2024-2025学年湖北省天门市、仙桃市、潜江市高一下数学期末达标测试试题含解析.doc

2024-2025学年湖北省天门市、仙桃市、潜江市高一下数学期末达标测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知点O是边长为2的正三角形ABC的中心，则（ ）
A． B． C． D．
2．在区间上随机选取一个实数，则事件“”发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值域为
A． B． C． D．
4．若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为（ ）
A． B． C． D．
5．以下说法正确的是（ ）
A．零向量与单位向量的模相等
B．模相等的向量是相等向量
C．已知均为单位向量，若，则与的夹角为
D．向量与向量是共线向量，则四点在一条直线上
6．执行如图所示的程序框图，令，若，则实数a的取值范围是

A． B．
C． D．
7．已知为的三个内角的对边，，的面积为2，则的最小值为( ).
A． B． C． D．
8．集合，那么 ( )
A． B．
C． D．
9．等差数列中，，，下列结论错误的是（ ）
A．，，成等比数列 B．
C． D．
10．已知在中，为线段上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数在上是减函数，则的取值范围是________.
12．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中
心，则与底面所成角的正弦值等于 ．
13．已知正实数x，y满足2x+y=2，则xy的最大值为______.
14．将二进制数110转化为十进制数的结果是_____________.
15．已知不等式的解集为或，则实数__________.
16．在中，，，是角，，所对应的边，，，如果，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等比数列的前项和为，公比，，．
（1）求等比数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD ，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2,O为AD中点．

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段AD上是否存在点，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
19．已知向量.
（1）求的值；
（2）若，且，求.
20．已知定义在上的函数的图象如图所示

（1）求函数的解析式；
（2）写出函数的单调递增区间
（3）设不相等的实数，，且，求的值.
21．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.

（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
直接由正三角形的性质求出两向量的模和夹角，由数量积定义计算．
【详解】
∵点O是边长为2的正三角形ABC的中心，∴，，
∴．
故选：B.
本题考查平面向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键．
2、B
【解析】
根据求出的范围，再由区间长度比即可得出结果.
【详解】
区间的长度为；由，解得，即，区间长度为，事件“”发生的概率是.故选B.
本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于基础题型.
3、C
【解析】
利用求函数的周期为，计算即可得到函数的值域.
【详解】
因为，，，
因为函数的周期，
所以函数的值域为，故选C.
本题考查函数的周期运算，及利用函数的周期性求函数的值域.
4、C
【解析】
，，，可以归纳出数列的通项公式．
【详解】
依题意，，，，
所以此数列的一个通项公式为，
故选：C．
本题考查了数列的通项公式，主要考查归纳法得到数列的通项公式，属于基础题．
5、C
【解析】
根据零向量、单位向量、相等向量，向量的模、向量共线、向量数量积的运算的知识分析选项，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，零向量的模是，单位向量的模是，两者不相等，故A选项说法错误.
对于B选项，两个向量大小和方向都相等才是相等向量，故B选项说法错误.
对于C选项，由，故C选项说法正确.
对于D选项，向量与向量是共线向量，但是这两个向量没有公共点，所以无法判断是否在一条直线上.故D选项说法错误.
故选：C
本小题主要考查向量的有关概念，考查向量数量积的运算，属于基础题.
6、D
【解析】
该程序的功能是计算并输出分段函数.
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，无解.
综上，，则实数a的取值范围是.
故选D.
7、D
【解析】
运用三角形面积公式和余弦定理，结合三角函数的辅助角公式和正弦型函数的值域最后可求出的最小值.
【详解】
因为， 所以，即，
令，可得，
于是有，因此，即，所以的最小值为，故本题选D.
本题考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了辅助角公式，考查了数学运算能力.
8、D
【解析】
根据并集定义计算．
【详解】
由题意．
故选D．
本题考查集合的并集运算，属于基础题．
9、C
【解析】
根据条件得到公差，然后得到等差数列的通项，从而对四个选项进行判断，得到答案.
【详解】
等差数列中，，
所以，
所以，
所以，，，，，
，，，，
所以，所以，，成等比数列，故A选项正确，
，故B选项正确，
，故C选项错误，
，故D选项正确.
故选：C.
本题考查求等差数列的项，等差数列求前项的和，属于简单题.
10、C
【解析】
首先，由已知条件可知，再有，这样可用表示出．
【详解】
∵，∴，
，
∴，∴．
故选C．
本题考查平面向量基本定理，解题时用向量加减法表示出，然后用基底表示即可．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据二次函数的图象与性质，即可求得实数的取值范围，得到答案.
【详解】
由题意，函数表示开口向下，且对称轴方程为的抛物线，
当函数在上是减函数时，则满足，解得，
所以实数的取值范围.
故答案为：.
本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12、
【解析】
试题分析：由题意得，不妨设棱长为，如图，在底面内的射影为的中心，故，由勾股定理得，过作平面，则为与底面所成角，且，作于中点，所以，所以，所以与底面所成角的正弦值为．

