2025年全国百强校】山西大学附属中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2025年全国百强校】山西大学附属中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列说法不正确的是（ ）
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；
B．同一平面的两条垂线一定共面；
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.
2．如图，网格纸的小正方形的边长是，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C． D．
3． (2016高考新课标III，理3)已知向量 , 则ABC=
A．30 B．45 C．60 D．120
4．已知a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，若，，，则下列三个结论：①、②、③．其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（ ）

A．5 B．4 C．3 D．9
6．已知定义在 上的偶函数 满足：当时，，若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的平面几何图形．此图由两个圆构成，O为大圆圆心，线段AB为小圆直径．△AOB的三边所围成的区域记为I，黑色月牙部分记为Ⅱ，两小月牙之和（斜线部分）部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）

A． B． C． D．
8．将函数的图像左移个单位，则所得到的图象的解析式为
A． B．
C． D．
9．若集合，则
A． B． C． D．
10．函数的零点有两个，求实数的取值范围（ ）
A． B．或 C．或 D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数是定义域为的偶函数．当时，，关于的方程，有且仅有5个不同实数根，则实数的取值范围是_____．
12．如图，两个正方形，边长为2，.将绕旋转一周，则在旋转过程中，与平面的距离最大值为______.

13．已知无穷等比数列的首项为，公比为q，且，则首项的取值范围是________．
14．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第一象限的概率为__________．
15．若,则________.
16．如图，圆锥形容器的高为圆锥内水面的高为，且，若将圆锥形容器倒置，水面高为，则等于__________．（用含有的代数式表示）

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知.
(1)求与的夹角；
(2)求.
18．选修4-5：不等式选讲
已知函数，M为不等式的解集.
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b时，.
19．已知时不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．在中，，，，解三角形.
21．设的内角所对应的边长分别是，且.
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）当的面积为时，求的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；
这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了
2、A
【解析】
根据三视图，还原空间结构体，根据空间结构体的特征及球、棱锥的体积公式求得总体积．
【详解】
根据空间结构体的三视图，得原空间结构体如下图所示：

该几何体是由下面半球的和上面四棱锥的组成
由三视图的棱长及半径关系，可得几何体的体积为

所以选A
本题考查了三视图的简单应用，空间结构体的体积求法，属于中档题．
3、A
【解析】
试题分析：由题意，得，所以，故选A．
【考点】向量的夹角公式．
【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
4、C
【解析】
根据题意，，，，则有，因此，，不难判断.
【详解】
因为，，，则有，所以，，
所以①正确，②不正确，③正确，
则其中正确命题的个数为2.
故选C
本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.
5、B
【解析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出，分析循环中各变量的变化情况，可得答案.
【详解】
当时，，，满足进行循环的条件；
当时，，，满足进行循环的条件；
当时，，，满足进行循环的条件；
当时，，，不满足进行循环的条件；
故选：B
本题主要考查程序框图，解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况，属于基础题.
6、C
【解析】
根据函数的奇偶性将等价变形为，再根据函数在上单调性判断函数值的大小关系，从而得出正确选项.
【详解】
解因为函数为偶函数，
故，
因为，
，
所以，
因为函数在上单调增，
故，
故选C.
本题考查了函数单调性与奇偶性的运用，解题的关键是要能根据奇偶性将函数值进行转化.
7、D
【解析】
设OA＝1，则AB，分别求出三个区域的面积，由测度比是面积比得答案．
【详解】
设OA＝1，则AB，
，
以AB中点为圆心的半圆的面积为，
以O为圆心的大圆面积的四分之一为，
以AB为弦的大圆的劣弧所对弓形的面积为π﹣1，
黑色月牙部分的面积为π﹣（π﹣1）＝1，
图Ⅲ部分的面积为π﹣1．
设整个图形的面积为S，
则p1，p1，p3．
∴p1＝p1＞p3，
故选D．

本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，正确求出各部分面积是关键，是中档题．
8、C
【解析】
由三角函数的图象变换，将函数的图像左移个单位，得到，即可得到函数的解析式.
【详解】
由题意，将函数的图像左移个单位，
可得的图象，
所以得到的函数的解析式为，故选C.
本题主要考查了三角函数的图象变换，其中熟记三角函数的图象变换的规则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9、B
【解析】
根据交集定义计算．
【详解】
由题意．
故选B．
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
10、B
【解析】
由题意可得，的图象（红色部分）和直线有2个交点，数形结合求得的范围．
【详解】
由题意可得的图象(红色部分)和直线有2个交点，如图所示：

故有或，
故选：B.
已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的图象的交点个数问题 .

