2024-2025学年重庆市江津区高一数学第二学期期末联考试题含解析.doc

2024-2025学年重庆市江津区高一数学第二学期期末联考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ）
人
数据
甲
乙
丙
丁
平均数
8.6
8.9
8.9
8.2
方差
3.5
3.5
2.1
5.6
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．已知两点,,若直线与线段相交,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
5．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
6．已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（ ）
A．2 B．1 C．－2 D．－1
7．已知，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．不等式的解集为
A． B． C． D．
9．函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
10．直线与、为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．计算：______.
12．若，则______.
13．已知向量、满足，，且，则与的夹角为________.
14．若，点的坐标为，则点的坐标为.
15．在中，.以为圆心，2为半径作圆，线段为该圆的一条直径，则的最小值为_________.
16．________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的最小正周期为.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）求的单调递增区间及对称中心
18．在△中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，，为的中点，求线段的长度.
19．已知函数（）．
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．
20．已知，，其中，，且函数在处取得最大值.
（1）求的最小值，并求出此时函数的解析式和最小正周期；
（2）在(1)的条件下，先将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数的图像.若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（3）在(1)的条件下，已知点P是函数图像上的任意一点，点Q为函数图像上的一点，点，且满足，求的解集.
21．求下列方程和不等式的解集
（1）
（2）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
先利用韦达定理得到关于a,b的方程组，解方程组即得a,b的值，即得解.
【详解】
由题得，
所以a+b=7.
故选：A
本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2、C
【解析】
甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选．
【详解】
甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，
甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，
说明丙的成绩最稳定，
综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定，
丙是最佳人选，
故选：C．
本题考查平均数和方差的实际应用，考查数据处理能力，求解时注意方差越小数据越稳定.
3、C
【解析】
对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．
4、D
【解析】
找出直线与PQ相交的两种临界情况，求斜率即可.
【详解】
因为直线恒过定点，根据题意，作图如下：

直线与线段PQ相交的临界情况分别为直线MP和直线MQ，
已知，，由图可知：
当直线绕着点M向轴旋转时，其斜率范围为：；
当直线与轴重合时，没有斜率；
当直线绕着点M从轴至MP旋转时，其斜率范围为：
综上所述：，
故选：D.
本题考查直线斜率的计算，直线斜率与倾斜角的关系，属基础题.
5、D
【解析】
，当且仅当与异号时等号成立．
∵关于的不等式的解集为空集，
∴，即，
解得.
∴实数的取值范围为．选D．
6、D
【解析】
试题分析：，由与垂直可知

考点：向量垂直与坐标运算
7、B
【解析】
分析：由左加右减，得出解析式，因为解析式为正弦函数，
所以令，解出，对k进行赋值，得出对称轴.
详解：由左加右减可得，
解析式为正弦函数，则令，
解得：，令，则 ，故选B.
点睛：三角函数图像左右平移时，需注意要把x放到括号内加减，求三角函数的对称轴，则令等于正弦或余弦函数的对称轴公式，求出x解析式，即为对称轴方程.
8、D
【解析】
把不等式化为，即可求解不等式的解集，得到答案．
【详解】
由题意，不等式可化为，解得或，
即不等式的解集为，故选D．
本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9、A
【解析】
函数过 代入解得，再通过平移得到的图像.
【详解】
，函数过

向右平移个单位得到的图象
故答案选A
本题考查了三角函数图形，求函数表达式，函数平移，意在考查学生对于三角函数图形的理解.
10、D
【解析】
由直线方程可得直线恒过点，利用两点连线斜率公式可求得临界值和，从而求得结果.
【详解】
直线恒过点
则，
本题正确选项：
本题考查利用直线与线段有交点确定直线斜率取值范围的问题，关键是能够确定直线恒过的定点，从而找到直线与线段有交点的临界状态.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
直接利用反三角函数运算法则写出结果即可．
【详解】
解：．
故答案为：．
本题考查反三角函数的运算法则的应用，属于基础题．
12、
【解析】
由诱导公式求解即可.
【详解】
因为
所以
故答案为：
本题主要考查了利用诱导公式化简求值，属于基础题.
13、
【解析】
直接应用数量积的运算，求出与的夹角．
【详解】
设向量、的夹角为；
∵，∴，
∵，∴.
故答案为：．
本题考查向量的夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
14、
【解析】
试题分析：设，则有，所以，解得，所以.
考点：平面向量的坐标运算.
15、-10
【解析】
向量变形为，化简得，转化为讨论夹角问题求解.
【详解】

