2025届河北容城博奥学校数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025届河北容城博奥学校数学高一第二学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若tan（）＝2，则sin2α＝（　 　）
A． B． C． D．
2．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知满足，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
4．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．，2 B．，2 C．，4 D．，4
5．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．1 B．4
C．2 D．
7．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
8．《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝石和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的分别为（ ）

A．90，86 B．98，78 C．94，82 D．102，74
9．已知是两条不重合的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，是异面直线，那么与相交
B．若//,，则
C．若，则//
D．若//，则
10．已知点，和向量，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知cosθ，θ∈（π，2π），则sinθ＝_____，tan_____.
12．已知实数满足条件，则的最大值是________.
13．如果，，则的值为________（用分数形式表示）
14．已知函数的部分图象如图所示，则的值为_________.

15．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列四个命题正确的是________．
①若l⊥β，则α⊥β；②若α⊥β，则l⊥m；③若l∥β，则α∥β；④若α∥β，则l∥m.
16．数列满足：，，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，四棱锥中，底面,分别为的中点,.

(1)证明:平面平面
(2)求三棱锥的体积.
18．已知等比数列的公比，前项和为，且满足.，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若，的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围.
19．已知函数.
（1）当时，，求的值；
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值.
20．已知公差不为0的等差数列的前项和为， ，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
21．某校从高一（1）班和（2）班的某次数学考试的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示（试卷满分为100分）。
（1）班

（2）班

7
6
8

8
6
7
2
3
5
2
8
5
9

2
9
3

（1）试计算这12份成绩的中位数；
（2）用各班的样本方差比较两个班的数学学习水平，哪个班更稳定一些？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由两角差的正切得tan，化sin2α为tan的齐次式求解
【详解】
tan（）＝2，则
则sin2α＝
故选：B
本题考查两角差的正切公式，考查二倍角公式及齐次式求值，意在考查公式的灵活运用，是基础题
2、C
【解析】
由题意得圆心为，半径为．
圆心到直线的距离为，
由直线与圆有公共点可得
，即，解得．
∴实数a取值范围是．
选C．
3、B
【解析】
已知两个边和一个角，由余弦定理，可得。
【详解】
由题得，，，代入，化简得，解得（舍）或.
故选：B
本题考查用余弦定理求三角形的边，是基础题。
4、B
【解析】
试题分析：，所以圆心坐标和半径分别为（2,0）和2，选B.
考点：圆标准方程
5、D
【解析】
首先根据，求得，结合角的范围，利用平方关系，求得，利用题的条件，求得，之后将角进行配凑，使得，利用正弦的和角公式求得结果.
【详解】
因为，所以，
因为，所以.
因为，，所以，
所以 ，
故选D.
该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.
6、C
【解析】
试题分析：由题意得，根据等比数列的性质可知，又因为
，故选C．
考点：等比数列的性质．
7、D
【解析】
A项，可能相交或异面,当时，存在，，故A项错误；
B项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故B项错误；
C项，可能相交或垂直,当 时，存在，，故C项错误；
D项，垂直于同一平面的两条直线相互平行，故D项正确,故选D.
本题主要考查的是对线，面关系的理解以及对空间的想象能力.
考点：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.
8、B
【解析】
（1）；
（2）；
（3）；
（4），输出分别为98，78。
故选B。
9、D
【解析】
采用逐一验证法，结合线面以及线线之间的位置关系，可得结果.
【详解】
若，是异面直线,
与也可平行，故A错
若//，，
也可以在内，故B错
若
也可以在内，故C错
若//，
则，故D对
故选：D
本题主要考查线面以及线线之间的位置关系，属基础题.
10、B
【解析】
先求出，再利用共线向量的坐标表示求实数的值.
【详解】
由题得，
因为，
所以.
故选：B
本题主要考查向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ﹣2.
【解析】
由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得式子的值.
【详解】
由，，知，则，
.
故答案为：，.
本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题.
12、8
【解析】
画出满足约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可.
【详解】
实数,满足条件的可行域如下图所示:

将目标函数变形为:,
则要求的最大值,即使直线的截距最大,
由图可知,直线过点时截距最大,
,
故答案为:8.
本题考查线性规划的简单应用,解题关键是明确目标函数的几何意义.
13、
【解析】
先求出，可得，再代值计算即可.
【详解】

