2025届兰州第一中学高一数学第二学期期末调研模拟试题含解析.doc

2025届兰州第一中学高一数学第二学期期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填（ ）

A． B． C． D．
2．对于复数，定义映射.若复数在映射作用下对应复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
3．若直线：与直线：平行 ，则的值为（ ）
A．1 B．1或2 C．-2 D．1或-2
4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
5．在中，，是的内心，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c依次成等差数列，，，依次成等比数列，则的形状为（　　）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．直角边不相等的直角三角形
8．设函数，其中为已知实常数，，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，则对任意实数恒成立；
B．若，则函数为奇函数；
C．若，则函数为偶函数；
D．当时，若，则 （）．
9．圆与圆的位置关系为( )
A．相交 B．相离 C．相切 D．内含
10．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为、、人，该校为了了解本校学生视力情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．如图是一个三角形数表，记，，…，分别表示第行从左向右数的第1个数，第2个数，…，第个数，则当，时，______.

12．从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中，任取两张，这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为________．
13．如图，在边长为的菱形中，，为中点，则______.

14．已知等差数列中，，，则该等差数列的公差的值是______.
15．长时间的低头,对人的身体如颈椎、眼睛等会造成定的损害，为了了解某群体中“低头族”的比例，现从该群体包含老、中、青三个年龄段的人中采用分层抽样的方法抽取人进行调查，已知这人里老、中、青三个年龄段的分配比例如图所示，则这个群体里青年人人数为_____

16．已知，均为锐角，，，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间的最大值和最小值.
18．已知关于的一元二次函数，从集合中随机取一个数作为此函数的二次项系数，从集合中随机取一个数作为此函数的一次项系数.
（1）若，，求函数有零点的概率；
（2）若，求函数在区间上是增函数的概率.
19．某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：
第一种，每天支付元，没有奖金；
第二种，每天的底薪元，另有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的薪酬中奖金比前一天的奖金多元；
第三种，每天无底薪，只有奖金.第一天奖金元，以后每天支付的奖金是前一天的奖金的倍.
（1）工作天，记三种付费方式薪酬总金额依次为、、，写出、、关于的表达式；
（2）该学生在暑假期间共工作天，他会选择哪种付酬方式？
20．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于，设，的面积为．
（1）求的解析式及定义域；
（2）求的最大值．
21．已知数列的前n项和为（），且满足，（）．
（1）求证是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
根据程序框图的结构及输出结果,逆向推断即可得判断框中的内容.
【详解】
由程序框图可知,,则

所以此时输出的值,因而时退出循环.因而判断框的内容为
故选:A
本题考查了根据程序框图的输出值,确定判断框的内容,属于基础题.
2、A
【解析】
，对应点，在第四象限.
3、A
【解析】
试题分析：因为直线：与直线：平行 ，所以或-2，又时两直线重合，所以．
考点：两条直线平行的条件．
点评：此题是易错题，容易选C，其原因是忽略了两条直线重合的验证．
4、B
【解析】
试题分析：记函数，则函数∵函数f（x）图象向右平移单位，可得函数的图象∴把函数的图象右平移单位，得到函数的图象,故选B.
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
5、A
【解析】
由且，易知动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），在中，由，利用余弦定理求得边，再由和，求得内切圆的半径，从而得到，再由动点的轨迹所覆盖的面积得解.
【详解】
因为且，
根据向量加法的平行四边形运算法则，
所以动点的轨迹为以为邻边的平行四边形的内部（含边界），
因为在中，，
所以由余弦定理得： ，
所以，
即，
解得：，
，
所以 .
设的内切圆的半径为 ，
所以
所以.
所以.
所以动点的轨迹所覆盖的面积为：.
故选：A
本题主要考查了动点轨迹所覆盖的面积的求及正弦定理，余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
6、C
【解析】
由题意得出关于的不等式的解集为，由此得出或，在成立时求出实数的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数的取值范围.
【详解】
由题意知，关于的不等式的解集为.
（1）当，即．
当时，不等式化为，合乎题意；
当时，不等式化为，即，其解集不为，不合乎题意；
（2）当，即时．
关于的不等式的解集为.
，解得．
综上可得，实数的取值范围是．故选：C．
本题考查二次不等式在上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
7、A
【解析】
根据a，b，c依次成等差数列，，，依次成等比数列，利用等差、等比中项的性质可知，根据基本不等式求得a=c，判断出a=b=c，推出结果．
【详解】
由a，b，c依次成等差数列，有2b=a+c(1)
由，，成等比数列,有(2)，
由(1) (2)得，
又根据，当a=c时等号成立，
∴可得a=c，
∴，
综上可得a=b=c，
所以△ABC为等边三角形.
故选：A.
本题考查三角形的形状判断，结合等差、等比数列性质及基本不等式关系可得三边关系，从而求解，考查综合分析能力，属于中等题.
8、D
【解析】
利用两角和的余弦公式化简表达式.
对于A选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出A选项为真命题.
对于B选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为奇函数，由此判断出B选项为真命题.
对于C选项，将化简得到的表达式代入上述表达式，可判断出为偶函数，由此判断出C选项为真命题.
对于D选项，根据、，求得的零点的表达式，由此求得 （），进而判断出D选项为假命题.
【详解】
.
不妨设 ．为已知实常数.
若，则得 ；若，则得．
于是当时，对任意实数恒成立，即命题A是真命题；
当时，，它为奇函数，即命题B是真命题；
当时，，它为偶函数，即命题C是真命题；
当时，令，则
，
上述方程中，若，则，这与矛盾，所以．
将该方程的两边同除以得
，令 （），
则 ，解得 （）．
不妨取 ， （且），
则，即 （），所以命题D是假命题．
故选：D
本小题主要考查两角和的余弦公式，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数零点有关问题的求解，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.
9、B
【解析】
首先把两个圆的一般方程转化为标准方程，求出其圆心坐标和半径，再比较圆心距与半径的关系即可.
【详解】
有题知：圆，
即：，圆心，半径.
圆，
即：，圆心，半径.

