河北省邢台市第五中学2024年数学九年级第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，对角线AC与BD相交于点O，以点O为圆心的圆与菱形ABCD的四边都相切，则图中阴影区域的面积为（ ）

A． B． C． D．
2．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是　　

A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D
3．下列事件是必然事件的是（　　）
A．某人体温是100℃ B．太阳从西边下山
C．a2+b2＝﹣1 D．购买一张彩票，中奖
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（   ）

A． B． C． D．
6．帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量(单位：吨)，整理并绘制成如下折线统计图．下列结论正确的是( )

A．极差是6 B．众数是7 C．中位数是5 D．方差是8
7．如图，，则下列比例式错误的是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ）

A．3:2 B．3:1 C．1:1 D．1:2
9．如图，已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（　　）

A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）
10．如图，已知为的直径，点，在上，若，则（ ）

A． B． C． D．
11．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则t

anC的值是（　　）

A．2 B． C．1 D．
12．如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点.如，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简__________．

14．抛物线的顶点坐标是__________．
15．某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为_____．
16．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为________cm．

17．若反比例函数的图像上有两点，， 则____．（填“>”或“=”或“<”）
18．如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，则的值为___.

三、解答题（共78分）
19．（8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：将点P沿向右或向上的方向平移一次，平移距离为d（d＞0）个长度单位，平移后的点记为P′，若点P′在图形G上，则称点P为图形G的“达成点”．特别地，当点P在图形G上时，点P是图形G的“达成点”．例如，点P（﹣1，0）是直线y＝x的“达成点”．
已知⊙O的半径为1，直线l：y＝﹣x+b．
（1）当b＝﹣3时，
①在O（0，0），A（﹣4，1），B（﹣4，﹣1）三点中，是直线l的“达成点”的是：_____；
②若直线l上的点M（m，n）是⊙O的“达成点”，求m的取值范围；
（2）点P在直线l上，且点P是⊙O的“达成点”．若所有满足条件的点P构成一条长度不为0的线段，请直接写出b的取值范围．

20．（8分）如图1，直线y＝kx+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB绕点A顺时针旋转，使AO落在AB上，得到△ACD，将△ACD沿射线BA平移，当点D到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤2，2＜m≤a时，函数的解析式不同）

（1）填空：a＝　 　，k＝　 　；
（2）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．

（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径；
（2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；
（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．
22．（10分）如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．

（1）求证：AC为⊙O切线．
（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．
23．（10分）现有、两个不透明的盒子，盒中装有红色、黄色、蓝色卡片各1张，盒中装有红色、黄色卡片各1张，这些卡片除颜色外都相同.现分别从、两个盒子中任意摸出一张卡片.
（1）从盒中摸出红色卡片的概率为______；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片的概率.
24．（10分）定义：如图1，在中，把绕点逆时针旋转（）并延长一倍得到，把绕点顺时针旋转并延长一倍得到，连接．当时，称是的“倍旋三角形”，边上的中线叫做的“倍旋中线”．

特例感知：
（1）如图1，当，时，则“倍旋中线”长为______；如图2，当为等边三角形时，“倍旋中线”与的数量关系为______；

猜想论证：
（2）在图3中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明．

25．（12分）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为.

（1）求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
（2）用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
26．如图，是平行四边形的对角线，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】如图，分别过O作OE⊥AB于E、OF⊥BC于F、OG⊥CD于G、OH⊥DA于H，则．分别求出上式中各量即可得到解答．
【详解】如图，过O作OE⊥AB于E，由题意得：

