2024年福建龙岩市新罗区九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列说法正确的是（　　）
A．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．要了解路边行人边步行边低头看手机的情况，可采取对在路边行走的学生随机发放问卷的方式进行调查
C．做重复试验：抛掷同一枚瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频数为550次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“凸面向上”的概率为0.55
D．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是0.5和1.2，则运动员甲的成绩较好
2．抛物线的对称轴是 （ ）
A．直线＝－1 B．直线＝1 C．直线＝－2 D．直线＝2
3．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝（　　）

A．116° B．32° C．58° D．64°
4．下列函数属于二次函数的是（　　）
A．y＝x﹣ B．y＝（x﹣3）2﹣x2
C．y＝﹣x D．y＝2（x+1）2﹣1
5．己知a、b、c均不为0,且,若，则k=（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
6．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，函数y=（k＜0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A．﹣12 B．﹣32 C．32 D．﹣36
7．如图是二次函数图象的一部分，则关于的不等式的解集是(　　)

A． B． C． D．
8．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．在开展“爱心捐助”的活动中，某团支部8名团员捐款的数额（单位：元）分别为3，5，6，5，6，5，5，10，这组数据的中位数是（ ）
A．3元 B．5元 C．5.5元 D．6元
10．已知x2-2x=8，则3x2-6x-18的值为（   ）
A．54                                         B．6                                         C．-10                                         D．-18
11．函数y＝kx﹣k（k≠0）和y＝﹣（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
12．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（　　）
A．2 B．0 C．1 D．2或0
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是_____．
14．二次函数的图象与y轴的交点坐标是________．
15．已知关于的方程的一个根为6，则实数的值为__________．
16．计算sin45°的值等于__________
17．若反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，请写出满足条件的一个反比例函数的解折式___________．
18．铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝﹣x2+x+，铅球推出后最大高度是_____m，铅球落地时的水平距离是______m.
三、解答题（共78分）
19．（8分）甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号为1、2、3、4，乙口袋中小球编号分别是2、3、4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为，再从乙袋中摸出一个小球，记下编号为．
（1）请用画树状图或列表的方法表示所有可能情况；
（2）规定：若、都是方程的解时，小明获胜；若、都不是方程的解时，小刚获胜，请说明此游戏规则是否公平？
20．（8分）甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．
(1)已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是__________；
(2)随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．
21．（8分）如图1，正方形的边在正方形的边上，连接.
（1）和的数量关系是____________，和的位置关系是____________；
（2）把正方形绕点旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）设正方形的边长为4，正方形的边长为，正方形绕点旋转过程中，若三点共线，直接写出的长.

22．（10分）如图，抛物线（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；
（3） 点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似，若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（10分）如图，抛物线 经过点，与轴相交于，两点，
（1）抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；
（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式.

24．（10分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．
（1）用画树状图法或列表法分析这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；
（2）求一辆车向右转，一辆车向左转的概率；
（3）求至少有一辆车直行的概率．
25．（12分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境，为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查.请用列表或画树状图的方法求甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的概率.
26．某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量(千克)与每千克降价(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示: .
（1）求与之间的函数关系式;
（2）函数图象中点表示的实际意义是 ;
（3）该商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价多少元?

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据随机事件的概念、抽样调查的特点、方差的意义及概率公式分别判断可得．
【详解】解：A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，此选项错误；
B、要了解路边行人边步行边低头看手机的情况，采取对在路边行走的学生随机发放问卷的方式进行调查不具代表性，此选项错误；
C、做重复试验：抛掷同一枚瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频数为550次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“凸面向上”的概率为0.55，正确；
D、射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是0.5和1.2，则运动员甲的成绩较稳定，此选项错误；
2、B
【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴．
【详解】解：∵解析式为，
∴对称轴是直线．
故选：B．
本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质．
3、B
【分析】根据圆周角定理求得：∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）、∠BOD＝2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180°知∠BOD＝180°﹣∠AOD，∴∠BCD＝32°．
【详解】解：连接OD．
∵AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
又∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，∠BOD＝2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
∴∠BCD＝32°；
故答案为B．

本题主要考查了圆周角定理，理解同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半是解答本题的关键.
4、D
【分析】由二次函数的定义：形如，则是的二次函数，从而可得答案．
【详解】解：A．自变量x的次数不是2，故A错误；
B．整理后得到，是一次函数，故B错误
C．由可知，自变量x的次数不是2，故C错误；
D．是二次函数的顶点式解析式，故D正确．
故选：D．
本题考查的是二次函数的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键．
5、D
【解析】分别用含有k的代数式表示出2b+c，2c+a，2a+b，再相加即可求解.
【详解】∵
∴，，
三式相加得，
∵
∴k=3.
故选D.
本题考查了比的性质，解题的关键是求得2b+c=ak，2c+a=bk，2a+b=ck.
6、B
【解析】解：
∵O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，﹣4），顶点C在x轴的正半轴上，
∴OA=5，AB∥OC，
∴点B的坐标为（8，﹣4），
∵函数y=（k＜0）的图象经过点B，
∴﹣4=，得k=﹣32.
故选B.
本题主要考查菱形的性质和用待定系数法求反函数的系数，解此题的关键在于根据A点坐标求得OA的长，再根据菱形的性质求得B点坐标，然后用待定系数法求得反函数的系数即可.
7、D
【分析】先根据抛物线平移的规律得到抛物线，通过观察图象可知，它的对称轴以及与轴的交点，利用函数图像的性质可以直接得到答案．
【详解】解：∵根据抛物线平移的规律可知，将二次函数向左平移个单位可得抛物线，如图：