所以两个圆的位置关系是相离.
故选：B
本题主要考查圆与圆的位置关系，比较圆心距和半径的关系是解决本题的关键，属于简单题.
10、C
【解析】
设从高三年级抽取的学生人数为，根据总体中和样本中高三年级所占的比例相等列等式求出的值.
【详解】
设从高三年级抽取的学生人数为，由题意可得，解得，
因此，应从高三年级抽取的学生人数为，故选：C.
本题考查分层抽样中的相关计算，解题时要利用总体中每层的抽样比例相等或者总体或样本中每层的所占的比相等来列等式求解，考查运算求解能力，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由图表，利用归纳法，得出，再利用叠加法，即可求解数列的通项公式.
【详解】
由图表，可得，，，，，
可归纳为，
利用叠加法可得：
，
故答案为.
本题主要考查了归纳推理的应用，以及数列的叠加法的应用，其中解答中根据图表，利用归纳法，求得数列的递推关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
12、
【解析】
基本事件总数n，利用列举法求出这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的基本事件有4种情况，由此能求出这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率．
【详解】
从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中，任取两张，
基本事件总数n，
这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1包含的基本事件有：
（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4种情况，
∴这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为p．
故答案为．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13、
【解析】
选取为基底，根据向量的加法减法运算，利用数量积公式计算即可.
【详解】
因为,
,
，
又，
.
本题主要考查了向量的加法减法运算，向量的数量积，属于中档题.
14、
【解析】
根据等差数列的通项公式即可求解
【详解】

故答案为：
本题考查等差通项基本量的求解，属于基础题
15、
【解析】
根据饼状图得到青年人的分配比例；利用总数乘以比例即可得到青年人的人数.
【详解】
由饼状图可知青年人的分配比例为：
这个群体里青年人的人数为：人
本题正确结果：
本题考查分层抽样知识的应用，属于基础题.
16、
【解析】
先求出，，再由，并结合两角和与差的正弦公式求解即可.
【详解】
由题意，可知，则，
又，则，或者，
因为为锐角，所以不成立，即成立，所以.
故.
故答案为：.
本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2），
【解析】
（1）直接利用三角函数的恒等变换，把三角函数变形成正弦型函数．进一步求出函数的单调区间．
（2）直接利用三角函数的定义域求出函数的最值．
【详解】
解：（1）

令，
解得，
即函数的单调递增区间为，
（2）由（1）知

所以当，即时，
当，即时，
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，利用函数的定义域求三角函数的值域．属于基础型．
18、（1）；（2）
【解析】
（1）依次列出所有可能的情况，求出满足的情况总数，即可得到概率；
（2）列出不等关系，表示出平面区域，求出满足表示的区域的面积，即可得到概率.
【详解】
（1）由题可得，
，
从集合中随机取一个数作为此函数的二次项系数，从集合中随机取一个数作为此函数的一次项系数，记为，
这样的有序数对共有，9种情况；
函数有零点，即满足，满足条件的有：
，6种情况，
所以其概率为；
（2），满足条件的有序数对，
，即平面直角坐标系内区域：矩形及内部区域，面积为4，
函数在区间上是增函数，即满足，，，
即，平面直角坐标系内区域：直角梯形及内部区域，面积为3，

所以其概率为.
此题考查古典概型与几何概型，关键在于准确得出二次函数有零点和在区间上是增函数，分别所对应的基本事件个数以及对应区域的面积.
19、（1），，；（2）第三种，理由见解析.
【解析】
（1）三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，可知数列为常数数列，数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以为首项，以为公比的等比数列，利用等差数列和等比数列求和公式可计算出、、关于的表达式；
（2）利用（1）中的结论，计算出、、的值，比较大小后可得出结论.
【详解】
（1）设三种支付方式每天支付的金额依次为数列、、，
它们的前项和分别为、、，
第一种付酬方式每天所付金额组成数列为常数列，且，所以；
第二种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以；
第三种付酬方式每天所付金额组成数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，当时，，，
，则.
因此，该学生在暑假期间共工作天，选第三种付酬方式较好.
本题考查等差数列和等比数列的应用，涉及等差数列和等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
20、（1）（2）的最大值为.
【解析】
（1）利用周长，可以求出的长，利用平面几何的知识可得，再利用勾股定理，可以求出的值，由矩形的周长为，可求出的取值范围，最后利用三角形面积公式求出的解析式；
（2）化简（1）的解析式，利用基本不等式，可以求出的最大值．
【详解】
（1）如下图所示：

∵设，则，
又，
即，
∴，得
，
∵，
∴，
∴的面积．
（2）由（1）可得，

，
当且仅当，即时取等号，
∴的最大值为，此时．
本题考查了求函数解析式，考查了基本不等式，考查了数学运算能力.
21、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）当时，由代入，化简得出，由此可证明出数列是等差数列；
（2）求出数列的通项公式，可得出，由可得出在时的表达式，再对是否满足进行检验，可得出数列的通项公式.
【详解】
（1）当时，，，即，
，等式两边同时除以得，即，
因此，数列是等差数列；
（2）由（1）知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，则.
，得.
不适合.
综上所述，.
本题考查等差数列的证明，同时也考查了数列通项公式的求解，解题的关键就是利用关系式进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.