2024-2025学年百色市重点中学数学高二下期末预测试题含解析.doc

2024-2025学年百色市重点中学数学高二下期末预测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有（ ）
A．77种 B．144种 C．35种 D．72种
2．已知A，B是半径为的⊙O上的两个点，·＝1，⊙O所在平面上有一点C满足｜＋｜＝1，则｜｜的最大值为（　　）
A．＋1 B．＋1 C．2＋1 D． +1
3．已知函数，如果函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
4．在等差数列中，如果，且，那么必有，类比该结论，在等比数列中, 如果，且，那么必有（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数与函数，下列选项中不可能是函数与图象的是　　
A． B．
C． D．
6．已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．在正方体中，过对角线的一个平面交于，交于得四边形，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形一定为菱形
B．四边形在底面内的投影不一定是正方形
C．四边形所在平面不可能垂直于平面
D．四边形不可能为梯形
8．下面给出了四种类比推理：
①由实数运算中的类比得到向量运算中的；
②由实数运算中的 类比得到向量运算中的；
③由向量的性质类比得到复数的性质；
④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；
其中结论正确的是
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
9．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，

2
4
6

则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）

A． B． C． D．
12．展开式中项的系数是
A．4 B．5
C．8 D．12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设，则___________.
14．若复数，则__________．（是的共轭复数）
15．若函数的最小正周期为，则的值是________．
16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a＝________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分） “节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统．某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如下图所示．将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立．

（l）求在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；
（2）用表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随杌变量的分布列及数学期望．
18．（12分）数列满足.
（1）计算，并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
19．（12分）在中，三个内角的对边分别为．
（1）若是的等差中项，是的等比中项，求证：为等边三角形；
（2）若为锐角三角形，求证：．
20．（12分）已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
21．（12分）已知复数，为虚数单位，且复数为实数．
（1）求复数；
（2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
22．（10分）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，坐标原点为，.
（1）求抛物线的方程；
（2）当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据所选3名队员中包含老队员的人数分成两类:(1) 只选一名老队员;(2) 没有选老队员,分类计数再相加可得.
【详解】
按照老队员的人数分两类:
(1)只选一名老队员,则新队员选2名(不含甲)有42;
(2)没有选老队员,则选3名新队员(不含甲)有,
所以老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有:种.
故选A.
本题考查了分类计数原理,属基础题.
2、A
【解析】
先由题意得到，根据向量的数量积求出，以O为原点建立平面直角坐标系，设A（，）得到点B坐标，再设C（x，y），根据点B的坐标，根据题中条件，即可求出结果.
【详解】
依题意，得：，
因为，
所以，＝1，得：，
以O为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，

设A（，），则B（，）
或B（，）
设C（x，y），
当B（，）时，
则＝（＋－x，＋－y）
由｜＋｜＝1，
得：＝1，
即点C在1为半径的圆上，
A（，）到圆心的距离为：＝
｜｜的最大值为＋1
当B（，）时，结论一样．
故选A

本题主要考查向量模的计算，熟记向量的几何意义，以及向量模的计算公式，即可求解，属于常考题型.
3、C
【解析】
分析：求函数的导函数，并化简整理，结合函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点进行讨论即可.
详解：函数的定义域为(0, +∞)

①当时，恒成立，令，则，
即在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极小值，符合题意；
②当时，时，
又函数在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，
在处取得极值.
从而或恒成立，
构造函数，
，
设与相切的切点为，
则切线方程为，
因为切线过原点，则，解得，
则切点为
此时.
由图可知：

要使恒成立，则.
综上所述：.
故选：C.
点睛：导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．
4、D
【解析】
分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.
详解：由题意，类比上述性质：在等比数列中，
则由“如果，且”，则必有“”成立，故选D.
点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.
5、D
【解析】
对进行分类讨论，分别作出两个函数图象，对照选项中的图象，利用排除法,可得结果.
【详解】
时，函数与图象为：

故排除；
，令，则或，
当时，0为函数的极大值点, 递减，
函数与图象为：

故排除；
当时，0为函数的极小值点，递增，
函数与图象为：

故排除； 故选.
本题考查的知识点是三次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6、B
【解析】
分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案
详解：：若f（3）=3，
则f（1）=3或f（1）=4；
f（2）=3或f（2）=4；
故这样的映射的个数是2×2=4个，
故选：B．
点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题
7、D
【解析】

