2025年湖南省邵阳市邵东县第三中学高二下数学期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025年湖南省邵阳市邵东县第三中学高二下数学期末达标检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
2．若函数，且，， 的最小值是，则的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则( )
A． B． C． D．以上都不正确
4．全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则不同的报名种数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义域为的函数满足‘’，当时，单调递减，如果且，则的值（ ）
A．等于0 B．是不等于0的任何实数
C．恒大于0 D．恒小于0
6．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
7．已知，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的最小正周期是（　）
A． B． C． D．
10．一个随机变量的分布列如图，其中为的一个内角，则的数学期望为（ ）

A． B． C． D．
11．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
12．2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（ ）
A．150种 B．240种 C．300种 D．360种
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程为________．
14．将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个“阶色序”对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的“阶色序”.若某圆的任意两个“阶色序”均不相同，则称该圆为“阶魅力圆”.“4阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为__________．
15．设，若随机变量的分布列是：

0
1
2

则当变化时，的极大值是__________．
16．若命题：是真命题，则实数的取值范围是______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，设命题：实数满足，命题：实数满足．
（1）若，为真命题，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（12分）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数．
(1)请列出X的分布列；
(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
19．（12分）已知，且是第三象限角，求，.
20．（12分）从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：
(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？
(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？
(3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
21．（12分）已知是复数，与均为实数．
（1）求复数；
（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
22．（10分）某快递公司（为企业服务）准备在两种员工付酬方式中选择一种现邀请甲、乙两人试行10天两种方案如下：甲无保底工资送出50件以内（含50件）每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每送出一件再支付2元分别记录其10天的件数得到如图茎叶图，若将频率视作概率，回答以下问题：

（1）记甲的日工资额为（单位：元），求的分布列和数学期望；
（2）如果仅从日工资额的角度考虑请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
直接由复数商的模等于模的商求解．
【详解】
，
．
故选：C．
本题考查复数模的求法，复数模的性质，属于容易题．
2、A
【解析】
本题首先要对三角函数进行化简，再通过 的最小值是推出函数的最小正周期，然后得出的值，最后得出函数的单调递增区间．
【详解】

再由，， 的最小值是可知，．
的单调递增区间为，
．
本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间．
3、B
【解析】
由题意可得：

据此有：.
本题选择B选项.
4、C
【解析】
分析：利用分布计数乘法原理解答即可.
详解：全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，由乘法原理，可得不同的报名种数是
故选C.
点睛：本题考查分布计数乘法原理，属基础题.
5、D
【解析】
由且，不妨设，，则，
因为当时，单调递减，
所以 ，
又函数满足，所以，
所以，即.
故选：D.
6、C
【解析】
根据图像最低点求得，根据函数图像上两个特殊点求得的值，由此求得函数解析式，进而求得的值.
【详解】
根据图像可知，函数图像最低点为，故，所以，将点代入解析式得，解得，故，所以，故选C.
本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.
7、B
【解析】
根据条件概率公式得出可计算出结果.
【详解】
由条件概率公式得，故选B.
本题考查条件概率的计算，利用条件概率公式进行计算是解本题的关键，属于基础题.
8、C
【解析】
求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.
【详解】
依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.
本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.
9、C
【解析】
根据三角函数的周期公式，进行计算，即可求解．
【详解】
由角函数的周期公式，可得函数的周期，又由绝对值的周期减半，即为最小正周期为，故选C．
本题主要考查了三角函数的周期的计算，其中解答中熟记余弦函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题．
10、D
【解析】
利用二倍角的余弦公式以及概率之和为1，可得，然后根据数学期望的计算公式可得结果.
【详解】
由， 得，
所以或 (舍去)
则，

