四川省遂宁市2025年数学高一下期末质量检测模拟试题含解析.doc

四川省遂宁市2025年数学高一下期末质量检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．向量，，，满足条件．，则
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（   ）
A． B． C． D．
3．在中，已知、、分别是角、、的对边，若，则的形状为
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．已知的三个顶点都在一个球面上，，且该球的球心到平面的距离为2，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．以下说法正确的是（ ）
A．零向量与单位向量的模相等
B．模相等的向量是相等向量
C．已知均为单位向量，若，则与的夹角为
D．向量与向量是共线向量，则四点在一条直线上
6．下列大小关系正确的是 ( )
A. B.
C. D.
7．如图，两点为山脚下两处水平地面上的观测点，在两处观察点观察山顶点的仰角分别为，若，，且观察点之间的距离比山的高度多100米，则山的高度为（ ）

A．100米 B．110米 C．120米 D．130米
8．若等差数列的前10项之和大于其前21项之和，则的值（）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
9．已知，，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.
12．一条河的两岸平行，河的宽度为560m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度，水流速度，则行驶航程最短时，所用时间是__________（精确到）．
13．己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：
单位：万元
0
1
2
3
4
单位：万元
10
15
20
30
35
若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为6万元时的销售额为_____
14．已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_______.
15．若函数的图象过点，则___________.
16．在行列式中，元素的代数余子式的值是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，求的值．
18．某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表

高三

高二

高一

女生

133

153

z

男生

333

453

633

按年级分层抽样的方法评选优秀学生53人，其中高三有13人．
（1）求z的值；
（2）用分层抽样的方法在高一中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1名女生的概率；
（3）用随机抽样的方法从高二女生中抽取2人,经检测她们的得分如下：1．4，2．6，1．2， 1．6，2．7，1．3，1．3，2．2，把这2人的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过3．5的概率．
19．已知向量
（1）求函数的单调递减区间；
（2）在中，，若，求的周长.
20．设数列是等差数列，其前n项和为；数列是等比数列，公比大于0，其前项和为．已知，，，．
（1）求数列和数列的通项公式；
（2），求正整数n的值．
21．已知方程；
（1）若，求的值；
（2）若方程有实数解，求实数的取值范围；
（3）若方程在区间上有两个相异的解、，求的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
向量，则，
故解得.
故答案为：C。
2、D
【解析】
利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论．
【详解】
由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除A；
由于函数是偶函数，但它在区间上单调递增，故排除B；
由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除C；
由于函数是偶函数，且满足在区间上单调递减，故满足条件．
故答案为：D
本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法，以及基本初等函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
3、D
【解析】
由，利用正弦定理可得，进而可得sin2A=sin2B，由此可得结论．
【详解】
∵，
∴由正弦定理可得
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A+2B=π
∴A=B或A+B=
∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形
故选D．
判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
4、C
【解析】
先算出的外接圆的半径，然后根据勾股定理可得球的半径，由此即可得到本题答案.
【详解】
设点O为球心，因为，所以的外接圆的圆心为AC的中点M，且半径，又因为该球的球心到平面的距离为2，即，在中，，所以该球的半径为，则该球的表面积为.

故选：C
本题主要考查球的表面积的相关问题.
5、C
【解析】
根据零向量、单位向量、相等向量，向量的模、向量共线、向量数量积的运算的知识分析选项，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，零向量的模是，单位向量的模是，两者不相等，故A选项说法错误.
对于B选项，两个向量大小和方向都相等才是相等向量，故B选项说法错误.
对于C选项，由，故C选项说法正确.
对于D选项，向量与向量是共线向量，但是这两个向量没有公共点，所以无法判断是否在一条直线上.故D选项说法错误.
故选：C
本小题主要考查向量的有关概念，考查向量数量积的运算，属于基础题.
6、C
【解析】
试题分析：因为，，，所以
。故选C。
考点：不等式的性质
点评：对于指数函数和对数函数，若，则函数都为增函数；若，则函数都为减函数。
7、A
【解析】
设山的高度为，求出AB=2x，根据，求出山的高度.
【详解】
设山的高度为，如图，