对于A，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形为菱形，故A错误；
对于B, 四边形在底面内的投影一定是正方形,故B错误；
对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形垂直于平面,故C错误；
对于D，四边形一定为平行四边形，故D正确.
故选：D
8、D
【解析】
根据向量数量积的定义、复数的运算法则来进行判断．
【详解】
①设与的夹角为，则，，则成立；
②由于向量的数量积是一个实数，设，，
所以，表示与共线的向量，表示与共线的向量，
但与不一定共线，不一定成立；
③设复数，则，是一个复数，所以不一定成立；
④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的．故选D．
本题考查数与向量、向量与复数之间的类比推理，在解这类问题时，除了考查条件的相似性之外，还要注意定义的理解，考查逻辑推理能力，属于中等题．
9、C
【解析】
分析：首先通过题中的条件，得到棱锥的三组对棱相等，从而利用补体，得到相应的长方体，列式求得长方体的对角线长，从而求得外接球的半径，利用球体的表面积公式求得结果.
详解：对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），
设长方体的长、宽、高分别是，则有，
三个式子相加整理可得，
所以长方体的对角线长为，
所以其外接球的半径，
所以其外接球的表面积，故选C.
点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的体积问题，在解题的过程中，注意根据题中所给的三棱锥的特征，三组对棱相等，从而将其补体为长方体，利用长方体的外接球的直径就是该长方体的对角线，利用相应的公式求得结果.
10、A
【解析】
根据a,b,c成等差数列，a+b+c=1，可解得a,b,c，进而求出.
【详解】
由，得.则，故选A.
本题考查根据随机变量X的分布列求概率，分析题目条件易求出．
11、D
【解析】
试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.
考点：椭圆的几何性质．
12、B
【解析】
把（1+x）5 按照二项式定理展开，可得（1﹣x）（1+x）5展开式中x2项的系数．
【详解】
（1﹣x）（1+x）5=（1﹣x）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其中可以出现的有1*10x2
和﹣x*5x，其它的项相乘不能出现平方项，故展开式中x2项的系数是10﹣5=5，
故选B．
这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
首先解绝对值不等式求得集合A，根据偶次根式的条件求得集合B，之后求得两集合的交集，得到结果.
【详解】
解不等式得，
根据，解得，所以，
故答案是：.
该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，函数的定义域，两集合的交集的求解，属于简单题目.
14、2
【解析】
分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进而得到最后求出复数的模即可．
详解：由，可得
∴，∴
故答案为：2
点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，
则，
.
15、
【解析】
试题分析：
考点：三角函数周期
【方法点睛】已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.
16、1
【解析】
由双曲线可知a>0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.
点睛：如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）0.027；（2）见解析
【解析】
分析：（1）利用相互独立事件乘法概率公式和互斥事件加法公式能求出在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；
（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，且X～（3，0.3），由此能求出随机变量X的分布列数学期望E（X）．
详解：（1）设表示事件“月用水量不低于12吨”，表示事件“月用水量低于4吨”，表示事件“在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨”.
因此，，.
因为每天的用水量相互独立，
所以.
（2）可能取的值为0,1,2,3，
相应的概率分别为

,
,
,
.
故的分布列为
故的数学期望为 .
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.
18、（1）；（2）见解析
【解析】
分析：（1）根据题设条件，可求a1，a2，a3，a4的值，猜想{an}的通项公式．
（2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．
详解：（1）根据数列满足，
当时，，即；
当时，，即；
同理，
由此猜想；
（2）当时，，结论成立；
假设（为大于等于1的正整数）时，结论成立，即，
那么当（大于等于1的正整数）时
，∴，
∴，即时，结论成立，
则.
点睛：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法
19、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）由是的等差中项可得，由是的等比中项，结合正弦定理与余弦定理即可得到，由此证明为等边三角形；
（2）解法1：利用分析法，结合锐角三角形的性质即可证明；
解法2：由为锐角三角形以及三角形的内角和为，可得，利用公式展开，进行化简即可得到．
【详解】
（1）由成等差数列，有 ①
因为为的内角，所以 ②
由①②得 ③
由是的等比中项和正弦定理得，
是的等比中项， 所以 ④
由余弦定理及③，可得
再由④，得即，因此
从而 ⑤
由②③⑤，得
所以为等边三角形．
（2）解法1： 要证
只需证
因为、、都为锐角，所以，
故只需证：
只需证：
即证：
因为，所以要证：
即证：
即证：
因为为锐角，显然
故原命题得证，即．
解法2：因为为锐角，所以
因为
所以， 即
展开得：
所以
因为、、都为锐角，所以，
所以
即
本题考查正余弦定理、等差等比的性质，锐角三角形的性质，熟练掌握定理是解决本题的关键．
20、（1）（2）
【解析】
（1）利用分类讨论法解不等式得解集；（2）先求出，
，再解不等式得解.
【详解】
解：（1）不等式可化为
当时，，，所以无解；
当时，，所以；
当时，，，所以.
综上，不等式的解集是.
（2），
若，恒成立，则，
解得：.
本题主要考查分类讨论法解不等式，考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）将代入，利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，由复数的虚部为零求出实数的值，可得出复数；
（2）将复数代入复数，并利用复数的乘方法则将该复数表示为一般形式，由题意得出实部与虚部均为正数，于此列不等式组解出实数的取值范围.
【详解】
（1），，
由于复数为实数，所以，，解得，因此，；
（2）由题意，
由于复数对应的点在第一象限，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
本题考查复数的基本概念，以及复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部，并利用实部与虚部来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
22、（1）；（2）或
【解析】
试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想. 第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝1．（*）
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则．
因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x． …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y2－4my＋2＝1．
y1＋y2＝4m，y1y2＝2． …6分
设AB的中点为M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4， ①
又， ②
由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，．
所以，直线l的方程为，或． …12分
考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.