2025年天津市滨海新区塘沽滨海中学数学高一下期末考试试题含解析.doc

2025年天津市滨海新区塘沽滨海中学数学高一下期末考试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知平面向量，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）

A． B． C． D．
4．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
5．已知平面向量满足：，，，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．-1
6．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
7．已知正数组成的等比数列的前8项的积是81，那么的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．6
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是
A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．(－∞，4) D．(－∞，5)
9．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数，的“下确界”为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，设是正六边形的中心，则与相等的向量为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知点，点，则________．
12．在等比数列中，，公比，若，则达到最大时n的值为____________．
13．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．现从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 ．
14．P是棱长为4的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点A到点P的最短路程是_______.
15．两圆，相切，则实数＝______.
16．在锐角中，角的对边分别为.若，则角的大小为为____．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列为等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．如图，为了测量河对岸、两点的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、．并测量得到以下数据，，，，，米，米．求、两点的距离．

19．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．
（1）求角的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
20．在数列中，，，且；
（1）设，证明是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项；
21．在△中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，，为的中点，求线段的长度.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
先由求出，然后按照向量的坐标运算法则算出答案即可
【详解】
因为，，且
所以，即，所以
所以
故选：B
若，则
2、B
【解析】
先求出长方体的对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积得解.
【详解】
由题得长方体外接球的直径.
故选：B
本题主要考查长方体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3、C
【解析】
根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的的值.
【详解】
执行如图所示的程序框图如下：
不成立，，；
不成立，，；
不成立，，；
不成立，，.
成立，跳出循环体，输出的值为，故选C.
本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.
4、D
【解析】
根据的图像变换规律求解即可
【详解】
设平移量为，则由
，
满足：，故由向左平移个长度单位可得到
故选：D
本题考查函数的图像变换规律，属于基础题
5、C
【解析】
将代入，化简得到答案.
【详解】

故答案选C
本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.
6、D
【解析】
试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，
∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，
丙车间生产产品所占的比例，
因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，
所以样本容量n=3÷=1．
考点：分层抽样方法
7、A
【解析】
利用等比数列的通项公式和均值不等式可得结果.
【详解】
由
由为正项数列，可知
再由均值不等式可知
所以
（当且仅当时取等号）
故选：A
本题主要考查等比数列的通项公式及均值不等式，属基础题.
8、A
【解析】
，，
因为单调递减，所以，
所以，且，
所以只需，，且，
所以，故选A．
9、A
【解析】
由下确界定义，，的最小值是，由余弦函数性质可得．
【详解】
由题意，的最小值是，
又，
由，得，
，，
时，，
所以．
故选：A．
本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．
10、D
【解析】
容易看出，四边形是平行四边形，从而得出.
【详解】
根据图形看出，四边形是平行四边形

故选：
本题考查相等向量概念辨析，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
直接利用两点间的距离公式求解即可．
【详解】
点A（2，1），B（5，﹣1），则|AB|．
故答案为：．
本题考查两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．
12、7
【解析】
利用，得的值
【详解】
因为，，所以为7.
故答案为：7
本题考查等比数列的项的性质及单调性，找到与1的分界是关键，是基础题
13、．
【解析】
试题分析：从中任取3个不同的数，有，，，，，，，
，，共10种，其中只有为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．
考点：用列举法求随机事件的概率．
14、
【解析】
从图形可以看出图形的展开方式有二，一是以底棱BC，CD为轴，可以看到此两种方式是对称的，所得结果一样，另外一种是以侧棱为轴展开，即以BB1，DD1为轴展开，此两种方式对称，求得结果一样，故解题时选择以BC为轴展开与BB1为轴展开两种方式验证即可
【详解】
由题意，若以BC为轴展开，则AP两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为4，6，
故两点之间的距离是
若以BB1为轴展开，则AP两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，8，
故两点之间的距离是
故沿正方体表面从点A到点P的最短路程是cm
故答案为
本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，求解的关键是能够根据题意把求几何体表面上两点距离问题转移到平面中来求
15、0, ±2
【解析】
根据题意，由圆的标准方程分析两圆的圆心与半径，分两圆外切与内切两种情况讨论，求出
a的值，综合即可得答案．
【详解】
根据题意：圆的圆心为（0，0），半径为1，圆的
圆心为（﹣4，a），半径为5，
若两圆相切，分2种情况讨论：
当两圆外切时，有（﹣4）2+a2=（1+5）2，解可得a=±2，
当两圆内切时，有（﹣4）2+a2=（1﹣5）2，解可得a=0，
综合可得：实数a的值为0或±2；
故答案为0或±2．
本题考查圆与圆的位置关系，关键是掌握圆与圆的位置关系的判定方法．
16、
【解析】
由，两边同除以得，由余弦定理可得是锐角，，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)；（2）.
【解析】
试题分析：(1)由于为等差数列，根据已知条件求出的第一项和第三项求得数列的公差，即得数列的通项公式，移项可得数列的通项公式；（2）由（1）可知,通过分组求和根据等差数列和等比数列的前项和公式求得的前项和.
试题解析: （1）设数列的公差为，∵，∴，
∴，∴．
（2）
考点：等差数列的通项公式及数列求和.
18、米
【解析】
在中，求出，利用正弦定理求出，然后在中利用锐角三角函数定义求出，最后在中，利用余弦定理求出.
【详解】
由题意可知，在中，，
由正弦定理得，所以米，
在中，米，
在中，由余弦定理得
，
所以，米.
本题考查利用正弦、余弦定理解三角形应用题，要将实际问题转化为三角形的问题，并结合已知元素类型选择正弦、余弦定理解三角形，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
19、（1）；（2）
【解析】
（1）根据和正弦定理余弦定理求得.(2)先利用正弦定理求出R=1,再把化成，再利用三角函数的图像和性质求解.
【详解】
（1）因为，所以，
由正弦定理化角为边可得，
即，由余弦定理可得，又，所以．
（2）由（1）可得，设的外接圆的半径为，
因为，，所以，
则
，
因为为锐角三角形，所以，即，
所以，所以，
所以，故的取值范围为．
(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.
20、（1）略（2）（3）证明略
【解析】
本题源自等差数列通项公式的推导．
（1）证明：由题设（），得
，即，．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（2）由（1），
，
　　　　　　　　……
，（）．
将以上各式相加，得（）．
所以当时，
上式对显然成立．
（3）由（2），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得， ①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
．
由①可得，．
所以对任意的，是与的等差中项．
21、（1）； （2）； （3）.
【解析】
（1）由三角恒等变换的公式，化简，代入即可求解.
（2）在中，由余弦定理，结合基本不等式，求得，即可得到答案.
（3）设，在中，由余弦定理，求得，分别在和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意，在中，，则
又由
.
（2）在中，由余弦定理可得，
即，可得，当且仅当等号成立，
所以的最大值为.
（3）设，如图所示，
在中，由余弦定理可得，
即，即，解得，
在中，由余弦定理,可得，……①
在中，由余弦定理,可得，……②
因为，所以，
由①+②，可得，即，
解得，即.

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．