由，有.在中，，有，又由观察点之间的距离比山的高度多100，
有.
故山的高度为100.
故选A
本题主要考查解三角形的实际应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
8、C
【解析】
根据条件得到不等式，化简后可判断的情况.
【详解】
据题意：，则，所以，即，则：，
故选C.
本题考查等差数列前项和的应用，难度较易.等差数列前项和之间的关系可以转化为与的关系.
9、A
【解析】
根据向量的坐标运算法则,依据题意列出等式求解.
【详解】
由题知:,,,
因为,
所以,
故,
故选:A.
本题考查向量的坐标运算,属于基础题.
10、B
【解析】
首先利用辅助角公式将函数化为，然后再采用整体代入即可求解.
【详解】
由函数，
所以，解得，
当时，
故函数图象的对称中心的是.
故选：B
本题考查了辅助角公式以及整体代入法求三角函数的中心对称点，需熟记三角函数的性质，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、.
【解析】
设时针转过的角的弧度数为，可知分针转过的角为，于此得出，由此可计算出的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值的值.
【详解】
设时针转过的角的弧度数的绝对值为，
由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为，
由题意可知，，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于，
故答案为.
本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
12、6
【解析】
先确定船的方向，再求出船的速度和时间.
【详解】

因为行程最短，所以船应该朝上游的方向行驶，
所以船的速度为km/h,
所以所用时间是.
故答案为6
本题主要考查平面向量的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
13、
【解析】
由已知表格中数据求得，，再由回归直线方程过样本中心点求得，得到回归方程，取即可求得答案．
【详解】
解：，，
，
．
则，
取，得．
故答案为：
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．
14、
【解析】
利用将变为，整理发现数列{}为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项和。
【详解】

当时，符合，

当时，符合，

一般公式的使用是将变为，而本题是将变为，给后面的整理带来方便。先求，再求，再求，一切都顺其自然。
15、
【解析】
由过点，求得a，代入，令，即可得到本题答案
【详解】
因为的图象过点，所以，所以，故.
故答案为：-5
本题主要考查函数的解析式及利用解析式求值.
16、
【解析】
根据余子式的定义，要求的代数余子式的值，这个元素在三阶行列式中的位置是第一行第二列，那么化去第一行第二列得到的代数余子式，解出即可．
【详解】
解：在行列式中，元素在第一行第二列，
那么化去第一行第二列得到的代数余子式为：
解这个余子式的值为，故元素的代数余子式的值是．
故答案为：
考查学生会求行列式中元素的代数余子式，行列式的计算方法，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、3
【解析】
利用两角和的正切公式化简，求得的值，根据诱导公式求得的值.
【详解】
由得 ．
将代入上式，得 ，
解得 ．
于是 ，所以 ．
本小题主要考查两角和的正切公式、诱导公式，属于基础题.
18、（1）433
（2）
（3）
【解析】
（1）设该校总人数为n人,由题意得,，
所以n=2333．z=2333-133-333-153-453-633=433；
（2）设所抽样本中有m个女生,因为用分层抽样的方法在高一女生中抽取一个容量为5的样本，所以，
解得m=2也就是抽取了2名女生，3名男生，分别记作S1，S2；B1 ，B2，B3，
则从中任取2人的所有基本事件为（S1, B1），（S1, B2），（S1, B3），（S2,B1），（S2,B2）, （S2,B3），（S1, S2），（B1,B2），（B2,B3），（B1,B3）共13个，
其中至少有1名女生的基本事件有7个：（S1, B1），（S1, B2），（S1, B3），（S2,B1），（S2,B2），（S2,B3），（S1, S2），
所以从中任取2人，至少有1名女生的概率为．
（3）样本的平均数为，
那么与样本平均数之差的绝对值不超过3．5的数为1．4, 2．6, 1．2, 2．7, 1．3, 1．3这6个数,总的个数为2,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过3．5的概率为．
19、 (1); (2)
【解析】
(1)根据向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式将化简为，然后利用三角函数的性质，即可求得的单调减区间；
(2)由(1)及可求得，由可得，再结合余弦定理即可求得，进而可得的周长.
【详解】
解：(1)

所以函数的单调递减区间为：
(2)，，
又因在中，,
,
设的三个内角所对的边分别为，
又，且
，，则，
所以的周长为.
本题考查平面向量的数量积公式，三角函数的二倍角公式、辅助角公式和三角函数的性质，以及利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查理解辨析能力及求解运算能力，属于中档题.
20、（1）；；（2）n的值为1．
【解析】
(1)根据等比数列与等差数列,分别设公比与公差再用基本量法求解即可.
(2)分别利用等差等比数列的求和公式求解得与,再代入整理求解二次方程即可.
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为q,由,,可得．
∵,可得．
故；
设等差数列的公差为d,由,得,
由,得,
∴． 故；
（2）由是等差数列,且,得
由是等比数列,且,得．
可得
．
由,
可得,
整理得：,解得（舍）或．
∴n的值为1．
本题主要考查了等比等差数列的基本量法以及的等差等比数列的求和计算.属于中档题.
21、（1）或； （2）； （3）；
【解析】
试题分析：(1)时，由已知得到;(2)方程有实数解即a在的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.
试题解析：
（1），
或；
（2）

（3）因为方程在区间上有两个相异的解、，所以