2024-2025学年成都七中初中高二下数学期末复习检测试题含解析.doc

2024-2025学年成都七中初中高二下数学期末复习检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．曲线上一点处的切线方程是（ ）．
A． B．
C． D．
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．函数在定义域内可导，若，且当时，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，复数，则在复平面内的对应点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若直线 （t为参数）与直线垂直，则常数k=（　　）
A． B．6 C．6 D．
6．下列选项叙述错误的是 （ ）
A．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．若命题，则
C．若为真命题，则，均为真命题
D．若命题为真命题，则的取值范围为
7．有位男生，位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ）
A． B． C． D．
8．一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
A． B． C． D．
9．等比数列{}的前n项和为，若则=
A．10 B．20 C．20或-10 D．-20或10
10．已知数列满足（，且是递减数列，是递增数列，则
A． B． C． D．
11．已知为虚数单位，则复数对应复平面上的点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
12．在圆中，弦的长为4，则（ ）
A．8 B．-8 C．4 D．-4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知的外接圆半径为1，，点在线段上，且，则面积的最大值为______.
14．设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则实数_____．
15．已知满足约束条件若目标函数的最大值为7，则的最小值为_______．
16．若复数，，（为虚数单位）则实数__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，点，分别在棱，上，且满足，.

（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
18．（12分）已知函数.
（1）若，证明：当时，；
（2）若在有两个零点，求的取值范围.
19．（12分）已知函数，.
（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数的值；
（2）若，讨论的单调性；
（3）在（2）的条件下，若，求证：函数只有一个零点，且．
20．（12分）栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒.叶，四季常绿；花，芳香素雅.绿叶白花，格外清丽.某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：），其中不大于（单位：）的植株高度茎叶图如图所示.

(1)求植株高度频率分布直方图中的值；
(2)在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值.
21．（12分）已知虚数满足.
（1）求的取值范围；
（2）求证：是纯虚数.
22．（10分）已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)对于任意正实数x,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
求导利用导数的几何意义求出曲线上一点处的切线斜率,再用点斜式写出方程即可.
【详解】
由题.故.
故曲线上一点处的切线方程是.
化简得.
故选：A
本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程.属于基础题.
2、B
【解析】
分析：根据基本初等函数的性质，确定函数在上是增函数，且满足，，结合函数的零点判定定理可得函数的零点所在的区间.
详解：由基本初等函数可知与均为在上是增函数，
所以在上是增函数，
又，

根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是.
故选B.
点睛：本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题.
3、B
【解析】
x∈（-∞，1）时，x-1＜0，由（x-1）•f'（x）＜0，知f'（x）＞0，
所以（-∞，1）上f（x）是增函数．
∵f（x）=f（2-x），
∴f（3）=f（2-3）=f（-1）
所以f（-1）＜（0）＜，
因此c＜a＜b．
故选B．
4、C
【解析】
在复平面内的对应点考查点横纵坐标的正负,分情况讨论即可.
【详解】
由题得, 在复平面内的对应点为.
当,即时,二次函数取值范围有正有负,故在复平面内的对应点可以在一二象限.
当,即时,二次函数,故在复平面内的对应点可以在第四象限.
故在复平面内的对应点一定不在第三象限.
故选：C
本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.
5、B
【解析】
由参数方程直接求出斜率，表示出另一直线的斜率，利用垂直的直线斜率互为负倒数即可求出参数k.
【详解】
由参数方程可求得直线斜率为：，另一直线斜率为：，
由直线垂直可得：，解得：.
故选B.
本题考查参数方程求斜率与直线的位置关系，垂直问题一般有两个方法：一是利用斜率相乘为-1，另一种是利用向量相乘得0.
6、C
【解析】
分析：根据四种命题的关系进行判断A、B，根据或命题的真值表进行判断C，由全称命题为真的条件求D中参数的值．
详解：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，A正确；若命题，则，B正确； 若为真命题，则，只要有一个为真，C错误；若命题为真命题，则，，D正确．
故选C．
点睛：判断命题真假只能对每一个命题进行判断，直到选出需要的结论为止．命题考查四种命题的关系，考查含逻辑连接词的命题的真假以及全称命题为真时求参数的取值范围，掌握相应的概念是解题基础．
7、D
【解析】
先排与老师相邻的: ,再排剩下的： ,所以共有 种排法种数，选D.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
8、A
【解析】
试题分析：正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．
由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为：，故选A.
考点：球内接多面体
9、B
【解析】
由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列即（S20﹣S10）2＝S10•（S30﹣S20），代入可求．
【详解】
由等比数列的性质可得，S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，且公比为
∴（S20﹣S10）2＝S10•（S30﹣S20）即
解 =20或-10（舍去）
故选B．
本题主要考查了等比数列的性质（若Sn为等比数列的前n项和，且Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用
10、D
【解析】
试题分析：由可得：，又是递减数列，是递增数列，所以，即，由不等式的性质可得：，又因为，即，所以，即，同理可得：；当数列的项数为偶数时，令，可得：，将这个式子相加得：，所以，则，所以选D．
考点：1．裂项相消法求和；2．等比数列求和；
11、D
【解析】
分析：首先化简所给的复数，然后确定复数所在的象限即可.
详解：由题意可得：
，
则复数对应的点为，该点位于第四象限，
即复数对应复平面上的点在第四象限.
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12、A
【解析】
分析：根据平面向量的数量积的定义，老鹰圆的垂径定理，即可求得答案.
详解：如图所示，在圆中，过点作于，则为的中点，
在中，，可得，
所以，故选A.

