山东省临沂市兰陵县第四中学2025届高一下数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

山东省临沂市兰陵县第四中学2025届高一下数学期末学业质量监测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知直线，若，则的值为（ ）
A．8 B．2 C． D．-2
2．已知直线l过点且与直线垂直，则l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，，且与夹角为，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．长方体中，已知，，棱在平面内，则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
5．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，若，则等于()
A． B．1 C．2 D．
7．已知直三棱柱的所有顶点都在球0的表面上,,,则=( )
A．1 B．2 C． D．4
8．下列函数中，是偶函数且在区间上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数，则函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
10．设公差为－2的等差数列，如果，那么等于()
A．－182 B．－78 C．－148 D．－82
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知数列的前项和是，且，则______.（写出两个即可）
12．已知角的终边经过点，则的值为____________.
13．已知（），则________.（用表示）
14．已知 ，则 __________．
15．函数的值域为_____________.
16．已知，，则当最大时，________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，是边长为2的正三角形.若，平面，平面平面，，且.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
18．如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个三角形，使得，.
(1)设，求三角形铁皮的面积；
(2)求剪下的铁皮三角形的面积的最大值.

19．已知直线：及圆心为的圆：．
（1）当时，求直线与圆相交所得弦长；
（2）若直线与圆相切，求实数的值．
20．已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
21．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于公里和公里之间,将统计结果分成组:,,,,,绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值;
（2）求辆纯电动汽车续驶里程的中位数;
（3）若从续驶里程在的车辆中随机抽取辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程为的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
根据两条直线垂直，列方程求解即可.
【详解】
由题：直线相互垂直，
所以，
解得：.
故选：D
此题考查根据两条直线垂直，求参数的取值，关键在于熟练掌握垂直关系的表达方式，列方程求解.
2、A
【解析】
直线2x–3y +1=0的斜率为
则直线l的斜率为
所以直线l的方程为
故选A
3、B
【解析】
由题意利用两个向量数量积的定义，求得的值，再根据，计算求得结果．
【详解】
由题意若，，且与夹角为，可得，
.
故选：B．
本题考查向量数量积的定义、向量的模的方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不要错选成A答案.
4、A
【解析】
本题等价于求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。
【详解】
长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围等价于，
求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。
由图形知 , ，
故选A.
将问题等价转换为可视的问题。
5、B
【解析】
试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．
考点：古典概型及其概率的计算．
6、A
【解析】
首先根据⇒（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，并化简得出，再化为Asin()形式即可得结果.
【详解】
由
得：（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，
化简得，即sin()=,
则sin()=
故选A.
本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算，属于基础题．
7、B
【解析】
由题得在底面的投影为的外心，故为的中点，再利用数量积计算得解.
【详解】
依题意，在底面的投影为的外心，
因为，故为的中点，
，
故选B．
本题主要考查平面向量的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
8、A
【解析】
逐一分析选项，得到答案.
【详解】
A.是偶函数,并且在区间时增函数，满足条件；
B.不是偶函数,并且在上是减函数，不满足条件；
C.是奇函数,并且在区间上时减函数，不满足条件；
D.是偶函数，在区间上是减函数，不满足条件；
故选A.
本题考查了函数的基本性质，属于基础题型.
9、D
【解析】
根据二倍角公式先化简，再根据即可。
【详解】
由题意得，所以周期为.所以选择D
本题主要考查了二倍角公式;常考的二倍角公式有正弦、余弦、正切。属于基础题。
10、D
【解析】
根据利用等差数列通项公式及性质求得答案．
【详解】
∵{an}是公差为﹣2的等差数列，
∴a3+a6+a9+…+a99＝（a1+2d）+（a4+2d）+（a7+2d）+…+（a97+2d）＝a1+a4+a7++a97+33×2d＝50﹣132＝﹣1．
故选D．
本题主要考查了等差数列的通项公式及性质的应用，考查了运算能力，属基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】
利用已知求的公式，即可算出结果．
【详解】
（1）当，得，∴，∴．
（2）当时，，两式作差得，，化简得，
∴或，
即（常数）或，
当（常数）时，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以；
当时，数列是以1为首项，﹣1为公比的等比数列，所以．
本题主要考查利用与的关系公式，即， 求的方法应用．
12、
【解析】
由题意和任意角的三角函数的定义求出的值即可．
【详解】
由题意得角的终边经过点，则，
所以，故答案为．
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
13、
【解析】
根据同角三角函数之间的关系，结合角所在的象限，即可求解.
【详解】
因为，
所以，
故，解得，
又，，
所以.
故填.
本题主要考查了同角三角函数之间的关系，三角函数在各象限的符号，属于中档题.
14、
【解析】

