2025届北京市北京一零一中学高二下数学期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025届北京市北京一零一中学高二下数学期末达标检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两个复数,的实部和虚部都是正整数,关于代数式有以下判断:①最大值为2；②无最大值;③最小值为；④无最小值.其中正确判断的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
2．的展开式中的系数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
3．设随机变量 ，，则（ ）
A． B． C． D．
4．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为　　
A． B． C． D．
5．已知为虚数单位，复数满足，是复数的共轭复数，则下列关于复数的说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．复数在复平面内表示的点在第四象限
6．二项式展开式中，的系数是（    ）
A． B． C．        D．
7．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．（0，1）
C． D．（﹣1，0）
8．设集合，， ，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
9．下列值等于1的积分是（ ）
A． B． C． D．
10．设全集U＝{|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁UA的子集的个数是（　　）
A．16 B．8 C．7 D．4
11．如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（ ）

A． B．
C． D．
12．若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为抛物线的焦点，为其标准线与轴的交点，过的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，且，则__________．
14．若随机变量，且，则______.
15．已知双曲线的左右顶点分别是，右焦点，过垂直于轴的直线交双曲线于两点，为直线上的点，当的外接圆面积达到最小时，点恰好落在（或）处，则双曲线的离心率是__________．
16．如图，在三角形中，D为边上一点， 且，，则为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0。
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明；
(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2；
(4)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域。
18．（12分）设命题幂函数在上单调递减。命题在上有解；
若为假，为真，求的取值范围.
19．（12分）已知动圆经过点，并且与圆相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设为轨迹内的一个动点，过点且斜率为的直线交轨迹于、两点，当为何值时？ 是与无关的定值，并求出该值定值.
20．（12分）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
（1）证明：在上为增函数．
（2）证明：．
21．（12分）已知函数.
（1）求；
（2）求函数的图像上的点P（1,1）处的切线方程.
22．（10分）已知函数 ,函数
①当时,求函数的表达式;
②若,函数在上的最小值是2 ,求的值;
③在②的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
设两个复数,,在复平面内对应点,利用平面向量的加法的几何意义以及平面向量的数量积可以判断出的最值情况.
【详解】
设两个复数,,在复平面内对应点,因此有：
因为, 复数,的实部和虚部都是正整数,所以,
(当且仅当),故
,假设有最小值,则
,显然对于也成立,于是有
这与相矛盾,故不存在最小值；
对任意正整数,,,,故没有最大值,因此②④说法正确.
故选：C
本题考查了复数的向量表示,考查了平面向量的数量积的计算,考查了数学运算能力.
2、D
【解析】
根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，列式求得的系数.
【详解】
根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，题目所给表达式中含有的为，故展开式中的系数为，故选D.
本小题主要考查二项式展开式通项公式的应用，考查乘法分配律，属于基础题.
3、A
【解析】
根据正态分布的对称性即可求得答案.
【详解】
由于，故，则，故
答案为A.
本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.
4、C
【解析】
在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型概率公式，得到概率．
【详解】
因为5道题中有3道理科题和2道文科题，
所以第一次抽到理科题的前提下，剩余4道题中，有2道理科题，
第2次抽到理科题的概率为．故选C．
本题考查的知识点是古典概型概率公式，分析出基本事件总数和满足条件的事件个数是解答的关键，但本题易受到第一次抽到理科题的影响而出错，容易按独立事件同时发生的概率求解．
5、B
【解析】
由复数的乘法除法运算求出，进而得出答案
【详解】
由题可得，在复平面内表示的点为，位于第二象限，，故A,C,D错误；，，故B正确；
本题考查复数的基本运算与几何意义，属于简单题．
6、B
【解析】
通项公式：，令，解得，的系数为，故选B.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
7、A
【解析】
首先由题意可得，
再由对数式的运算性质变形，然后求解对数不等式得答案.
【详解】
由题意可得，
第一个式子解得或；
第二个式子化简为，
令，则，解得或，则或，
则或.即或.
综上，实数的取值范围为.
故选：A.
本题主要考查以函数定义域为背景的恒成立问题，二次型函数的恒成立问题一般借助判别式进行处理，本题同时兼顾考查了对数的运算性质，综合性较强，侧重考查数学运算的核心素养.
8、A
【解析】
阴影部分所表示的集合为：.
【详解】
由已知可得，阴影部分所表示的集合为：.
故选：A.
本题主要考查集合的运算，属基础题.
9、C
【解析】
分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．
【详解】
解：选项A，xdxx2，不满足题意；
选项B，（x+1）dx＝（x2+x）1，不满足题意；
选项C，1dx＝x1﹣0＝1，满足题意；
选项D，dxx0，不满足题意；
故选C．
考点：定积分及运算．
10、B
【解析】
因为，，所以，集合的子集的个数是 ，故选B.
11、C
【解析】
根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解.
【详解】
由图象知，函数是奇函数，排除，；当时，显然大于0，与图象不符，排除D，故选C.
本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题.
12、A
【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.
详解：因为
，
所以，
解得，故选A.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、8.
【解析】
分析：求得抛物线的焦点和准线方程，可得E的坐标，设过F的直线为y=k（x-1），代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，运用两点的距离公式可得k，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值．
详解：F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，
E（-1，0）为其准线与x轴的交点，
设过F的直线为y=k（x-1），
代入抛物线方程y2=4x，可得
k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则中点
解得k2=1，则x1+x2=6，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+2=8，故答案为8.
点睛：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．
14、4
【解析】
由随机变量，且，可得的值，计算出,可得的值.
【详解】
解：由随机变量，且，可得，，
，
.
故答案为：4.
本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，熟悉二项分布的期望和方差的性质是解题的关键.
15、
【解析】
设点的坐标为，求出点的坐标，由的外接圆面积取最小值时，取到最大值，则，利用基本不等式求出
的最小值，利用等号成立求出的表达式，令求出双曲线的离心率的值．
【详解】
如下图所示，将代入双曲线的方程得，得，所以点，