∠EOB=∠OAB=-∠ABO=-∠ABC=-=，AB=4
∴OB=2，OA=2，OE=,BE=1，∠HOE=-=
∴BD=2OB=4,AC=2OA=4，
∴　
∴．
故选C．
本题考查圆的综合应用，在审清题意的基础上把图形分割成几块计算后再综合是解题关键．
2、B
【解析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C=∠BOD，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：∵直径CD⊥弦AB，
∴弧AD =弧BD，
∴∠C=∠BOD．
故选B．
本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3、B
【解析】根据必然事件的特点：一定会发生的特点进行判断即可
【详解】解：A、某人体温是100℃是不可能事件，本选项不符合题意；
B、太阳从西边下山是必然事件，本选项符合题意；
C、a2+b2＝﹣1是不可能事件，本选项不符合题意；
D、购买一张彩票，中奖是随机事件，本选项不符合题意.
故选：B．
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4、A
【分析】根据正切的定义有tanA，可设BC=12x，则AC=5x，根据勾股定理可计算出AB=12x，然后根据余弦的定义得到cosB，代入可得结论．
【详解】如图，
∵∠C=90°，tanA，
∴tanA．
设BC=12x，则AC=5x，
∴AB13x，
∴cosB．
故选：A．

本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理．
5、C
【解析】试题解析：设正方形网格每个小正方形边长为1，则BC边上的高为2，则 ， .
故本题应选C.
6、D
【分析】根据极差、众数、中位数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断．
【详解】解：由图可知，6月1日至6月5日每天的用水量是：5，7，11，3，1．
A．极差，结论错误，故A不符合题意；
B．众数为5，7，11，3，1，结论错误，故B不符合题意；
C．这5个数按从小到大的顺序排列为：3，5，7，1，11，中位数为7，结论错误，故C不符合题意；
D．平均数是，方差．结论正确，故D符合题意．
故选D．
本题考查了折线统计图，重点考查了极差、众数、中位数及方差的定义，根据图表准确获取信息是解题的关键．
7、A
【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴，，，
∴A错误；
故选：A．
本题考查平行线分线段成比例定理，熟练平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案．
8、D
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
【详解】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴．
故选D．
9、A
【解析】根据点（x，y）绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（-y，x）解答即可．
【详解】已知A（2，1），现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，
所以A1的坐标为（﹣1，2）.
故选A.
本题考查的是旋转的性质，熟练掌握坐标的旋转是解题的关键.
10、C
【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.
【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.

故选：C.
本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.
11、B
【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．
【详解】如图：

在RtACD中，tanC．
故选B．
本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．
12、C
【分析】连接OA、OB、OE，由切线的性质可求出∠AOB，再由切线长定理可得出∠COD= ∠AOB，可求得答案．
【详解】解：连接OA、OE、OB，所得图形如下：

由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD=∠AOB，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=140°，
∴∠COD=70°．
本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据数轴得出-1＜a＜0＜1，根据二次根式的性质得出|a-1|-|a+1|，去掉绝对值符号合并同类项即可．
【详解】∵从数轴可知：-1＜a＜0＜1，
∴
=|a-1|-|a+1|
=-a+1-a-1
=-2a．
故答案为-2a．
此题考查二次根式的性质，绝对值以及数轴的应用，解题关键在于掌握利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
14、（-1,-3）
【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案．
【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为，
∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3）
故答案为（-1，-3）．
本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键．
15、2(1+x)+2(1+x)2=1.
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程．
【详解】设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，
今年的投资金额为：2（1+x），
明年的投资金额为：2（1+x）2，
所以根据题意可得出的方程：2（1+x）+2（1+x）2=1．
故答案为：2（1+x）+2（1+x）2=1．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
16、1
【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM的长，，而且面积等于小正六边形的面积的， 故三角形PMN的面积很容易被求出，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出PG的长，进而得出OG的长，,在Rt△OPG中，根据勾股定理得 OP的长，设OB为x，，根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出BH，OH的长，进而得出PH的长，在Rt△PHO中，根据勾股定理得关于x的方程，求解得出x的值，从而得出答案．
【详解】解: 设两个正六边形的中心为O，连接OP,OB,过点O作OG⊥PM于点G，OH⊥AB于点H，如图所示：

