云南省昌宁一中2024-2025学年高一下数学期末考试模拟试题含解析.doc

云南省昌宁一中2024-2025学年高一下数学期末考试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：

由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．数列为等比数列，若，，数列的前项和为，则　　
A． B． C．7 D．31
4．在平面直角坐标系xoy中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数的图象恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.下列函数中为一阶格点函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．设△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若a＝3，b＝，A＝，则B＝（　　）
A． B．或 C． D．或
6．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为
A．5 B．10 C．4 D．20
7．记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
8．等差数列的前n项和为，且，，则(    )
A．10 B．20 C． D．
9．已知三棱柱的底面为直角三角形，侧棱长为2，体积为1，若此三棱柱的顶点均在同一球面上，则该球半径的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．在三棱柱中，平面，，，，E，F分别是，上的点，则三棱锥的体积为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．不等式的解集为_________________；
12．已知，那么__________．
13．数列中，，，，则的前2018项和为______.
14．已知角的终边经过点，则______．
15．在数列中，，， ，则_____________．
16．若，方程的解为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设数列的前项和为，若，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若的，求的最大值.
18．已知直线：及圆心为的圆：．
（1）当时，求直线与圆相交所得弦长；
（2）若直线与圆相切，求实数的值．
19．设常数函数
(1)若求函数的反函数
(2)根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.
20．已知函数.
（1）求函数的值域和单调减区间；
（2）已知为的三个内角，且，，求的值.
21．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.
(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；
(Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】
由解得为函数的定义域.令，消去得，图像为椭圆的一部分，如下图所示.，即直线，由图可知，截距在点处取得最小值，在与椭圆相切的点处取得最大值.而，故最小值为.联立，消去得，其判别式为零，即，解得（负根舍去），即，故.

【点睛】本题主要考查含有两个根号的函数怎样求最大值和最小值.先用换元法，将原函数改写成为一次函数的形式.然后利用和的关系，得到的可行域，本题中可行域为椭圆在第一象限的部分.然后利用，用截距的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值.
2、B
【解析】
随机模拟产生了18组随机数，其中第三次就停止摸球的随机数有4个，由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率．
【详解】
随机模拟产生了以下18组随机数：
343 432 341 342 234 142 243 331 112
342 241 244 431 233 214 344 142 134
其中第三次就停止摸球的随机数有：142，112，241，142，共4个，
由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为p．
故选：B．
本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3、A
【解析】
先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果.
【详解】
数列为等比数列，，，
，解得，
，
数列的前项和为，
．
故选．
本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
4、A
【解析】
根据题意得，我们逐个分析四个选项中函数的格点个数，即可得到答案．
【详解】
根据题意得：函数y＝sinx图象上只有（0，0）点横、纵坐标均为整数，故A为一阶格点函数；
函数没有横、纵坐标均为整数，故B为零阶格点函数；
函数y＝lgx的图象有（1，0），（10，1），（100，2），…无数个点横、纵坐标均为整数，故C为无穷阶格点函数；
函数y＝x2的图象有…（﹣1，0），（0，0），（1，1），…无数个点横、纵坐标均为整数，故D为无穷阶格点函数.
故选A．
本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中分析出函数的格点个数是解答本题的关键，属于中档题．
5、A
【解析】
由已知利用正弦定理可求的值，利用大边对大角可求为锐角，利用特殊角的三角函数值，即可得解．
【详解】
由题意知，
由正弦定理，可得＝＝，
又因为，可得B为锐角，所以．
故选A．
本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
6、B
【解析】
直接利用分层抽样按照比例抽取得到答案.
【详解】
设应抽取的女生人数为，则，解得.
故答案选B
本题考查了分层抽样，属于简单题.
7、B
【解析】
建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即 ，从而可求λ的取值范围．
【详解】

