，
所以，即，
所以.选D．
本题主要考查正态分布曲线及原则，考查正态分布曲线图象的对称性.
10、C
【解析】
由已知可得，再由，即可求出结论.
【详解】
因为抛物线的准线为，
点在抛物线上，所以，
.
故选：C
本题考查抛物线的标准方程，应用焦半径公式是解题的关键，属于基础题.
11、D
【解析】
连结，可证明是平行四边形，则，故的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值，利用余弦定理可得结果.
【详解】
连结，由题得 ，故是平行四边形，，则的余弦值即为所求，由，可得，，故有
，解得，故选D.
本题考查异面直线的夹角的余弦值和余弦定理，常见的方法是平移直线，让两条直线在同一平面中，再求夹角的余弦值.
12、D
【解析】
写出时，左边最后一项，时，左边最后一项，由此即可得到结论
【详解】
解：∵时，左边最后一项为，
时，左边最后一项为，
∴从到，等式左边需要添加的项为一项为
故选：D．
本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先由分布列，根据概率的性质求出，再求出期望，根据方差的计算公式，即可得出结果.
【详解】
由分布列可得：，解得，
所以，
因此，
所以.
故答案为：.
本题主要考查求离散型随机变量的方差，熟记计算公式即可，属于常考题型.
14、1和2
【解析】
由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和2，乙的卡片上的数字为1和2，丙的卡片上的数字为1和1．
【详解】
由题意可知丙不拿1和2．
若丙拿1和1，则乙拿1和2，甲拿1和2，满足题意；
若丙拿1和2，则乙拿1和2，甲拿1和1，不满足题意．
故乙的卡片上的数字是1和2．
故答案为：1和2
本题主要考查推理，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．
15、
【解析】
分析：求出，由，列出不等式组能求出结果．
详解：根据题意可得，，由可得
即答案为.
点睛：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．
16、150
【解析】
分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为、、，二是三个贫困村安排的干部数分别为、、，利用排列组合思想分别求出这两种情况的分配方法数，加起来可得出结果.
【详解】
分两种情况讨论：一是三个贫困村安排的干部数分别为、、，
分配方法种数为；
二是三个贫困村安排的干部数分别为、、，分配方法种数为.
综上所述，所有的分配方法种数为，故答案为．
本题考查排列组合综合问题，考查分配问题，这类问题一般是先分组再排序，由多种情况要利用分类讨论来处理，考查分类讨论数学思想，属于中等题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）.
【解析】
分析：（1）将两边同乘，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出．
详解：
（1）由，化为直角坐标方程为，
即
（2）将l的参数方程带入圆C的直角坐标方程，得
因为，可设，
又因为（2，1）为直线所过定点，

所以
点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．
18、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）将正切化弦，结合两角和差正弦公式可求得，根据三角形内角和可整理为，则由正弦定理可得到结论；（Ⅱ）利用三角形面积公式可求得；根据三角形为钝角三角形且（Ⅰ）中的，可知为钝角，求得；利用余弦定理可构造方程求得之间关系，从而得到所求结果.
【详解】
（Ⅰ）由得：
则：

由正弦定理可知：
为等腰三角形
（Ⅱ）由题意得：，解得：
为钝角三角形，且 为钝角
由余弦定理得：

本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.
19、（1）的单调递增区间是，单调递减区间是（2）
【解析】
1利用导数求单调区间；2先分离参数，转化为在恒成立利用导数求最值即可求解．
【详解】
（1），，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
综上，的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）．
令，
则在恒成立．
，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的最大值在时取得，．
所以．
本题主要考查了函数导数的应用，函数恒成立问题，分离参数，属于基础问题基础方法．
20、（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线的直角坐标方程，消去参数，即可求得曲线的普通方程；
（Ⅱ）求得直线的参数方程，代入椭圆的方程，利用直线参数的几何意义，即可求解．
【详解】
（Ⅰ）由直线极坐标方程为，
根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线直角坐标方程：，
由曲线的参数方程为（为参数），则，
整理得，即椭圆的普通方程为．
（Ⅱ）直线的参数方程为，即（为参数）
把直线的参数方程代入得：，
故可设，是上述方程的两个实根，则有
又直线过点，故由上式及的几何意义得：.
本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及参数方程与普通方程的互化，以及直线参数的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
21、（1）平均成绩为70.5分（2）人（3）
【解析】
（1）先计算中间值和对应概率，相乘再相加得到答案.
（2）先计算服从正态分布，根据公式
得到答案.
（3）先计算概率，再利用二项分布公式得到答案.
【详解】
（1）由题意知：
中间值
45
55
65
75
85
95
概率
0.1
0.15
0.2
0.3
0.15
0.1
∴，
∴这4000人“运动参与度”得分的平均成绩为70.5分．
（2）依题意服从正态分布，其中，，，
∴服从正态分布，
而，
∴．
∴这4000人中“运动参与度”得分超过84.81分的人数估计为人人．
（3）全市所有人的“运动参与度”得分不超过84.81分的概率．
而，
∴．
本题考查了平均值，正态分布，二项分布，概率.综合性较强，意在考查学生解决问题的能力.
22、（1）:,:;（2）.
【解析】
试题分析：（1）首先写出的直角坐标方程，再根据互化公式写出极坐标方程，和的直角坐标方程,互化公式为 ；（2）根据图象分析出 .
试题解析：（1）将参数方程化为普通方程为，即，
∴的极坐标方程为.
将极坐标方程化为直角坐标方程为.
（2）将代入 整理得，
解得，即.
∵曲线是圆心在原点，半径为1的圆，
∴射线 与相交，即，即.
故.