设点的坐标为，由的外接圆面积取最小值时，则取到最大值，
则取到最大值，，，

，
当且仅当，即当时，等号成立，
所以，当时，最大，此时的外接圆面积取最小值，
由题意可得，则，此时，双曲线的离心率为，
故答案为．
本题考查双曲线离心率的求解，考查利用基本不等式求最值，本题中将三角形的外接圆面积最小转化为对应的角取最大值，转化为三角函数值的最值求解，考查化归与转化思想的应用，运算量较大，属于难题．
16、
【解析】
延长AD,过点C作,垂足为E,由,则,设,则,可证明,则,从而求得,即的值.
【详解】
解:如图,延长AD,过点C作,垂足为E,

,,
设,则,
, ,
,则,
,,
,,
.
故答案为:.
本题考查了锐角三角函数的定义,相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质,基础知识要熟练掌握.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)1,(2)见解析(3)(4)
【解析】
（1）利用赋值法令x=y，进行求解即可．
（2）利用抽象函数的关系，结合函数单调性的定义进行证明即可．
（3）利用函数单调性的性质将不等式进行转化求解即可．
（4）根据（2）的结论，将值域问题转化为求最值，根据f（4）=2，结合f（）=f（x）﹣f（y），赋值x=16，y=4，代入即可求得f（16），从而求得f（x）在[1，16]上的值域
【详解】
（1）令x=y，f（1）=f（）=f（x）﹣f（x）=1，x＞1
（2）设1＜x1＜x2，则由f（）=f（x）﹣f（y），得f（x2）﹣f（x1）=f（），
∵＞1，∴f（）＞1．∴f（x2）﹣f（x1）＞1，即f（x）在（1，+∞）上是增函数
（3）∵f（6）=f（）=f（36）﹣f（6），∴f（36）=2，
原不等式化为f（x2+3x）＜f（36），∵f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴解得1＜x＜．故原不等式的解集为（1，）
（4）由（2）知f（x）在[1，16]上是增函数．
∴f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（16）．
∵f（4）=2，由f（）=f（x）﹣f（y），知f（）=f（16）﹣f（4），
∴ f（16）=2f（4）=4，∴ f（x）在[1，16]上的值域为[1，4]
本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及结合函数单调性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题．
18、.
【解析】
试题分析：由真可得，由真可得　，为假，为真等价于一真一假，讨论两种情况，分别列不等式组，求解后再求并集即可.
试题解析：若正确，则，　
若正确，

为假，为真，∴一真一假

即的取值范围为.
19、（1）（2）.
【解析】
（1）由题意可得点的轨迹是以、为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由隐含条件求得，则椭圆方程可求；
（2）设，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得、的横坐标与纵坐标的和与积，再由是与无关的定值求得，进一步得到该定值．
【详解】
（1）由题设得：|，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
，，，椭圆方程为；
（2）设，，，直线，
由，得，
由韦达定理得，，
，，
，
的值与无关，，解得．此时．
本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法与待定系数法，是中档题．
20、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）求导函数，利用曲线在，（1）处的切线方程，可得（1），（1），由此可求，的值，再由单调性的性质即可得证；
（2）运用函数的零点存在定理可得存在，，可得，可得，即，再由单调性可得，再由对勾函数的单调性可得所求结论．
【详解】
（1）由，得，
所以，，
解得，．因此，
设，，
所以为增函数．
（2），，
故存在，使得，
即，即.
进而当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
则．
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
故．
本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，解题的关键是构造函数，确定函数的单调区间，求出函数的最值，属于中档题．
21、（1）2x+lnx+1 (2)
【解析】
试题分析：（1）由导数的运算可求得的值；（2）由导数的几何意义可得切线在切点处的斜率，由点斜式可求得直线方程.
试题解析：（Ⅰ）；
（Ⅱ）由题意可知切点的横坐标为1，
所以切线的斜率是，
所以切线方程为，即．
考点：1、求导公式；2、导数的几何意义．
【易错点晴】
求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．
(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．本题放在解答题的位置，难度不大，是得分的主要题型.
22、（1）；（2）；（3）.
【解析】
⑴∵,
∴当时,; 当时,
∴当时,; 当时,.
∴当时,函数.
⑵∵由⑴知当时,,
∴当时,当且仅当时取等号.
∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.
⑶由解得
∴直线与函数的图象所围成图形的面积
=