2025年福建省三明一中数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025年福建省三明一中数学高一第二学期期末统考模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在中，，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．甲：（是常数）
乙：
丙：（、是常数）
丁：（、是常数），
以上能成为数列是等差数列的充要条件的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知向量，向量，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，三个顶点分别为A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC的内部及其边界上运动，则y﹣x的最小值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6．某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ( )
A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-3
7．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知角的终边经过点（3，-4），则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．等差数列的公差，且，则数列的前项和取得最大值时的项数是（ ）
A．9 B．10 C．10和11 D．11和12
10．过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
12．已知函数y=sin（x+）（>0, -<）的图象如图所示，则=________________ .
13．已知等差数列满足，则__________．
14．数列满足，（且），则数列的通项公式为________.
15．已知数列的通项公式是，若将数列中的项从小到大按如下方式分组：第一组：，第二组：，第三组：，…，则2018位于第________组.
16．已知数列的通项公式，，前项和达到最大值时，的值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前项和，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18．已知数列中，， ，数列满足。
（1）求证：数列为等差数列。
（2）求数列的通项公式。
19．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：
，．
其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．
若对于任意的，总有，则称集合具有性质．
（Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．
（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明．
（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．
20．已知中，角的对边分别为.已知，.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)设点满足，求线段长度的取值范围.
21．函数.
（1）求函数的周期和递增区间；
（2）若，求函数的值域.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
本题首先可根据计算出的值，然后根据正弦定理以及即可计算出的值，最后得出结果。
【详解】
因为，所以.
由正弦定理可知，即，
解得，故选A。
本题考查根据解三角形的相关公式计算的值，考查同角三角函数的相关公式，考查正弦定理的使用，是简单题。
2、D
【解析】
由等差数列的定义和求和公式、通项公式的关系，以及性质，即可得到结论.
【详解】
数列是等差数列，设公差为，
由定义可得（是常数），
且（是常数），
，
令，即（、是常数），
等差数列通项，
令，即（、是常数），
综上可得甲乙丙丁都对.
故选：D.
本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的关系，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题.
3、C
【解析】
设，根据系数对应关系即可求解
【详解】
设，即，
故选：C
本题考查向量共线的基本运算，属于基础题
4、B
【解析】
由题意和余弦定理可得，再由余弦定理可得，可得角的值．
【详解】
在中，，
由余弦定理可得，
，
，
又，
．
故选：．
本题考查利用余弦定理解三角形，考查了转化思想，属基础题．
5、B
【解析】
根据线性规划的知识求解．
【详解】
根据线性规划知识，的最小值一定在的三顶点中的某一个处取得，分别代入的坐标可得的最小值是．
故选B．
本题考查简单的线性规划问题，属于基础题．
6、D
【解析】
因为错将其中一个数据105输入为15,所以此时求出的数比实际的数差是,因此平均数之间的差是.
故答案为D
7、A
【解析】
∵
∴−=3(−)；
∴=−.
故选A.
8、A
【解析】
先求出的值，即得解.
【详解】
由题得，
，
所以.
故选A
本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
9、C
【解析】
利用等差数列性质得到，再判断或是最大值.
【详解】
等差数列的公差，且，
根据正负关系：或是最大值
故答案选C
本题考查了等差数列的性质，的最大值，将的最大值转化为中项的正负是解题的关键.
10、D
【解析】
先由题意得到圆的圆心坐标，与半径，设所求直线方程为，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式，即可求出结果.
【详解】
因为圆的圆心为，半径为1，
由题意，易知所求切线斜率存在，
设过点与圆相切的直线方程为，
即，
所以有，整理得，解得，或；
因此，所求直线方程分别为：或，
整理得或.
故选D
本题主要考查求过圆外一点的切线方程，根据直线与圆相切，结合点到直线距离公式即可求解，属于常考题型.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、9
【解析】
分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
12、
【解析】
由图可知，

13、
【解析】
由等差数列的性质计算．
【详解】
∵是等差数列，∴，
∴．
故答案为：1．
本题考查等差数列的性质，属于基础题．等差数列的性质如下：在等差数列中，，则．
14、
【解析】
利用累加法和裂项求和得到答案.
【详解】

当时满足
故答案为
本题考查了数列的累加法，裂项求和法，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.
15、1
【解析】
根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决．
【详解】
根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4；
第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）；
第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）；
…
∴第n组有2n个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．
∴当n＝31时，第31组的最后一个数为2×31×1＝1984，
∴当n＝1时，第1组的最后一个数为2×1×33＝2112，∴2018位于第1组．
故答案为1．
本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．
16、或
【解析】
令，求出的取值范围，即可得出达到最大值时对应的值.
【详解】
令，解得，因此，当或时，前项和达到最大值.
故答案为：或.
本题考查等差数列前项和最值的求解，可以利用关于的二次函数，由二次函数的基本性质求得，也可以利用等差数列所有非正项或非负项相加即得，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）当时，可求出，当时，利用可求出是以2为首项，2为公比的等比数列，故而可求出其通项公式；（2）由裂项相消可求出其前项和.
试题解析：（1）依题意：当时，有：，又，故，由①
当时，有②，①－②得：化简得：，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴.
（2）由（1）得：，∴
∴
18、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）将题目过给已知代入进行化简，结合的表达式，可证得为等差数列；（2）利用（1）的结论求得的通项公式，代入求得的通项公式.
【详解】
（1）证明：由题意知，，又，故，又易知，故数列是首项为，公差为1的等差数列。
（2）由（1）知，所以由，可得，故数列的通项公式为。
本小题第一问考查利用数列的递推公式证明数列为等差数列，然后利用这个等差数列来求另一个等差数列的通项公式.在解题过程中，只需要牢牢把握住等差数列的定义，利用等差数列的定义来证明.
19、（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【解析】
解：集合不具有性质．
集合具有性质，其相应的集合和是，
．
（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．
因为，所以；
又因为当时，时，，所以当时，．
从而，集合中元素的个数最多为，
即．
（III）解：，证明如下：
（1）对于，根据定义，，，且，从而．
如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
由（1）（2）可知，．
20、 (Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
（I）利用数量积的定义和三角形面积公式可求得，从而得角；
（II）由得，平方后可求得，即中线长，结合可得最小值，从而得取值范围．
【详解】
(Ⅰ)因为，所以
因为，所以得以
两式相除得
所以
(Ⅱ)因为，所以
因为，
所以
所以
所以．
当且仅当时取得等号
所以线段长度的取值范围时.
本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的线性运算、三角形面积公式，解题关键是把中线向量表示为，这样把线段长度（向量模）转化为向量的数量积．
21、（1）周期为，单调递增区间为；（2）.
【解析】
（1）利用二倍角降幂公式、两角差的正弦公式将函数的解析式化简为，然后利用周期公式可计算出函数的周期，解不等式即可得出函数的单调递增区间；
（2）由计算出的取值范围，可得出的范围，进而可得出函数的值域.
【详解】
（1），
所以，函数的周期为，
由，解得，
因此，函数的单调递增区间为；
（2）当时，，则，，
因此，函数在区间上的值域为.
本题考查正弦型三角函数周期、单调区间以及值域的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将解析式进行化简，考查运算求解能力，属于中等题.