2025年江苏省淮州中学高一数学第二学期期末复习检测试题含解析.doc

2025年江苏省淮州中学高一数学第二学期期末复习检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l1：ax＋2y＋8＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的取值是（ ）
A．－1或2 B．－1 C．0或1 D．2
3．小金同学在学校中贯彻着“边玩边学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有、、三个木桩，木桩上套有编号分别为、、、、、、的七个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这七个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为（ ）

A． B． C． D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )

A．2 B． C． D．12
5．如图，在等腰梯形中，，于点，则（ ）

A． B．
C． D．
6．为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，．数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
7．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的(　　)
A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍
8．若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
10．在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在数列中，，则______________.
12．如图，矩形中，，，是的中点，将沿折起，使折起后平面平面，则异面直线和所成的角的余弦值为__________．

13．在直角坐标系中，直线与直线都经过点，若，则直线的一般方程是_____.
14．已知，，且，则的最小值为________.
15．正方体中，异面直线和所成角的余弦值是________.
16．已知，函数的最小值为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，角的对边分别为，已知，，.
（1）求的值；
（2）求和的值.
18．已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程
19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求角C；
（2）若，，求的面积.
20．已知夹角为，且，，求：
（1）； （2）与的夹角．
21．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
（1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形；
（2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；
（3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为，设，求证：过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
现从两袋中各随机取一球，基本事件总数，两球不同颜色包含的基本事件个数，由此能求出两球不同颜色的概率．
【详解】
甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，
其中甲袋中有3个红球、2个白球，乙袋中有2个红球、3个白球，
现从两袋中各随机取一球，基本事件总数，
两球不同颜色包含的基本事件个数，
则两球不同颜色的概率为．
故选．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
2、A
【解析】

【详解】
，选A.
本题考查由两直线平行求参数.
3、B
【解析】
假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，根据题意求出数列的递推公式，利用递推公式求出数列的通项公式，从而得出的值，可得出结果.
【详解】
假设桩上有个圆环，将个圆环从木桩全部套到木桩上，需要最少的次数为，可这样操作，先将个圆环从木桩全部套到木桩上，至少需要的次数为，然后将最大的圆环从木桩套在木桩上，需要次，在将木桩上个圆环从木桩套到木桩上，至少需要的次数为，所以，，易知.
设，得，对比得，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，因此，，故选：B.
本题考查数列递推公式的应用，同时也考查了利用待定系数法求数列的通项，解题的关键就是利用题意得出数列的递推公式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
4、C
【解析】
由该几何体的三视图可知该几何体为底面是等腰直角三角形的直棱柱，再结合棱柱的表面积公式求解即可.
【详解】
解：由该几何体的三视图可知，该几何体为底面是等腰直角三角形的直棱柱，
又由图可知底面等腰直角三角形的直角边长为1，棱柱的高为1，
则该几何体的表面积是，
故选：C.

本题考查了几何体的三视图，重点考查了棱柱的表面积公式，属基础题.
5、A
【解析】
根据等腰三角形的性质可得是的中点，由平面向量的加法运算法则结合向量平行的性质可得结果.
【详解】

因为，
所以是的中点，
可得
，故选.
本题主要考查向量的几何运算以及向量平行的性质，属于简单题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）
6、D
【解析】
利用等差数列的通项公式与求和公式可得，再利用，可得，，．即可得出．
【详解】
解：为等差数列的前项和，且，，．
可得，则公差．，
，则，，，
．
数列的前项和为：．
故选：．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7、C
【解析】
以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可．
【详解】
以三角形的一边为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，故三家性的高变为原来的sin45°=，
故直观图中三角形面积是原三角形面积的．
故选C．
本题重点考查了斜二侧画法、平面图形的面积的求解方法等知识，属于中档题．解题关键是准确理解斜二侧画法的内涵，与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段的长度减少为原来的一半．
8、B
【解析】
根据，结合基本不等式可求得，从而得到关于的不等式，解不等式求得结果.
【详解】
由题意知：
， ，
（当且仅当，即时取等号）
，解得：
本题正确选项：
本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.
9、D
【解析】
由直线方程得到直线斜率，进而得到其倾斜角.
【详解】
因直线方程为，
所以直线的斜率，故其倾斜角为150°.
故选D
本题主要考查求直线的倾斜角，熟记定义即可，属于基础题型.
10、D
【解析】
先根据向量的夹角公式计算出的值，然后再根据同角的三角函数的基本关系即可求解出的值.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以.
故选：D.
本题考查坐标形式下向量的夹角计算，难度较易.注意：的夹角并不是，而应是的补角.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、20
【解析】
首先根据已知得到：是等差数列，公差，再计算即可.
【详解】
因为，
所以数列是等差数列，公差.
.
故答案为：
本题主要考查等差数列的判断和等差数列项的求法，属于简单题.
12、
【解析】
取中点为，中点为，连接，则异面直线和所成角为 .在中，利用边长关系得到余弦值.
【详解】
由题意，
取中点，连接，则，可得直线和所成角的平面角为，（如图）

