2024-2025学年江苏省泰州市兴化一中数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

2024-2025学年江苏省泰州市兴化一中数学高一第二学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若变量满足约束条件则的最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2．若，则（ ）
A． B． C．或 D．
3．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则( )

A． B． C． D．
4．在投资生产产品时，每生产需要资金200万，需场地，可获得300万；投资生产产品时，每生产需要资金300万，需场地，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地，则投资这两种产品，最大可获利( )
A．1350万 B．1475万 C．1800万 D．2100万
5．如图是一圆锥的三视图，正视图和侧视图都是顶角为120°的等腰三角形，若过该圆锥顶点S的截面三角形面积的最大值为2，则该圆锥的侧面积为

A． B． C． D．4
6．下列四组中的函数，表示同一个函数的是（ ）
A．， B．,
C．， D．，
7．在中，，则这个三角形的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
8．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．设a＞0，b＞0，若是和的等比中项，则的最小值为（　 ）
A．6 B． C．8 D．9
10．已知数列的前4项依次为，1，，，则该数列的一个通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在锐角中，角、、所对的边为、、，若的面积为，且，，则的弧度为__________．
12．函数的最小正周期为________．
13．在中，角的对边分别为，若，则角________.
14．如图，两个正方形，边长为2，.将绕旋转一周，则在旋转过程中，与平面的距离最大值为______.

15．在中，角所对的边分别为，下列命题正确的是_____________．
①总存在某个内角，使得；
②存在某钝角，有；
③若，则的最小角小于．
16．函数的最小正周期为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，的对边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）若的面积为，，求的值．
18．已知 是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，求 ；
（2）若与共线，求的值.
19．已知向量, 的夹角为, 且, .
(1) 求 ；
(2) 求 .
20．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且垂直于轴，连结并延长交椭圆于另一点，设.

（1）若点的坐标为，求椭圆的方程及的值；
（2）若，求椭圆的离心率的取值范围.
21．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.
【详解】

作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影部分）变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最小，代值计算可得取最大值
故选B.
【点晴】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
2、D
【解析】
利用诱导公式变形，再化弦为切求解．
【详解】
由诱导公式化简得，
又，所以原式.
故选D
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，也考查了化弦为切的思想，属于基础题．
3、C
【解析】
根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出
【详解】
由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有
，所以，所以
，选C.
本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题．
4、B
【解析】
设生产产品x百吨，生产产品百吨，利润为百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数与直线截距的关系，进而求出最优解．
【详解】
设生产产品百吨，生产产品百吨，利润为百万元
则约束条件为：，作出不等式组所表示的平面区域：

目标函数为.
由解得.
使目标函数为化为
要使得最大，即需要直线在轴的截距最大即可.
由图可知当直线过点时截距最大.
此时
应作生产产品3.25百吨，生产产品2.5百吨的组合投资，可使获利最大．
故选：B．
在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．属于中档题.
5、B
【解析】
过该圆锥顶点S的截面三角形面积最大是直角三角形，根据面积为2求出圆锥的母线长，再根据正视图求圆锥底面圆的半径，最后根据扇形面积公式求圆锥的侧面积.
【详解】
过该圆锥顶点S的截面三角形面积最直角三角形，
设圆锥的母线长和底面圆的半径分别为，
则，即，
又，
所以圆锥的侧面积；
故选B.
本题考查三视图及圆锥有关计算，此题主要难点在于判断何时截面三角形面积最大，要结合三角形的面积公式，当，即截面是等腰直角三角时面积最大.
6、A
【解析】
分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
【详解】
．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所以，
表示同一个函数．
．的定义域为，，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，
所以，不能表示同一个函数．
．的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，所以，
不能表示同一个函数．
．的定义域为，的定义域，两个函数的定义域不相同，对应法则相
同，所以，不能表示同一个函数．
故选．
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据主要是判断两个函数的定义域和对
应法则是否相同即可．
7、B
【解析】
解：