点睛：本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中涉及到圆的性质，直角三角形中三角函数的定义和向量的数量积的公式等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由所以可知为直径，设，
求导得到面积的最大值.
【详解】
由所以可知为直径，所以，设，
则，在中，有，，
所以的面积，.
方法一：（导数法）
，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的面积的最大值为.
方法二：（均值不等式）
，
因为.
当且仅当，即时等号成立，即.
本题考查了面积的最大值问题，引入参数是解题的关键.
14、
【解析】
设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入，得f（x）＝log3（-x）+a，由此利用f（﹣3）+f（﹣）＝4，能求出a的值．
【详解】
函数y＝f（x）的图象与的图象关于直线y＝﹣x对称，
设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），
把（﹣y，﹣x）代入，得﹣x＝，
∴f（x）＝log3（-x）+a，
∵f（﹣3）+f（﹣）＝4，
∴1+a﹣1+a＝4，
解得a＝1．
故答案为1．
本题考查指对函数的相互转化，考查对数值的运算，考查函数与方程思想，是基础题．
15、7
【解析】
试题分析：作出不等式表示的平面区域，得到及其内部，其中
把目标函数转化为，表示的斜率为，截距为，由于当截距最大时，最大，由图知，当过时，截距最大，最大，因此，，
由于，
当且仅当时取等号，.

考点：1、线性规划的应用；2、利用基本不等式求最值.
16、
【解析】
由题得，解方程即得解.
【详解】
由题得,
所以.
故答案为
本题主要考查复数模的性质和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析； （2）.
【解析】
（1）在棱上取一点，使得，连接，，可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（2）以为坐标原点以为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】

（1）在棱上取一点，使得，连接，，
因为，，所以，
所以.又因为，，所以，，
所以是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）依题意，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，.
设平面的法向量为，则，即，取，
则.
又平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
18、 (1)证明见解析.
(2) .
【解析】
分析：（1）只要求得在时的最小值即可证；
（2）在上有两个不等实根，可转化为在上有两个不等实根，这样只要研究函数的单调性与极值，由直线与的图象有两个交点可得的范围．
详解：（1）证明：当时，函数.则，
令，则，令，得.
当时，，当时，

在单调递增，
（2）解：在有两个零点方程在有两个根，
在有两个根，
即函数与的图像在有两个交点．，
当时，，在递增
当时，，在递增
所以最小值为，当时，，当时，，在有两个零点时，的取值范围是．
点睛：本题考查用导数证明不等式，考查函数零点问题．用导数证明不等式可转化这求函数的最值问题，函数零点问题可转化为直线与函数图象交点问题，这可用分离参数法变形，然后再研究函数的单调性与极值，从而得图象的大致趋势．
19、 (1) (2)见解析（3）见解析
【解析】
分析：（1）先求一阶导函数，，用点斜式写出切线方程
（2）先求一阶导函数的根，求解或的解集，判断单调性。
（3）根据（2）的结论，求出极值画出函数的示意图，分析函数只有一个零点的等价条件是极小值大于零，函数在是减函数，故必然有一个零点。
详解：（1）因为，所以；又。
由题意得，解得
（2），其定义域为，
又，令或。
①当即时，函数与随的变化情况如下：
当时，，当时，。
所以函数在单调递增，在和单调递减
②当即时，，
所以，函数在上单调递减
③当即时，函数与随的变化情况如下：
当时，，当时，。
所以函数在单调递增在和 上单调递减
（3）证明：当时，
由①知，的极小值为，极大值为.
因为
且又由函数在是减函数，可得至多有一个零点
又因为，
所以 函数只有一个零点， 且.
点睛：利用导数求在某点切线方程利用，即可，方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点三种思想的转化，为解题思路提供了灵活性，导数作为研究函数的一个基本工具在使用。
20、（1）；（2）1.60.
【解析】
（1）根据茎叶图可得频率，从而可计算.
（2）利用组中值可计算植株高度的平均值.
【详解】
（1）由茎叶图知，.
由频率分布直方图知
，
所以.
（2）这批栀子植株高度的平均值的估计值
.
本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.
21、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
先设，（且），由得；可将看作以坐标原点为圆心的单位圆上的点；
（1）由表示点与定点之间的距离，根据定点到圆上的动点的距离，即可得出结果；
（2）根据复数运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】
设，（且），因为，所以，
因此可看作以坐标原点为圆心的单位圆上的点；
（1）表示点与定点之间的距离；
又点到坐标原点的距离为，
所以（为单位圆半径），
因此；
（2），
因此是纯虚数.
本题主要考查求复数的模，以及复数的四则运算，熟记复数运算法则，以及复数的几何意义即可，属于常考题型.
22、（1）在上单调递减,在上单调递增（2）
【解析】
（1）利用导数的正负即可求出单调区间；
（2）分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可；
【详解】
(1)因为.所以,
令,得,
当时,;当时,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
(2)由于,恒成立,所以.
构造函数,所以.
令,解得,当时,,当时,.
所以函数在点处取得最小值,即.
因此所求k的取值范围是.
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，考查计算能力和分析问题的能力，以及转化思想，属于中档题．