.
故答案为：
本题考查了等差数列的前项和公式、累乘相消法，考查了学生的计算能力，属于基础题.
14、
【解析】
根据图像可得，根据0所在位置，处于函数的单调减区间，即可得解.
【详解】
由图可得：，或
由于0在函数的单调减区间内，
所以.
故答案为：
此题考查根据三角函数的图象求参数的取值，常用代入法求解，判定初相的取值时，根据图象结合单调性取值.
15、①
【解析】
由线面的平行垂直的判定和性质一一检验即可得解.
【详解】
由平面与平面垂直的判定可知，①正确；②中，当α⊥β时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；③中，l∥β时，α，β可以相交；④中，α∥β时，l，m也可以异面．
故答案为①.
本题主要考查了线面、面面的垂直和平行位置关系的判定和性质，属于基础题.
16、
【解析】
可通过赋值法依次进行推导，找出数列的周期，进而求解
【详解】
由，，
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，当
故数列从开始，以3为周期
故
故答案为：
本题考查数列的递推公式，能根据递推公式找出数列的规律是解题的关键，属于中档题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见证明；（2）
【解析】
(1)先证明面，再证明平面平面；（2）由求解.
【详解】
（1）证明：由已知为的中点，且，所以，

因为，所以，
又因为， 所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为面，
所以平面.
在△中，因为,分别为,的中点，所以,
因为，，所以面，
因为，
所以平面平面
（2）由已知为中点，
又因为，
所以，
因为，，，
所以.
本题主要考查空间几何元素平行关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
18、 (1) . (2) ；(3)
【解析】
（1）利用等比数列通项公式以及求和公式化简，得到，由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，利用等差数列的定义可得，化简即可求出，从而得到数列的通项公式．
（2）由（1）可得，利用错位相减，求出数列的前项和即可；
（3）结合（1）可得，利用裂项相消法，即可得到的前项和，求出的最大值，即可解得实数的取值范围
【详解】
（1）由得，所以，
由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，
得，
即，
即，即，
因为，所以，所以.
（2）由于，所以，
所以，
，
两式相减得，，
所以
（3）由知，
∴
，
∴，
解得或.
即实数的取值范围是
本题考查等比数列通项公式与前项和，等差数列的定义，以及利用错位相减法和裂项相消法求数列的前项和，考查学生的计算能力，有一定综合性．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）根据得，得或，结合取值范围求解；
（2）结合换元法处理二次不等式恒成立求参数的取值范围.
【详解】
（1），即，
即有，
所以或，
即或
由于，
，
所以；
（2），令，
对任意都有恒成立，
即对恒成立，
只需，解得：，
所以的最大值为.
此题考查根据三角函数值相等求自变量取值的关系，利用换元法转化为二次函数处理不等式问题，根据不等式恒成立求参数的取值范围，涉及根的分布的问题.
20、（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）由已知条件，利用等差数列的前n项和公式和通项公式及等比数列的性质列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出数列{an}的通项公式；（2）由题意推导出bn＝22n+1+1，由此利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和．
详解：
（Ⅰ）设等差数列的公差为.
因为，所以. ①
因为成等比数列，所以. ②
由①，②可得： .
所以.
（Ⅱ）由题意，设数列的前项和为，,
，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列
所以
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出作差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
21、（1）80；（2）两个班级数学学习水平相同，（1）班成绩更稳定一些．
【解析】
（1）将成绩按照从小到大顺序排序，根据中位数定义可计算得到结果；（2）根据茎叶图数据计算出两个班的数学成绩平均数，根据方差计算公式可求得样本方差；由，可得到结论.
【详解】
（1）这份成绩按照从小到大的顺序排列为：
，，，，，，，，，，，
中位数为：
（2）计算（1）班平均数为：
方差为：
（2）班平均数为：
方差为：
由，知：两个班级数学学习水平相同，（1）班成绩更稳定一些
本题考查根据茎叶图计算数据的中位数、平均数及方差、利用方差比较数据的稳定性的知识；关键是能够熟练掌握中位数、平均数及方差的计算公式，属于基础题.