2025届安徽省合肥市六校联盟高一数学第二学期期末调研试题含解析.doc

2025届安徽省合肥市六校联盟高一数学第二学期期末调研试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，的线性回归直线方程为，且，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为

A．变量，之间呈现正相关关系 B．可以预测，当时，
C． D．由表格数据可知，该回归直线必过点
2．是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3．已知的内角、、的对边分别为、、，边上的高为，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知为第一象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知是常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的垂直平分线所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数，下列结论不正确的是（   ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间内单调递减
C．函数的图象关于轴对称
D．把函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象
8．已知，，，则（ ）
A． B． C．-7 D．7
9．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状一定是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
10．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知等比数列的公比为2,前n项和为,则=______.
12．设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为_______.
13．若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列是等比数列，则数列 _________也是等比数列.
14．在边长为2的菱形中，，是对角线与的交点，若点是线段上的动点，且点关于点的对称点为，则的最小值为______.
15．已知数列满足，，，则数列的通项公式为________．
16．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，侧棱长为x.
（1）求出其表面积S（x）和体积V（x）；
（2）设，求出函数的定义域，并判断其单调性（无需证明）.
18．已知数列是以为首项，为公比的等比数列，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
19．对于定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数，”生成的.
（1）若函数是“基函数，”生成的，求实数的值；
（2）试利用“基函数，”生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为.求函数的解析式.
20．若不等式的解集为.
（1）求证：；
（2）求不等式的解集.
21．在中，已知，，且，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
A中，根据线性回归直线方程中回归系数0.82＞0，判断x，y之间呈正相关关系；B中，利用回归方程计算x＝5时的值即可预测结果；C中，计算、，代入回归直线方程求得m的值；D中，由题意知m＝1.8时求出、，可得回归直线方程过点（，）．
【详解】
已知线性回归直线方程为0.82x+1.27，
0.82＞0，所以变量x，y之间呈正相关关系，A正确；
计算x＝5时，0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x＝5时y＝5.37，B正确；
（0+1+2+3）＝1.5，（0.8+m+3.1+4.3），
代入回归直线方程得0.82×1.5+1.27，解得m＝1.8，∴C错误；
由题意知m＝1.8时，1.5，2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D正确．
故选C．
本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．
2、C
【解析】
由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，即可得到答案．
【详解】
由题意，可知，所以角和角表示终边相同的角，
又由表示第三象限角，所以是第三象限角，故选C．
本题主要考查了象限角的表示和终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
3、C
【解析】
由余弦定理化简可得，利用三角形面积公式可得，解得，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值．
【详解】
由余弦定理可得：，
故：，
而，
故，
所以：．
故选．
本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
4、B
【解析】
由式子两边平方可算得，又由，即可得到本题答案.
【详解】
因为，，，，
所以.
故选：B
本题主要考查利用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值.
5、C
【解析】
将点的坐标代入函数的解析式，得出，求出的表达式，可得出的最小值.
【详解】
由于函数的图象关于点中心对称，则，
，则，
因此，当时，取得最小值，故选C.
本题考查余弦函数的对称性，考查初相绝对值的最小值，解题时要结合题中条件求出初相的表达式，结合表达式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
6、A
【解析】
首先根据题中所给的两个点的坐标，应用中点坐标公式求得线段的中点坐标，利用两点斜率坐标公式求得，利用两直线垂直时斜率的关系，求得其垂直平分线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果.
【详解】
因为，所以其中点坐标是，又，
所以的垂直平分线所在直线方程为，
即，故选A.
该题考查的是有关线段的垂直平分线的方程的问题，在解题的过程中，需要明确线段的垂直平分线的关键点一是垂直，二是平分，利用相关公式求得结果.
7、D
【解析】
利用余弦函数的性质对A、B、C三个选项逐一判断，再利用平移“左加右减”及诱导公式得出，进而得出答案．
【详解】
由题意，函数其最小正周期为，故选项A正确；
函数在上为减函数，故选项B正确；
函数为偶函数，关于轴对称，故选项C正确
把函数的图象向左平移个单位长度可得，所以选项D不正确．
故答案为D
本题主要考查了余弦函数的性质，以及诱导公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8、C
【解析】
把已知等式平方后可求得．
【详解】
∵，
∴，即，
，∵，∴，∴，，
∴．
故选C．
本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正切公式，解题关键是把已知等式平方，并把1用代替，以求得．
9、A
【解析】
利用平方化倍角公式和边化角公式化简得到，结合三角形内角和定理化简得到，即可确定的形状．
【详解】