由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，0，1） 
∴ =（1，1，-1），∴ =（λ，λ，-λ）， 
∴ = + =（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） 
= + =（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1） 
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0 
∴  
∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1 
因此，λ的取值范围是（ ，1），故选B. 
点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题．
8、D
【解析】
由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．
【详解】
解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，
，
，
解得．
故选：．
本题考查了等差数列的前项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9、D
【解析】
先证明棱柱为直棱柱，再求出棱柱外接球的半径，利用基本不等式求出其最小值.
【详解】
∵三棱柱内接于球，
∴棱柱各侧面均为平行四边形且内接于圆，
所以棱柱的侧棱都垂直底面，
所以该三棱柱为直三棱柱.
设底面三角形的两条直角边长为，，
∵三棱柱的高为2，体积是1，
∴，即，将直三棱柱补成一个长方体，
则直三棱柱与长方体有同一个外接球，
所以球的半径为.
故选D
本题主要考查几何体外接球的半径的计算和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
10、B
【解析】
等体积法：.求出的面积和F到平面的距离，代入公式即可．
【详解】
由题意可得，的面积为，因为，，平面ABC，所以点C到平面的距离为，即点F到平面的距离为4，则三棱锥的体积为.故三棱锥的体积为12.
此题考察了三棱锥体积的等体积法，通过变化顶点和底面进行转化，属于较易题目．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解不等式．
【详解】
时，原不等式可化为，，∴；
时，原不等式可化为，，∴．
综上原不等式的解为．
故答案为．
本题考查解绝对值不等式，解绝对值不等式的常用方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后求解．
12、2017
【解析】
，故，由此得.
【点睛】本题主要考查函数解析式的求解方法，考查等比数列前项和的计算公式.对于函数解析式的求法，有两种，一种是换元法，另一种的变换法.解析中运用的方法就是变换法，即将变换为含有的式子.也可以令.等比数列求和公式为.
13、2
【解析】
直接利用递推关系式和数列的周期求出结果即可．
【详解】
数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1﹣an，
则：a2＝a2﹣a1＝1，a4＝a2﹣a2＝﹣1，a5＝a4﹣a2＝﹣2，a1＝a5﹣a4＝﹣1，
a7＝a1﹣a5＝1，…所以：数列的周期为1．a1+a2+a2+a4+a5+a1＝0，
数列{an}的前2018项和为：
（a1+a2+a2+a4+a5+a1）+…+（a2011+a2012+a2012+a2014+a2015+a2011）+a2017+a2018，
＝0+0+…+0+（a1+a2）
＝2．
故答案为：2
本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
14、
【解析】
由题意，则.
15、5
【解析】
利用递推关系式依次求值，归纳出：an+6=an，再利用数列的周期性，得解.
【详解】
∵a1=1，a2=5，an+2=an+1-an（n∈N*），
∴a3=a2-a1=5-1=4，
同理可得：a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…，
∴an+6=an．
则a2018=a6×336+2=a2=5
本题考查了递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力.
16、
【解析】
运用指数方程的解法，结合指数函数的值域，可得所求解．
【详解】
由，即，
因，解得，即.
故答案：.
本题考查指数方程的解法，以及指数函数的值域，考查运算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）6.
【解析】
（1）根据已知条件，结合，得到，再由已知条件求得，即可求得等比数列的通项公式；
（2）根据（1）中的结果化简得到，由此结合已知条件，即可求解.
【详解】
（1）由已知，所以，
即，从而，，
又因为成等差数列，即，
所以，解得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故；
（2）因为，
所以，即，所以，
所以，所以的最大值为6.
本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项和公式的应用，以及数列的与关系式的应用，其中解答中数列与关系式和等比数列的通项公式、前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
18、 (1) 弦长为4；(1) 0
【解析】
（1）由得到直线过圆的圆心，可求得弦长即为圆的直径4；
（1）由点到直线的距离等于半径1，得到关于的方程，并求出.
【详解】
（1）当时，直线：，圆：．
圆心坐标为，半径为1．
圆心在直线上，则直线与圆相交所得弦长为4.
（1）由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，
所以，
解得：．
本题考查直线与圆相交、相切两种位置关系，求解时注意点到直线距离公式的应用，考查基本运算求解能力.
19、（1）（2）时，是偶函数；时，是奇函数；当且时，为非奇非偶函数，理由见解析
【解析】
（1）根据反函数的定义，即可求出；
（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数，求出的值，若为奇函数，求出的值，问题得以解决．
【详解】
解：（1）∵，
∴
，
，
∴调换的位置可得，．
所以函数的反函数
（2）若为偶函数，则对任意均成立，
，整理可得．
不恒为0，
，此时，满足为偶函数；
若为奇函数，则对任意均成立，
，整理可得，
，
，
，
此时，满足条件；
当且时，为非奇非偶函数，
综上所述，时，是偶函数；时，是奇函数；当且时，为非奇非偶函数．
本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．
20、（1），；（2）.
【解析】
（1）将函数化简，利用三角函数的取值范围的单调性得到答案.
（2）通过函数计算，，再计算代入数据得到答案.
【详解】
（1）∵且
∴故所求值域为
由得：
所求减区间：；
（2）∵是的三个内角，，∴
∴又，即
又∵，
∴,
故,
故.
本题考查了三角函数的最值，单调性，角度的大小，意在考查学生对于三角函数公式性质的灵活运用.
21、（1）（2）
【解析】
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果，可以列举出，而满足条件的事件数字之和大于7的，可以从列举出的结果中看出．
（2）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来．
解：(Ⅰ)设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共4种，
数字之和大于或等于7的是（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），共3种，
所以P(A)=.
(Ⅱ)设B表示事件“至少一次抽到2”，
第一次抽1张，放回后再抽取1张的全部可能结果为：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个
事件B包含的结果有（1、2）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、2）（4、2），共7个
所以所求事件的概率为P(B)=.