故选：D
本题考查给出分布列，数学期望的计算，掌握公式，细心计算，可得结果.
11、A
【解析】
令，由可知在上单调递增，从而可得在上恒成立；通过分离变量可得，令，利用导数可求得，从而可得，解不等式求得结果.
【详解】
由且得：
令，可知在上单调递增
在上恒成立，即：
令，则
时，，单调递减；时，，单调递增
，解得：
本题正确选项：
本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型.
12、A
【解析】
根据题意，需要将5个安保小组分成三组，分析可得有2种分组方法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组，求出每一种情况的分组方法数目，由加法计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，三个区域至少有一个安保小组，
所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：
按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；
若按照1、1、3分组,共有种分组方法；
若按照1、2、2分组,共有种分组方法，
根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法.
故选：A.
本题考查排列、组合及简单计数问题，本题属于分组再分配问题，根据题意分析可分组方法进行分组再分配，按照分类计数原理相加即可，属于简单题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求出函数的导数，可得切线的斜率，运用斜截式方程可得切线的方程．
【详解】
曲线y＝（1﹣3a）ex在点（1，1），可得：1＝1﹣3a，解得a＝1，
函数f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，
可得图象在点（1，1）处的切线斜率为1，
则图象在点（1，1）处的切线方程为y＝x+1，
即为x﹣y+1＝1．
故答案为：x﹣y+1＝1．
本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键，属于基础题．
14、1
【解析】
分析：由题意可得，“4阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“4阶色序”共有2×2 ×2×2=1种，从两个方面进行了论证，即可得到答案．
详解：“4阶色序”中，每个点的颜色有两种选择，故“4阶色序”共有2×2×2×2=1种，
一方面，n个点可以构成n个“4阶色序”，故“4阶魅力圆”中的等分点的个数不多于1个；
另一方面，若n=1，则必需包含全部共1个“4阶色序”，
不妨从（红，红，红，红）开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，红，蓝，蓝，蓝，蓝，红，蓝，蓝，红，红，蓝，红，蓝”符合条件．
故“4阶魅力圆”中最多可有1个等分点．
故答案为：1．
点睛：本题主要考查合情推理的问题，解题的关键分清题目所包含的条件，读懂已知条件.
15、.
【解析】
分析：先求，再根据二次函数性质求极大值.
详解：因为，
所以

，当且仅当时取等号，因此的极大值是.
点睛：本题考查数学期望公式以及方差公式：考查基本求解能力.
16、.
【解析】
试题分析：命题：“对，”是真命题.当时，则有；当时，则有且，解得.综上所示，实数的取值范围是.
考点：1.全称命题；2.不等式恒成立

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）若，分别求出成立的等价条件，利用为真命题，求出的取值范围；
（2）利用是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【详解】
由，得，
（1）若，则：，
若为真，则，同时为真，
即，解得，
∴实数的取值范围.
（2）由，得，解得.
即：.
若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，
则必有，此时：，.
则有，即，
解得.
本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将是的充分不必要条件，转化为是的充分不必要条件是解决本题的关键.
18、（1）
X

0

1

2

3

1

P

（2）
【解析】
试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，1．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．
（2）选出的1人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有1人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．
解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，
随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，1．
．
∴所以X的分布列为：

（2）由分布列可知至少选3名男生，
即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=1）=+=．
点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．
19、
【解析】
由，结合是第三象限角，解方程组即可得结果.
【详解】
由
可得
由且是第三象限角，

本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换
20、（1）30；（2）91种；（3）120种.
【解析】
试题分析：（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；
（3）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案．
试题解析：
(1)；
(2)方法1：(间接法)
在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为：
(种)；
方法2：(直接法)
甲在内乙不在内有种，乙在内甲不在内有种，甲、乙都在内有种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有：
(种).
(3)方法1：(间接法)
在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为：
(种)；
方法2：(直接法)
分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为：
(种).
点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．
21、（Ⅰ） z=4-2i．（Ⅱ）2＜a＜6
【解析】
第一问设
所以，；
由条件得，且
第二问
由条件得：
解：（1）设
所以，； ---------------1分
---------------4分
由条件得，且，---------------6分
所以---------------7分
(2)-------------------10分
由条件得：，-------------------12分
解得所以，所求实数的取值范围是-------------------14分
22、（1）分布列详见解析，数学期望为151.5元；（2）推荐该公司选择乙的方案，理由详见解析.
【解析】
（1）首先根据茎叶图得到的所有可能取值为：，，，，，并计算其概率，再列出分布列求数学期望即可.（2）根据题意求出乙的日均工资额，再比较甲乙的日工资额即可.
【详解】
（1）设甲日送件量为，则
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，
所以的所有可能取值为：，，，，．
，，，
，.
的分布列为

（元）.
（2）乙的日均送件量为：
乙的日均工资额为：（元），
而甲的日均工资额为：元， 元元，
因此，推荐该公司选择乙的方案．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了茎叶图和数学期望在决策中的作用，属于中档题.