很容易证出三角形PMN是一个等边三角形，边长PM=,而且面积等于小正六边形的面积的，
故三角形PMN的面积为cm2，
∵OG⊥PM，且O是正六边形的中心，
∴PG=PM=
∴OG=
在Rt△OPG中，根据勾股定理得 ：OP2=OG2+PG2,即=OP2
∴OP=7cm，
设OB为x，
∵OH⊥AB，且O是正六边形的中心，
∴BH=X,OH=，
∴PH=5-x，
在Rt△PHO中，根据勾股定理得OP2=PH2+OH2,即
解得：x1=1,x2=-3（舍）
故该圆的半径为1cm．
故答案为1．
本题以相机快门为背景，从中抽象出数学模型，综合考查了多边形、圆、三角形及解三角形等相关知识，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力．试题通过将快门的光圈变化这个动态的实际问题化为静态的数学问题，让每个学生都能参与到实际问题数学化的过程中，鼓励学生用数学的眼光观察世界；在运用数学知识解决问题的过程中，关注思想方法，侧重对问题的分析，将复杂的图形转化为三角形或四边形解决，引导学生用数学的语言表达世界，用数学的思维解决问题．
17、<
【分析】先把A(，2)，B(，-1)代入反比例函数，求出的值并比较出其大小即可．
【详解】∵点A(，2)，B(，-1)是反比例函数图像上的点，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
18、
【分析】证明 ，从而求出CD的长度，再求出即可．
【详解】∵是斜边上的高
∴
∵
∴
∴
∴

解得（舍去）
∴在 中

故答案为：．
本题考查了相似三角形的判定以及三角函数，掌握相似三角形的性质以及判定是解题的关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）①A，B；②﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；（2）﹣2≤b＜．
【分析】（1）①根据“达成点”的定义即可解决问题．
②过点（0，1）和点（0，﹣1）作x轴的平行线分别交直线l于M1，M2，过点（1，0）和点（﹣1，0）作y轴的平行线分别交直线l于M3，M4，由此即可判断．
（2）当M2与M3重合，坐标为（﹣1，﹣1）时，﹣1＝1+b，可得b＝﹣2；当直线l与⊙O相切时，设切点为E，交y轴于F，求出点E的坐标，即可判断．
【详解】（1）①∵b＝﹣3时，直线l：y＝﹣x﹣3，
∴直线l与x轴的交点为：（﹣3，0），直线l与y轴的交点为：（0，﹣3），
∴O（0，0）在直线l的上方，
∴O（0，0）不是直线l的“达成点”，
∵当x＝﹣4时，y＝4﹣3＝1，
∴点A（﹣4，1）在直线l上，
∴点A是直线l的“达成点”，
∵点B（﹣4，﹣1）在直线l的下方，把点B（﹣4，﹣1）向上平移2个长度单位为（﹣4，1），
∴点B是直线l的“达成点”，
故答案为：A，B；
②设直线l：y＝﹣x﹣3，分别与直线y＝1、y＝﹣1、x＝﹣1、x＝1依次交于点M1、M2、M3、M4，如图1所示：

则点M1，M2，M3，M4的横坐标分别为﹣4、﹣2、﹣1、1，
线段M1M2上的点向右的方向平移与⊙O能相交，线段M3M4上的点向上的方向平移与⊙O能相交，
∴线段M1M2和线段M3M4上的点是⊙O的“达成点”，
∴m的取值范围是﹣4≤m≤﹣2或﹣1≤m≤1；
（2）如图2所示：