∴对称轴为，与轴的交点为，
∴由图像可知关于的不等式的解集为：．
故选：D
本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的平移规律、对称性，数形结合的思想，解题关键在于通过平移规律得到新的二次函数图象以及与轴的交点坐标．
8、C
【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【详解】由题意，△=42-4ac≥0，
∴ac≤4，
画树状图如下：

a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为，
故选C.
本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.
9、B
【分析】将这组数据从小到大的顺序排列，最中间两个位置的数的平均数为中位数．
【详解】将这组数据从小到大的顺序排列3，5，5，5，5，6，6，10，最中间两个位置的数是5和5，所以中位数为（5+5）÷2=5（元），
故选：B．
本题考查中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键．
10、B
【解析】所求式子前两项提取3变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】∵x2−2x＝8，
∴3x2−1x−18＝3（x2−2x）−18＝24−18＝1．
故选：B．
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
11、D
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：由反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象在一、三象限可知，﹣k＞0，
∴k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故A、B选项错误；
由反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象在二、四象限可知，﹣k＜0，
∴k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故C选项错误，D选项正确；
故选：D．
此题主要考查一次函数与反比例函数图像综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数系数与图像的关系．
12、B
【解析】设方程的两根为x1，x2，
根据题意得x1+x2=1，
所以a2-2a=1，解得a=1或a=2，
当a=2时，方程化为x2+1=1，△=-4＜1，故a=2舍去，
所以a的值为1．
故选B．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1．
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
【详解】在数据：3，1，1，1，1，3中，1出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是1，
故答案为：1．
此题考查的是求一组数据的众数，掌握众数的定义是解决此题的关键．
14、
【分析】求出自变量x为1时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．
【详解】把代入得：，
∴该二次函数的图象与y轴的交点坐标为，
故答案为．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为1．
15、1
【分析】将一元二次方程的根代入即可求出k的值．
【详解】解：∵关于的方程的一个根为6
∴
解得：k=1
故答案为：1．
此题考查的是已知一元二次方程的根，求方程中的参数，掌握方程的解的定义是解决此题的关键．
16、
【分析】根据特殊锐角的三角函数值求解．
【详解】解：，
故答案为：．
本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．
17、
【分析】根据反比例函数的性质：当k>0时函数图像的每一支上，y随x的增大而减少；当k<0时，函数图像的每一支上，y随x的增大而增大，因此符合条件的反比例函数满足k<0即可．
【详解】因为反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，
所以k＜0
故答案为：
本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是关键．
18、3 10
【分析】利用配方法将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求得铅球行进的最大高度；铅球推出后落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求得x的值就是铅球落地时的水平距离．
【详解】∵y＝﹣x2+x+，
∴y＝﹣(x﹣4)2+3
因为﹣＜0
所以当x＝4时，y有最大值为3.
所以铅球推出后最大高度是3m.
令y＝0，即
0＝﹣(x﹣4)2+3
解得x1＝10，x2＝﹣2(舍去)
所以铅球落地时的水平距离是10m.
故答案为3、10.
此题考查了函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解．正确解答本题的关键是掌握二次函数的性质.

三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）两人获胜机会不均等，此游戏规则不公平
【分析】（1）根据画树形图即可表示出所有可能出现的结果；
（2）先解方程，再分别求出两个人赢的概率，再进行判断即可．
【详解】（1）列出树状图：

（2）解方程可得，．
∴（、都是方程的根）．
（、都不是方程的根）．
∴两人获胜机会不均等，此游戏规则不公平．
本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
20、（1）（2）
【解析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=；
故答案为：
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，
所以有乙同学的概率=．
本题考查1、列表法与树状图法；2、概率公式，难度不大，掌握公式正确计算是解题关键．
21、（1） ；（2）成立，见解析；（3）和
【分析】（1）由题意通过证明，得到，再通过等量代换，得到；
（2）由题意利用全等三角形的判定证明，得到，再通过等量代换进而得到；
（3）根据题意分E在线段AC上以及E在线段AC的延长线上两种情况进行分类讨论.
【详解】解：（1）∵四边形和四边形都是正方形，
∴BC=CD,EC=CG,
∴（SAS），
∴；
又 ∵ ；
∴
∴；
（2）如图：