由题线段为该圆的一条直径，设夹角为，
可得：

，
当夹角为时取得最小值-10.
故答案为：-10
此题考查求平面向量数量积的最小值，关键在于根据平面向量的运算法则进行变形，结合线性运算化简求得，此题也可建立直角坐标系，三角换元设坐标利用函数关系求最值.
16、
【解析】
直接利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可得到结果．
【详解】
．
故答案为：.
本题考查两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）单调递增区间为，，对称中心为.
【解析】
（1）整理可得：，利用其最小正周期为即可求得：，即可求得：，再利用函数图象平移规律可得：，问题得解.
（2）令，，解不等式即可求得的单调递增区间；令，，解方程即可求得的对称中心的横坐标，问题得解.
【详解】
解：（1），
由,得.
所以.
于是图象对应的解析式为.
（2）由,得
，
所以函数的单调递增区间为，.
由，解得.
所以的对称中心为.
本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题。
18、（1）； （2）； （3）.
【解析】
（1）由三角恒等变换的公式，化简，代入即可求解.
（2）在中，由余弦定理，结合基本不等式，求得，即可得到答案.
（3）设，在中，由余弦定理，求得，分别在和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意，在中，，则
又由
.
（2）在中，由余弦定理可得，
即，可得，当且仅当等号成立，
所以的最大值为.
（3）设，如图所示，
在中，由余弦定理可得，
即，即，解得，
在中，由余弦定理,可得，……①
在中，由余弦定理,可得，……②
因为，所以，
由①+②，可得，即，
解得，即.

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．
19、（1）；（2）.；（3）.
【解析】
试题分析：（1）对二项式系数进行讨论，可得求出解集即可；（2）分为，，分别解出3种情形对应的不等式即可；（3）将问题转化为对任意的，不等式恒成立，利用分离参数的思想得恒成立，求出其最大值即可.
试题解析：（1）①当即时，，不合题意；
②当即时，
，即，
∴，∴
（2）即
即
①当即时，解集为
②当即时，
∵，∴解集为
③当即时，
∵，所以，所以
∴解集为
（3）不等式的解集为，，
即对任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
因为恒成立，所以恒成立，
设则，，
所以，
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以当时，，
所以
点睛：本题主要考查了含有参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想以及转化与化归的能力，难度一般；对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
20、（1）的最小值为1，，，（2）（3）原不等式的解集为
【解析】
（1）先将化成正弦型，然后利用在处取得最大值求出，然后即可得到的解析式和周期
（2）先根据图象的变换得到，然后画出在区间上的图象，条件转化为的图象与直线有两个交点即可
（3）利用坐标的对应关系式，求出的函数的关系式，进一步利用三角不等式的应用求出结果．
【详解】
（1）因为，
所以

因为在处取得最大值.
所以，即
当时的最小值为1
此时，
（2）将的图像上的所有的点向右平移个单位得到的函数为，再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的函数为，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数
在区间上的图象为：

方程有两个不相等的实数根等价于的图象
与直线有两个交点
所以，解得
（3）设，
因为点，且满足
所以，所以
因为点为函数图像上的一点
所以
即
因为，所以
所以
所以
所以原不等式的解集为
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，平面向量的数量积的应用，三角不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．
21、（1）或；（2）.
【解析】
（1）先将方程变形得到，根据，得到，进而可求出结果；
（2）由题意得到，求解即可得出结果.
【详解】
（1）由得，
因为，所以，因此或；
即原方程的解集为：或；
（2）由得，
即，解得：.
故，原不等式的解集为：.
本题主要考查解含三角函数的方程，以及反三角函数不等式，熟记三角函数性质，根据函数单调性即可求解，属于常考题型.