过作垂直于，平面⊥平面，
，
平面，，
且，结合平面图形可得：,
,,
又=, ∴=,

∴在中，=,
∴△DFC是直角三角形且，
可得．
本题考查了异面直线的夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
13、
【解析】
点代入的方程求出k，再由求出直线的斜率，即可写出直线的点斜式方程.
【详解】
将点代入直线得，，解得，
又，，于是的方程为，整理得.
故答案为：
本题考查直线的方程，属于基础题.
14、
【解析】
由，可得，然后利用基本不等式可求出最小值.
【详解】
因为，所以，当且仅当，时取等号.
利用基本不等式求最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③等号取得的条件.
15、
【解析】
由，可得异面直线和所成的角，利用直角三角形的性质可得结果.
【详解】

因为，所以异面直线和所成角，
设正方体的棱长为，
则直角三角形中，，
，故答案为.
本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角，先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.
16、5
【解析】
变形后利用基本不等式可得最小值．
【详解】
∵，∴ 4x-5>0,
∴
当且仅当时，取等号，即 时，有最小值5
本题考查利用基本不等式求最值，凑出可利用基本不等式的形式是解决问题的关键，使用基本不等式时要注意“一正二定三相等”的法则．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2），
【解析】
（1）由，求得，由大边对大角可知均为锐角，利用同角三角函数关系求得，利用两角和差正弦公式求得结果；（2）根据正弦定理得到的关系，代入可求得；利用余弦定理求得.
【详解】
（1）

（2）由正弦定理可得：
又 ，解得：，则
由余弦定理可得：

本题考查解三角形的相关知识，涉及到同角三角函数关系、两角和差正弦公式、大边对大角的关系、正弦定理和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.
18、（1）；（2）
【解析】
(1)已知圆C：的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l斜率为2，直线l的方程为y=2(x-1),即 2x-y-2=0.
(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC, 直线l的方程为, 即 x+2y-6=0
19、（1）；（2）
【解析】
（1）利用正弦定理进行边化角，然后得到的值，从而得到；
（2）根据余弦定理，得到关于的方程，从而得到，再根据面积公式，得到答案.
【详解】
（1）在中，根据正弦定理，
由，
可得，
所以，
因为为内角，所以，
所以
因为为内角，所以，
（2）在中，，，
由余弦定理得

解得，
所以.
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.
20、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）先求模的平方将问题转化为向量的数量积问题．（2）根据数量积公式即可求得两向量的夹角．
（1），
，
所以．
（2）设与的夹角为．
则，因为，所以．
考点：1向量的数量积；2向量的模长．
21、（1）动点的轨迹方程为，曲线是以为圆心，2为半径的圆（2）的方程为或.（3）证明见解析，所有定点的坐标为，
【解析】
（1）利用两点间的距离公式并结合条件，化简得出曲线的方程，根据曲线方程的表示形式确定曲线的形状；
（2）根据几何法计算出圆心到直线的距离，对直线分两种情况讨论，一是斜率不存在，一是斜率存在，结合圆心到直线的距离求出直线的斜率，于此得出直线的方程；
（3）设点的坐标为，根据切线的性质得出，从而可得出过、、三点的圆的方程，整理得出，然后利用
，解出方程组可得出所过定点的坐标.
【详解】
（1）由题意得，化简可得：，
所以动点的轨迹方程为.
曲线是以为圆心，为半径的圆；
（2）①当直线斜率不存在时，，不成立；
②当直线的斜率存在时，设，即，
圆心到的距离为 ∵
∴, 即，解得或，
∴的方程为或；
（3）证明：∵在直线上，则设
∵为曲线的圆心，由圆的切线的性质可得，
∴经过的三点的圆是以为直径的圆，
则方程为，
整理可得,
令，且,
解得或
则有经过三点的圆必过定点，所有定点的坐标为，.
本题考查动点轨迹方程的求法，考查直线截圆所得弦长的计算以及动圆所过定点的问题，解决圆所过定点问题，关键是要将圆的方程求出来，对带参数的部分提公因式，转化为方程组求公共解问题．