2025届江西省新余第四中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025届江西省新余第四中学高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．一支由学生组成的校乐团有男同学48人，女同学36人，若用分层抽样的方法从该乐团的全体同学中抽取21人参加某项活动，则抽取到的男同学人数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
2．化简（ ）
A． B． C． D．
3．正方体中,直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在平行四边形中，为一条对角线，，，则＝（ ）
A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）
5．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
6．某公司的班车在和三个时间点发车.小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．正方体中，异面直线与BC所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机地撒200粒芝麻，大约有80粒落在阴影区域内，则此阴影区域的面积约为（ ）
A． B． C． D．
9．若点共线,则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．的值为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在边长为2的菱形中，，是对角线与的交点，若点是线段上的动点，且点关于点的对称点为，则的最小值为______.
12．三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.

13．圆上的点到直线4x+3y－12=0的距离的最小值是
14．已知的三边分别是，且面积，则角__________.
15．设无穷等比数列的公比为，若，则__________________．
16．已知向量，，且与垂直，则的值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若不等式恒成立，求实数a的取值范围。
18．已知圆,圆与圆关于直线对称.
(1)求圆的方程;
(2)过直线上的点分别作斜率为的两条直线,使得被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等.
(i)求的坐标;
(ⅱ)过任作两条互相垂直的直线分别与两圆相交,判断所得弦长是否恒相等,并说明理由.
19．如图所示，是正三角形，线段和都垂直于平面，设，，且为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的较小二面角的大小
20．如图半圆的直径为4，为直径延长线上一点，且，为半圆周上任一点，以为边作等边（、、按顺时针方向排列）

（1）若等边边长为，，试写出关于的函数关系；
（2）问为多少时，四边形的面积最大？这个最大面积为多少？
21．某企业生产的某种产品，生产总成本（元）与产量（吨）（）函数关系为，且函数是上的连续函数
（1）求的值；
（2）当产量为多少吨时，平均生产成本最低？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
先由男女生总数以及抽取的人数确定抽样比，由男生总人数乘以抽样比即可得出结果.
【详解】
用分层抽样的方法从校乐团中抽取人，所得抽样比为，因此抽取到的男同学人数为人.
故选C
本题主要考查分层抽样，熟记概念即可，属于常考题型.
2、A
【解析】
减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案.
【详解】

故答案选A
本题考查了向量的加减法，属于简单题.
3、C
【解析】
作出相关图形，通过平行将异面直线所成角转化为共面直线所成角.
【详解】
作出相关图形，由于，所以直线与所成角即为直线与所成角，由于为等边三角形，于是所成角余弦值为，故答案选C.

本题主要考查异面直线所成角的余弦值，难度不大.
4、C
【解析】
试题分析：,故选C.
考点：平面向量的线性运算．
5、B
【解析】
三棱锥是正三棱锥，取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为，可求出，然后由可求出半径，进而求出外接球的体积.
【详解】
由题意，易知三棱锥是正三棱锥，

取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心.
因为，所以.
因为，所以.
设三棱锥外接球的半径为，则，解得，故三棱锥外接球的体积是.
故选B.
本题考查了三棱锥的外接球体积的求法，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.
6、A
【解析】
根据题意得小明等车时间不超过分钟的总的时间段，再由比值求得.
【详解】
小明等车时间不超过分钟，则他需在至到，或至到，
共计分钟，所以概率
故选A.
本题考查几何概型，关键找到满足条件的时间段，属于基础题.
7、D
【解析】
利用异面直线与BC所成角的的定义，平移直线，即可得答案．
【详解】
在正方体中，易得．