化简得

即

即
是直角三角形
故选A
本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．
10、C
【解析】
根据初等函数的单调性对各个选项的函数的解析式进行逐一判断
【详解】
函数在单调递增，在单调递增.
在单调递减，在单调递增.
故选：C
本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
由等比数列的定义，S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q＋a2q2，
得＋1＋q＋q2=.
12、3
【解析】
可通过限定条件作出对应的平面区域图，再根据目标函数特点进行求值
【详解】
可行域如图所示;

则可化为,由图象可知,当过点时，有最大值，则其最大值为:
故答案为:3.
线性规划问题关键是能正确画出可行域，目标函数可由几何意义确定具体含义（最值或斜率）
13、
【解析】
利用类比推理分析，若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列．
【详解】
由数列是等差数列，则当时，数列也是等差数列．类比上述性质，若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列．
故答案为：
类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
14、-6
【解析】
由题意，然后结合向量共线及数量积运算可得，再将已知条件代入求解即可.
【详解】
解：菱形的对称性知，在线段上，且，
设，
则，
所以
，
又因为，
当时，取得最小值-6.
故答案为：-6.
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量共线及数量积运算，属中档题.
15、.
【解析】
由题意得出，可得出数列为等比数列，确定出该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式.
【详解】
设，整理得，对比可得，
，即，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，
因此，，故答案为.
本题考查数列通项的求解，解题时要结合递推式的结构选择合适的方法来求解，同时要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16、2
【解析】
根据抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率,用概率乘以丙组的数目，即可得到结果.
【详解】
城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4 ,12,8.
本市共有城市数24 ,
用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，
每个个体被抽到的概率是，
丙组中对应的城市数8，
则丙组中应抽取的城市数为,故答案为2.
本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），；（2）x>，是减函数.
【解析】
（1）画出图形，分别求出四棱锥的高，及侧面的高的表达式，即可求出表面积与体积的表达式；（2）结合表达式，可求出的范围，即定义域，然后判断其为减函数.
【详解】
（1）过点作平面的垂线，垂足为，取的中点，连结，
因为为正四棱锥，所以，，，
，
所以四棱锥的表面积为，
体积.
（2），解得，
是减函数.

本题考查了四棱锥的结构特征，考查了表面积与体积的计算，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）按等比数列的概念直接求解即可；（2）先求出的表达式，再利用裂项相消法即可求得数列的前项和.
【详解】
（1）由等比数列通项公式得：

（2）由（1）可得：

本题主要考查数列的通项公式问题及利用裂项相消法求和的问题，属常规考题.
19、 (1) . (2)
【解析】
（1）根据基函数的定义列方程，比较系数后求得的值.（2）设出的表达式，利用为偶函数，结合偶函数的定义列方程，化简求得，由此化简的表达式，构造函数，利用定义法证得在上的单调性，由此求得的最小值，也即的最小值，从而求得的最小值，结合题目所给条件，求出的值，即求得的解析式.
【详解】
解：（1）由已知得，
即，
得，所以.
（2）设，则.
由，得，
整理得，即，
即对任意恒成立，所以.
所以
.
设，，令，则，
任取，且
则，
因为，且
所以，，，故
即，所以在单调递增，
所以，且当时取到“”.
所以，
又在区间的最小值为，
所以，且，此时，
所以
本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查函数的单调性、奇偶性的运用，考查利用定义法证明函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查函数与方程的思想，综合性较强，属于中档题.
20、（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）由已知可得是的两根，利用韦达定理，化简可得结论；（2）结合（1）原不等式可化为，利用一元二次不等式的解法可得结果.
【详解】
（1）∵不等式的解集为
∴是的两根,且
∴
∴，所以 ;
（2）因为，,
所以，即 ,
又 即 ，
解集为
本题考查了求一元二次不等式的解法，是基础题目．若，则的解集是；的解集是.
21、或
【解析】
首先根据三角形面积公式求出角B的正弦值，然后利用平方关系，求出余弦值，再依据余弦定理即可求出．
【详解】
由得，，所以或，由余弦定理有，，
故或，即或．
本题主要考三角形面积公式、同角三角函数基本关系的应用，以及利用余弦定理解三角形．