2025年江苏省各地数学高一第二学期期末达标检测试题含解析.doc

2025年江苏省各地数学高一第二学期期末达标检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，则甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．下图所示的几何体是由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为质点的圆锥面得到，现用一个垂直于底面的平面去截该几何体、则截面图形可能是（ ）

A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）
3．已知扇形的面积为2cm2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为( )
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
4．若向量满足：与的夹角为，且，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
5．已知数列的通项公式是，则该数列的第五项是（ ）
A． B． C． D．
6．的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
7．体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A． B． C． D．
8．已知直线，，若，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
9．已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
10．在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则_________.
12．如图，在边长为的菱形中，，为中点，则______.

13．函数f(x)＝coscos的最小正周期为________．
14．如图所示，梯形中，，于，，分别是，的中点，将四边形沿折起（不与平面重合），以下结论①面；②；③．则不论折至何位置都有_______．

15．函数单调递减区间是 ．
16．若，则__________.（结果用反三角函数表示）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，，，，解三角形.
18．已知向量，，．
（1）求函数的解析式及在区间上的值域；
（2）求满足不等式的x的集合．
19．如图所示，平面平面，四边形为矩形，，点为的中点.

(1)若，求三棱锥的体积；
(2)点为上任意一点，在线段上是否存在点，使得?若存在，确定点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.
20．等差数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设,求数列的前n项和.
21．已知数列中，．.
（1）写出、、；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
分析：用列举法得出甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动的事件数，从而可求甲被选中的概率.
详解：从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，
包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况，
甲被选中的概率为.
故选C.
点睛：本题考查用列举法求基本事件的概率，解题的关键是确定基本事件，属于基础题.
2、D
【解析】
根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案．
【详解】
根据题意，当截面过旋转轴时，
圆锥的轴截面为等腰三角形，此时（1）符合条件；
当截面不过旋转轴时，
圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时（4）符合条件；
故截面图形可能是（1）（4）；
故选：D．
本题考查的知识点是旋转体，圆锥曲线的定义，关键是掌握圆柱与圆锥的几何特征.
3、C
【解析】
设扇形的半径为R,则R2θ=2,∴R2=1R=1,∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm).
4、D
【解析】
设作图，由可知点在以线段为直径的圆上，由图可知，，代入所求不等式利用圆的特征化简即可.
【详解】
如图，设，取线段的中点为，连接OE交圆于点D，
因为即，
所以点在以线段为直径的圆上(E为圆心)，且，
于是.

故选：D
本题考查向量的线性运算，垂直向量的数量积表示，几何图形在向量运算中的应用，属于中档题.
5、A
【解析】
代入即可得结果.
【详解】
解：由已知，
故选：A.
本题考查数列的项和项数之间的关系，是基础题.
6、C
【解析】
由题意可得，化简后利用正弦定理将“边化为角“即可．
【详解】
解：的面积为，
，
，
故选：C．
本题主要考查正弦定理的应用和三角形的面积公式，属于基础题．
7、A
【解析】
试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.
【考点】 正方体的性质，球的表面积
【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.
8、B
【解析】
由两直线平行的等价条件列等式求出实数的值.
【详解】
，则，整理得，解得，故选：B.
本题考查利用两直线平行求参数的值，解题时要利用直线平行的等价条件列等式求解，一般是转化为斜率相等来求解，考查运算求解能力，属于基础题.
9、B
【解析】
试题分析：由三角形的面积公式，得，即，解得，又因为三角形为锐角三角形，所以.
考点：三角形的面积公式.
10、A
【解析】
由得，，所以，由几何概型概率的计算公式得，，故选.
考点：1.几何概型；2.对数函数的性质.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由题意可得：

点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；
注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．
12、
【解析】
选取为基底，根据向量的加法减法运算，利用数量积公式计算即可.
【详解】
因为,
,
，
又，
.
本题主要考查了向量的加法减法运算，向量的数量积，属于中档题.
13、2
【解析】
f(x)＝coscos＝cos·sin＝sinπx，最小正周期为T＝＝2
14、①②
【解析】
根据题意作出折起后的几何图形，再根据线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识即可判断各选项的真假．
【详解】
作出折起后的几何图形，如图所示：．
因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以．
而面，所以面，①正确；无论怎样折起，始终有，所以面，即有，而，所以，②正确；折起后，面，面，且，故与是异面直线，③错误．
故答案为：①②．
本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，异面直线的判定定理等知识的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．
15、
【解析】
先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出.
【详解】
由，解得或，所以函数的定义域为.令，则函数在上单调递减，在上单调递增，又为增函数，则根据同增异减得，函数单调递减区间为.
复合函数法：复合函数的单调性规律是“同则增，异则减”，即与若具有相同的单调性，则为增函数，若具有不同的单调性，则必为减函数．
16、；
【解析】
由条件利用反三角函数的定义和性质即可求解.
【详解】
，
则，
故答案为：
本题考查了反三角函数的定义和性质，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、当时，，，当，，
【解析】
利用已知条件通过正弦定理求出，然后利用正弦定理或余弦定理转化求解，即可求解．
【详解】
在中，，
由正弦定理可得：＝＝，
因为，所以或，
当时，因为，所以，从而，
当时，因为，所以，从而＝．
本题主要考查了三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理与余弦定理，合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18、（1）值域为．（2）
【解析】
（1）由向量，，利用数量积运算得到；由，得到，利用整体思想转化为正弦函数求值域.
（2）不等式，转化为，利用整体思想，转化为三角不等式，利用单位圆或正弦函数的图象求解.
【详解】
（1）因为 ，，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以，
所以在区间上的值域为．
（2）由，得，
即．
所以，
解得，
不等式的解集为．
本题主要考查了向量与三角函数的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19、 (1)；(2)存在，为中点，证明见解析.
【解析】
（1）先根据面积垂直的性质得到平面；再由题中数据，结合棱锥体积公式，即可求出结果；
（2）先由线面垂直的性质得到为中点时，有.再给出证明：取中点，连接，，，由线面垂直的判定定理，以及面面垂直的性质定理，证明平面，再由线面垂直的性质定理，即可得出结果.
【详解】
(1)因为四边形为矩形，所以，
又平面平面，
所以平面；
又，所以，
因此三棱锥的体积为：；
(2)当为中点时，有.
证明如下:取中点，连接，，.

∵为的中点，为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴四点共面.
∵平面平面，平面平面，
平面，，
∴平面，又平面，
∴，
∵，为的中点，
∴，
又，
∴平面，又平面，
∴，即.
本题主要考查求棱锥的体积，以及补全线线垂直的条件，熟记棱锥体积公式，以及线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.
20、 (1)；（2）.
【解析】
(1)根据等差数列公式得到方程组，计算得到答案.
(2)先求出，再利用裂项求和求得.
【详解】
(1)等差数列中，，
解得：
(2)
数列的前n项和.
本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用及计算能力.
21、（1），，；（2）猜想，证明见解析.
【解析】
（1）利用递推公式可计算出、、的值；
（2）根据数列的前四项可猜想出，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立.
【详解】
（1），，则，
，；
（2）猜想，下面利用数学归纳法证明.
假设当时成立，即，
那么当时，，
这说明当时，猜想也成立.
由归纳原理可知，.
本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.