15、
【解析】
分析函数在区间上的单调性，由此可求出该函数在区间上的值域.
【详解】
由于函数和函数在区间上均为增函数，
所以，函数在区间上也为增函数，
且，，
当时，，
因此，函数的值域为.
故答案为：.
本题考查函数值域的求解，解题的关键就是判断出函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16、
【解析】
根据正切的和角公式，将用的函数表示出来，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的，再用倍角公式即可求解.
【详解】

故可得
则
当且仅当，即时，

此时有
故答案为：.
本题考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）取的中点，连接，由平面平面，得平面，再证即可证明（2）证明平面，再根据面面垂直的判定定理从而进行证明．
【详解】
（1）取的中点，连接，因为，且，.
所以，.又因为平面平面，
所以平面，又平面，所以
又因为平面，平面，所以平面.

（2）连接，由（1）知，
又，，所以四边形是平行四边形，
所以.又是正三角形，为的中点，∴，
因为平面平面，所以平面，
所以平面.
又平面，所以.
因为，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
本题考查了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的判定定理，考查空间想象和推理能力，熟记定理是关键，是一道中档题．
18、（1）三角形铁皮的面积为；（2）剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.
【解析】
试题分析：（1）利用锐角三角函数求出和的长度，然后以为底边、以为高，利用三角形面积公式求出三角形的面积；（2）设，以锐角为自变量将和的长度表示出来，并利用面积公式求出三角形的面积的表达式，利用与之间的关系，令将三角形的面积的表达式表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的单调性求出三角形的面积的最大值，但是要注意自变量的取值范围作为新函数的定义域.
试题解析：（1）由题意知，
，
，
，即三角形铁皮的面积为；
（2）设，则，，
，
，
令，由于，所以，
则有，所以，
且，所以，
故，
而函数在区间上单调递增，
故当时，取最大值，即，
即剪下的铁皮三角形的面积的最大值为.
考点：1.三角形的面积；2.三角函数的最值；3.二次函数的最值
19、 (1) 弦长为4；(1) 0
【解析】
（1）由得到直线过圆的圆心，可求得弦长即为圆的直径4；
（1）由点到直线的距离等于半径1，得到关于的方程，并求出.
【详解】
（1）当时，直线：，圆：．
圆心坐标为，半径为1．
圆心在直线上，则直线与圆相交所得弦长为4.
（1）由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，
所以，
解得：．
本题考查直线与圆相交、相切两种位置关系，求解时注意点到直线距离公式的应用，考查基本运算求解能力.
20、 (1);(2).
【解析】
（1）由，算得，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入的值，即可得到本题答案.
【详解】
(1)因为,,所以.
所以；
(2).
本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题.
21、（1）（2）（3）
【解析】
（1）利用小矩形的面积和为,求得值,即可求得答案;
（2）中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标,即可求得答案;
（3）据直方图求出续驶里程在和续驶里程在的车辆数,利用排列组合和概率公式求出其中恰有一辆车的续驶里程在的概率,即可求得答案.
【详解】
（1）由直方图可得:

（2）根据中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标.
直方图可得:
可得:

辆纯电动汽车续驶里程的中位数.
（3） 续驶里程在的车辆数为:
续驶里程在第五组的车辆数为.
从辆车中随机抽取辆车,共有中抽法，
其中恰有一辆车的续驶里程在的抽法有种，
其中恰有一辆车的续驶里程在的概率为.
本题考查根据条型统计图求数据的中位数和根据组合数求概率问题,解题关键是掌握条型统计图基础知识和概率的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.