8、C
【解析】
试题分析：若，那么，A错；，B错；是单调递减函数当时，所以，C.正确；是减函数，所以，故选C.
考点：不等式
9、D
【解析】
试题分析： 由题意a＞0，b＞0，且是和的等比中项，即，则，当且仅当时，即时取等号．
考点：重要不等式，等比中项
10、A
【解析】
根据各选择项求出数列的首项，第二项，用排除法确定．
【详解】
可用排除法，由数列项的正负可排除B,D，再看项的绝对值，在C中不合题意，排除C，只有A.可选．
故选：A.
本题考查数列的通项公式，已知数列的前几项，选择一个通项公式，比较方便，可以利用通项公式求出数列的前几项，把不合的排除即得．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
利用三角形的面积公式求出的值，结合角为锐角，可得出角的弧度数.
【详解】
由三角形的面积公式可知，的面积为，
得，为锐角，因此，的弧度数为，故答案为.
本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
12、.
【解析】
根据正切型函数的周期公式可计算出函数的最小正周期.
【详解】
由正切型函数的周期公式得，
因此，函数的最小正周期为，故答案为.
本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于正切型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
13、
【解析】
根据得，利用余弦定理即可得解.
【详解】
由题：，，，
由余弦定理可得：，
.
故答案为：
此题考查根据余弦定理求解三角形的内角，关键在于熟练掌握余弦定理公式，准确计算求解.
14、
【解析】
绕旋转一周得到的几何体是圆锥，点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像，根据图像判断出圆的下顶点距离平面的距离最大，解三角形求得这个距离的最大值.
【详解】
绕旋转一周得到的几何体是圆锥，故点的轨迹是圆.过作平面平面，交平面于.的轨迹在平面内.画出图像如下图所示，根据图像作法可知，当位于圆心的正下方点位置时，到平面 的距离最大.在平面内，过作，交于.在中，,.所以①.其中，，所以①可化为.
故答案为：

本小题主要考查旋转体的概念，考查空间点到面的距离的最大值的求法，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.
15、①③
【解析】
①中，根据直角三角形、锐角三角形和钝角三角形分类讨论，得出必要一个角在内，即可判定；②中，利用两角和的正切公式，化简得到，根据钝角三角形，即可判定；③中，利用向量的运算，得到，由于不共线，得到，再由余弦定理，即可判定．
【详解】
由题意，对于①中，在中，当，则，
若为直角三角形，则必有一个角在内；若为锐角三角形，则必有一个内角小于等于；若为钝角三角形，也必有一个角小于内，所以总存在某个内角，使得，所以是正确的；
对于②中，在中，由，
可得，
由为钝角三角形，所以，所以，所以不正确；
对于③中，若，即,
即，由于不共线，所以，
即，由余弦定理可得，所以最小角小于，
所以是正确的．
综上可得，命题正确的是①③．
故答案为：①③．
本题以真假命题为载体，考查了正弦、余弦定理的应用，以及向量的运算及应用，其中解答中熟练应用解三角形的知识和向量的运算进行化简是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
16、
【解析】
先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期公式可得函数的最小正周期.
【详解】
解：由题意可得：，
可得函数的最小正周期为：，
故答案为：.
本题主要考查二倍角的化简求值和三角函数周期性的求法，属于基础知识的考查.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（1）根据二倍角和诱导公式可得的值；（2）根据面积公式求，然后利用余弦定理求，最后根据正弦定理求的值.
【详解】
（1）,
，
所以原式整理为,
解得：（舍）或
,
;
（2），
解得，
根据余弦定理,
,
，
代入解得：,
.
本题考查了根据正余弦定理解三角形，属于简单题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）根据向量的坐标的运算法则和向量垂直的条件，以及模的定义即可求出．
（2）根据向量共线的条件即可求出．
【详解】
（1）因为

（2）由已知：

本题考查了向量的坐标运算以及向量的垂直和平行的坐标表示，属于基础题．
19、（1）1；（2）
【解析】
（1）利用向量数量积的定义求解；
（2）先求模长的平方，再进行开方可得.
【详解】
（1）•=||||cos60°=2×1×=1；
（2）|+|2=（+）2
=+2•+
=4+2×1+1
=7.
所以|+|=.
本题主要考查平面向量数量积的定义及向量模长的求解，一般地，求解向量模长时，先把模长平方，化为数量积运算进行求解.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）把的坐标代入方程得到，结合解出后可得标准方程.求出直线的方程，联立椭圆方程和直线方程后可求的坐标，故可得的值.
（2）因，故可用表示的坐标，利用它在椭圆上可得与的关系，化简后可得与离心率的关系，由的范围可得的范围.
【详解】
（1）因为垂直于轴，且点的坐标为，
所以，，
解得，，所以椭圆的方程为.
所以，直线的方程为，
将代入椭圆的方程，解得，
所以.
（2）因为轴，不妨设在轴上方，，.设，因为在椭圆上，所以，解得，即.
（方法一）因为，由得，，，解得，，所以.
因为点在椭圆上，所以，即，所以，从而.
因为，所以.
解得，
所以椭圆的离心率的取值范围.
求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 圆锥曲线中的离心率的计算或范围问题，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系或不等式关系，其中不等式关系的构建需要利用题设中的范围、坐标的范围、几何量的范围或点的位置等．
21、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.
试题解析：（1）由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，
得2cos2A＋3cos A－2＝0，
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．
因为0<A<π，所以A＝.
（2）由S＝bcsin A＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝.
从而由正弦定理得sin B sin C＝sin A×sin A＝sin2A＝×＝.
考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.
【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.