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
令，则原方程为，根据原方程有且仅有5个不同实数根，则有5个不同的解，结合图像特征，求出的值或范围，即为方程解的值或范围，转化为范围，即可求解.
【详解】
令，则原方程为，
当时，，且为偶函数，
做出图像，如下图所示：
当时，有一个解；
当或，有两个解；
当时，有四个解；
当或时，无解.
，有且仅有5个不同实数根，
关于的方程有一个解为，，另一个解为，
在区间上，所以，
实数的取值范围是.
故答案为:.

本题考查复合方程根的个数求参数范围，考查了分段函数的应用，利用换元法结合的函数的奇偶性的对称性，利用数形结合是解题的关键，属于难题.
12、
【解析】
绕旋转一周得到的几何体是圆锥，点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像，根据图像判断出圆的下顶点距离平面的距离最大，解三角形求得这个距离的最大值.
【详解】
绕旋转一周得到的几何体是圆锥，故点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像如下图所示，根据图像作法可知，当位于圆心的正下方点位置时，到平面 的距离最大.在平面内，过作，交于.在中，,.所以①.其中，，所以①可化为.
故答案为：

本小题主要考查旋转体的概念，考查空间点到面的距离的最大值的求法，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.
13、
【解析】
根据极限存在得出，对分、和三种情况讨论得出与之间的关系，可得出的取值范围.
【详解】
由于，则.
①当时，则，；
②当时，则，；
③当时，，解得.
综上所述：首项的取值范围是，故答案为：.
本题考查极限的应用，要结合极限的定义得出公比的取值范围，同时要对公比的取值范围进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
14、
【解析】
首先求出试验发生包含的事件的取值所有可能的结果，满足条件事件直线不经过第一象限，符合条件的有种结果，根据古典概型概率公式得到结果.
【详解】
试验发生包含的事件，，
得到的取值所有可能的结果有：
共种结果，
由得，
当 时，直线不经过第一象限，符合条件的有种结果，
所以直线不经过第一象限的概率.
故答案为：
本题是一道古典概型题目，考查了古典概型概率公式，解题的关键是求出列举基本事件，属于基础题.
15、
【解析】
先求，再代入求值得解.
【详解】
由题得
所以.
故答案为
本题主要考查共轭复数和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
16、
【解析】
根据水的体积不变，列出方程，解出的值，即可得到答案.
【详解】
设圆锥形容器的底面面积为，则未倒置前液面的面积为，
所以水的体积为，
设倒置后液面面积为，则，所以，
所以水的体积为，所以，解得.
本题主要考查了圆锥的结构特征，以及圆锥的体积的计算与应用，其中解答中熟练应用圆锥的结构特征，利用体积公式准确运算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）由得到，又代入夹角公式，求出的值；
（2）利用公式进行模的求值.
【详解】
（1）因为，所以，
因为，因为，所以.
（2）.
本题考查数量积的运算及其变形运用，特别注意之间关系的运用与转化，考查基本运算能力.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．
试题解析：（I）
当时，由得解得；
当时，；
当时，由得解得.
所以的解集.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而
，
因此
【考点】绝对值不等式，不等式的证明.
【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：
（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．
（2）图象法：作出函数和的图象，结合图象求解．
19、
【解析】
讨论的取值范围，分别计算，最后得到答案.
【详解】
解：（1）当时，恒成立，符合题意
（2）当时，不合题意舍去
（3）当时，
综上所述
本题考查了不等式恒成立问题，忽略二次系数为0的情况是容易发生的错误.
20、当时，，，当，，
【解析】
利用已知条件通过正弦定理求出，然后利用正弦定理或余弦定理转化求解，即可求解．
【详解】
在中，，
由正弦定理可得：＝＝，
因为，所以或，
当时，因为，所以，从而，
当时，因为，所以，从而＝．
本题主要考查了三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理与余弦定理，合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
21、（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由得，再利用正弦定理即可求出（Ⅱ）由可得，再利用余弦定理即可求出.
【详解】
（Ⅰ）∵∴，
由正弦定理可知： ，∴
（Ⅱ）∵
∴
由余弦定理得：
∴，即
则：
故：
本题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.