考点：直线与平面所成的角．
13、
【解析】
由基本不等式可得，可求出xy的最大值.
【详解】
因为，所以，
故，当且仅当时，取等号.
故答案为.
利用基本不等式求最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③等号取得的条件.
14、6
【解析】
将二进制数从右开始,第一位数字乘以2的0次幂,第二位数字乘以2的1次幂,以此类推,进行计算即可.
【详解】
,
故答案为:6.
本题考查进位制,解题关键是了解不同进制数之间的换算法则,属于基础题.
15、6
【解析】
由题意可知，3为方程的两根，利用韦达定理即可求出a的值.
【详解】
由题意可知，3为方程的两根，则，即.
故答案为：6
本题主要考查一元二次不等式的解，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
16、
【解析】
首先利用同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理即可求解.
【详解】
在中，
，，即，
，
，即，
，，
，，即，
，
，即，
，，
由正弦定理得，
，，
故答案为：
本题考查了同角三角函数的基本关系以及正弦定理解三角形，需熟记公式，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）将已知两式作差，利用等比数列的通项公式，可得公比，由等比数列的求和可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得bn＝n，，由裂项相消求和可得答案．
【详解】
（1）等比数列的前项和为，公比，①，
②．
②﹣①，得，则，
又，所以，
因为，所以，
所以，
所以；
（2），
所以前项和．
裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
18、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）只需证明，又由面面垂直的性质定理知平面；
（Ⅱ）连接、，假设存在点，使得它到平面的距离为，设，由，求得的值即可．
试题解析：（Ⅰ）证明：在中，为中点，所以．
又侧面底面，平面平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）连接、

假设存在点，使得它到平面的距离为．
设，则
因为，为的中点，
所以，且
所以
因为，且
所以
在中，
所以
所以
由，即
解得
所以存在点满足题意，此时．
考点：1．平面与平面垂直的性质；2．几何体的体积．
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）对等式进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；
（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出的值，再由同角三角函数关系式结合的值求出的值，最后利用两角和的正弦公式求出的值即可.
【详解】
（1）
；
（2）因为，所以，而，
所以，因为，，所以
.
因此有.
本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.
20、（1）；（2）；（3）；
【解析】
（1）根据函数的最值可得，周期可得，代入最高点的坐标可得，从而可得解析式；
（2）利用正弦函数的递增区间可解得；
（3）利用在内的解就是和，即可得到结果.
【详解】
（1）由函数的图象可得，
又因为函数的周期，所以，
因为函数的图象经过点，即，
所以，即，
所以.
（2）由，
可得，
可得函数的单调递增区间为：，
（3）因为，所以，
又因为可得，
所以或，
解得或，、
因为且，，
所以.
本题考查了由图象求解析式，考查了正弦函数的递增区间，考查了由函数值求角，属于中档题.
21、（1）见解析；（2）见解析；
【解析】
（1）要证BD⊥平面PAC，只需在平面PAC上找到两条直线跟BD垂直即证，显然，从平面中可证，即证.
(2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证平面即可.
【详解】
（1）证明：因为平面,所以；
因为底面是菱形，所以;
因为,平面,
所以平面.
（2）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,
因为,所以；
因为平面，平面,
所以；
因为
所以平面，
平面,所以平面平面.
本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.