成立，
证明：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即
（3）①如图，E在线段AC上，

∵
∴OE=EC-OC==，OB==2，由勾股定理可知DG=BE=；
②如图，E在线段AC的延长线上，

∵
∴，
∴
∴
在中
∵
∴.
故答案为：和.
本题考查正方形的性质以及全等三角形，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.
22、（1），D（，）；（2）P（，）；（3）存在．N（，）或（，）或（，）或（，）．
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）确定出当△ACP的周长最小时，点P就是BC和对称轴的交点，利用两点间的距离公式计算即可；
（3）作出辅助线，利用tan∠MDN=2或，建立关于点N的横坐标的方程，求出即可．
试题解析：（1）由于抛物线 （a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，因此把A、B两点的坐标代入 （a≠0），可得：；解方程组可得：，故抛物线的解析式为：，∵=，所以D的坐标为（，）．
（2）如图1，设P（，k），∵，∴C（0，－1），∵A（-1，0），B（2，0），∴A、B两点关于对称轴对称，连接CB交对称轴于点P，则△ACP的周长最小．设直线BC为y=kx+b，则：，解得：，∴直线BC为：．当x=时，=，∴P（，）；
（3）存在．如图2，过点作NF⊥DM，∵B（2，0），C（0，﹣1），∴OB=2，OC=1，∴tan∠OBC=，tan∠OCB==2，设点N（m，），∴FN=|m﹣|，FD=||=||，∵Rt△DNM与Rt△BOC相似，∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=∠OCB；
①当∠MDN=∠OBC时，∴tan∠MDN==，∴，∴m=（舍）或m=或m=，∴N（，）或（，）；
②当∠MDN=∠OCB时，∴tan∠MDN==2，∴，∴m=（舍）或m=或m=，∴N（，）或（，）；
∴符合条件的点N的坐标（，）或（，）或（，）或（，）．

考点：二次函数综合题；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题．
23、（1）；（2）点的坐标为；（3）直线的函数表达式为或.
【分析】（1）根据待定系数法确定函数关系式即可求解；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，.
由翻折得，求出CH’的长，可得，求出DH的长，则可得D的坐标；
（3）由题意可知为等边三角形，分两种讨论①当点在轴上方时，点在轴上方，连接，，证出，可得垂直平分，点在直线上，可求出直线的函数表达式；②当点在轴下方时，点在轴下方，同理可求出另一条直线解析式.
【详解】（1）由题意，得
解得
抛物线的函数表达式为.
（2）抛物线与轴的交点为，
，抛物线的对称轴为直线.
设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，.
上翻折得.
在中，由勾股定理，得.’
点的坐标为，.
.
由翻折得.
在中，.
点的坐标为.
（3）取（2）中的点，，连接.
，.
为等边三角形，
分类讨论如下：
①当点在轴上方时，点在轴上方.

连接，
，为等边三角形，
，，.
，
.
,
点在抛物线的对称轴上，
，
，
又，
垂直平分.
由翻折可知垂直平分.
点在直线上，
设直线的函数表达式为，
则解得
直线的函数表达式为.
②当点在轴下方时，点在轴下方.

，为等边三角形，
，，.
.
.
.
，
.
.
设与轴相交于点.
在中，.
点的坐标为，
设直线的函数表达式为，
则解得
直线的函数表达式为.
综上所述，直线的函数表达式为或.
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、三角函数、等边三角形的性质.
24、（1）见解析；（2）（一辆车向右转，一辆车向左转）．（3）（至少有一辆汽车直行）．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）根据（1）中所画的树状图，即可求出答案；
（3）根据（1）中所画的树状图，即可求出答案.
【详解】解：（1）如图：

可以看出所有可能出现的结果共9种，
即：直左，直直，直右，左左，左直，左右，右直，右左，右右．它们出现的可能性相等．
（2）一辆车向右转，一辆车向左转的结果有2种，即：左右，右左．
∴P（一辆车向右转，一辆车向左转）．
（3）至少有一辆汽车直行的结果有5种，即：左直，直左，直直，直右，右直．
∴P（至少有一辆汽车直行）．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25、.
【分析】利用树状图得出所有可能的结果数和甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，
∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率=．
本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握用树状图或列表法求解的方法是解题的关键．
26、（1）y=10x+100；（2）当x为0，y=100，即这种干果没有降价，以每千克60元的价格销售时，销售量是100千克；（3）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【分析】（1）首先设一次函数解析式为：y=kx+b，然后根据函数图象，将两组对应值代入解析式即可得解；
（2）结合点和函数图象即可得出其表示的实际意义；
（3）根据题意列出一元二次方程，求解即可
【详解】（1）设一次函数解析式为：y=kx+b
当x=2，y=120；当x=4，y=140；
∴，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100；
（2）函数图象中点A表示的实际意义是当x为0，y=100，即这种干果没有降价，以每千克60元的价格销售时，销售量是100千克.
（3）由题意得：（60﹣40﹣x）（10 x+100）=2090，
整理得：x2﹣10x+9=0，解得：x1=1．x2=9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x=9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．.

此题主要考查一次函数图象的实际应用以及一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题意，列出关系式.