异面直线与垂直，即所成的角为.
故选：D．
本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题.
8、B
【解析】
依题意得，豆子落在阴影区域内的概率等于阴影部分面积与正方形面积之比，即可求出结果.
【详解】
设阴影区域的面积为，由题意可得，则.
故选：B.
本题考查随机模拟实验，根据几何概型的意义进行模拟实验计算阴影部分面积，关键在于掌握几何概型的计算公式.
9、A
【解析】
通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案.
【详解】
由题意，可知，又，点共线，则，即，所以，故选A.
本题主要考查三点共线的条件，难度较小.
10、B
【解析】
试题分析：由诱导公式得，故选B．
考点：诱导公式．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、-6
【解析】
由题意，然后结合向量共线及数量积运算可得，再将已知条件代入求解即可.
【详解】
解：菱形的对称性知，在线段上，且，
设，
则，
所以
，
又因为，
当时，取得最小值-6.
故答案为：-6.
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量共线及数量积运算，属中档题.
12、
【解析】
如图设设棱长为1，则，因为底面边长和侧棱长都相等，且所以，所以，，，设异面直线的夹角为，所以.
13、
【解析】
计算出圆心到直线的距离，减去半径，求得圆上的点到直线的最小距离.
【详解】
圆的圆心为，半径.圆心到直线的距离为，故最小距离为.
本小题主要考查圆上的点到直线距离最小值的求法，考查点到直线距离公式，属于基础题.
14、
【解析】
试题分析：由，可得，整理得，即，所以.
考点：余弦定理；三角形的面积公式.
15、
【解析】
由可知,算出用表示的极限,再利用性质计算得出即可.
【详解】
显然公比不为1,所以公比为的等比数列求和公式,
且,故.此时当时,求和极限为,所以,故,
所以,故,又,故.
故答案为：.
本题主要考查等比数列求和公式,当时.
16、
【解析】
根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．
【详解】
；
；
．
故答案为．
本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】
恒成立的条件下由于给定了的范围，故可考虑对进行分类，同时利用参变分离法求解的范围.
【详解】
由题意得
(1),时，
恒成立
(2),等价于
又
∴
∴实数a的取值范围是
含有分式的不等式恒成立问题，要注意到分母的正负对于不等号的影响；若是变量的范围给出了，可针对于变量的范围做具体分析，然后去求解参数范围.
18、（1）；（2）（i）,（ii）见解析
【解析】
(1)根据题意，将问题转化为关于直线的对称点即可得到，半径不变，从而得到方程；
(2) (i) 设，由于弦长和距离都相等，故P到两直线的距离也相等，利用点到线距离公式即可得到答案；
(ⅱ)分别讨论斜率不存在和为0三种情况分别计算对应弦长，故可判断.
【详解】
（1）设，因为圆与圆关于直线对称，，
则直线与直线垂直，中点在直线上，得
解得所以圆.
（2）（i）设的方程为，即；
的方程为，即.
因为被圆截得的弦长与被圆截得的弦长相等，且两圆半径相等，
所以到的距离与到的距离相等，即，
所以或.
由题意，到直线的距离，
所以不满足题意，舍去，
故，点坐标为.
（ii）过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
证明如下：
当的斜率等于0时，的斜率不存在，被圆截得的弦长与被圆截得的弦长都等于圆的半径；
当的斜率不存在，的斜率等于0时，与圆不相交，与圆不相交.
当、的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设、的方程分别为，即.
因为到的距离，
到的距离，所以到的距离与到的距离相等.
所以圆与圆的半径相等，所以被圆截得的弦长与被圆截得的弦长恒相等.
综上所述，过点任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
本题主要考查点的对称问题，直线与圆的位置关系，计算量较大，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.
19、（1）见解析（2）
【解析】
（1）取的中点，连接，先证即说明，再由线面平行的判定定理说明平面．
（2）延长交的延长线于，连.说明为所求二面角的平面角．再计算即可．
【详解】
解：（1）如图所示，取的中点，连接.

∵，
∴.
又，
∴.
∴四边形为平行四边形．
故.
∵平面，平面，
∴平面.
（2）延长交的延长线于，连.
由，知，为的中点，
又为的中点，
∴.
又平面，，
∴平面.
∴为所求二面角的平面角．
在等腰直角三角形中，易求.
故所求二面角的大小为.
本题考查线面平行、二面角的平面角，属于中档题．
20、（1）；（2）θ＝时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．
【解析】
（1）根据余弦定理可求得
（2）先表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．
【详解】
（1）由余弦定理得
则
（2）四边形OACB的面积＝△OAB的面积+△ABC的面积
则△ABC的面积
△OAB的面积•OA•OB•sinθ•2•4•sinθ＝4sinθ
四边形OACB的面积4sinθ=
sin（θ﹣）
∴当θ﹣＝，
即θ＝时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．
本题考查利用正余弦定理求解面积最值，其中准确列出面积表达式是关键，考查化简求值能力，是中档题
21、 (1) ； (2) 当产量吨，平均生产成本最低.
【解析】
（1）根据函数连续性的定义，可得在分段处两边的函数值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表达式，结合二次函数和基本不等式，可得平均生产成本的最小值点．
【详解】
（1）设，
由函数是上的连续函数.
即，代入得
（2）设平均生产成本为，
则
当中，，函数连续且在单调递减，单调递增
即当，元
当，，由，当且仅当取等号，即当，元
综上所述，当产量吨，平均生产成本最低.
本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，基本不等式求最值，属于中档题.