当M2与M3重合，坐标为（﹣1，﹣1）时，﹣1＝1+b，∴b＝﹣2；
②当直线l与⊙O相切时，设切点为E，交y轴于F．
由题意，在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，OE＝1，∠EOF＝45°，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴OF＝OE＝；
观察图象可知满足条件的b的值为﹣2≤b＜．
本题是圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，点P为图形G的“达成点”的定义、等腰直角三角形的判定与性质、切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考压轴题．
20、（1）a=4, k＝﹣；（2）S＝（0＜m≤2）或S＝﹣+m﹣1（2＜m≤4）
【分析】（1）先由函数图象变化的特点，得出m=2时的变化是三角形C点与A点重合时，从而得AC的值，进而得点A坐标，易求得点B坐标，从而问题易解得；
（2）当0＜m≤2时，平移后的图形在x轴下方部分为图中△AA′N；2＜m≤4时，平移后的图形在x轴下方部分的面积S为三角形ANA′的面积减去三角形AQC的面积．
【详解】（1）从图2看，m＝2时的变化是三角形C点与A点重合时，
∴AC＝2，
又∵OA＝AC
∴A（2，0），
∴k＝﹣，
由平移性质可知：∠FEM＝∠FAM＝∠DAC＝∠BAO，
从图中可知△EFM≌△AFM（AAS）
∴AM＝EM，
∴AM＝2，
∴a＝4；
（2）当0＜m≤2时，平移后的图形在x轴下方部分为图中△AA′N，则AA′＝m，翻折及平移知，
∠NAA′＝∠NA′A，
∴NA＝NA′，
过点N作NP⊥AA′于点P，则AP＝A′P＝，
由（1）知，OB＝1，OA＝2，则tan∠OAB＝，
则tan∠NAA′＝，
∴NP＝＝，
∴S＝×AA′×NP＝×m×＝

2＜m≤4时，如下图所示，可知CC′＝m，AC′＝m﹣2，AA′＝m，
同上可分别求得则AP＝A′P＝，NP＝＝，C′Q＝
∴S＝S△AA′N﹣S△AQC′＝﹣（m﹣2）×＝﹣+m﹣1

综上，S关于m的解析式为：S＝（0＜m≤2）或S＝﹣+m﹣1（2＜m≤4）

本题为动点函数问题，属于一次函数、二次函数的综合问题，难度比较大，能从函数图象中获得信息是关键．
21、（1）PA的长为，⊙O的半径为；（2）见解析；（3）⊙O的半径为2或或
【分析】（1）过点A作BP的垂线，作直径AM，先在Rt△ABH中求出BH，AH的长，再在Rt△AHP中用勾股定理求出AP的长，在Rt△AMP中通过锐角三角函数求出直径AM的长，即求出半径的值；
（2）证∠APB＝∠PAD＝2∠PAE，即可推出结论；
（3）分三种情况：当AE⊥BD时，AB是⊙O的直径，可直接求出半径；当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，通过证△BFE∽△DAE，求出BE的长，再证△OBE是等边三角形，即得到半径的值；当AE⊥AB时，过点D作BC的垂线，通过证△BPE∽△BND，求出PE，AE的长，再利用勾股定理求出直径BE的长，即可得到半径的值．
【详解】（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，
在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝2，AH＝AB•sin60°＝2，
∴HP＝BP﹣BH＝1，
∴在Rt△AHP中，
AP＝＝，
∵AB是直径，
∴∠APM＝90°，
在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，
∴AM＝＝＝，
∴⊙O的半径为，
即PA的长为，⊙O的半径为；
（2）当∠APB＝2∠PBE时，
∵∠PBE＝∠PAE，
∴∠APB＝2∠PAE，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAD，
∴∠PAD＝2∠PAE，
∴∠PAE＝∠DAE，
∴AE平分∠PAD；
（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴r＝AB＝2；
②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，
∵AD∥BC，
∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，
∴＝，
在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，
∴AF＝AB•sin60°＝2，BF＝AB＝2，
∴＝，
∴EF＝，
在Rt△BFE中，
BE＝＝＝，
∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴r＝；
③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴∠BPE＝90°，
如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，
在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，
∴DN＝DC•sin60°＝2，CN＝CD＝2，
∴PQ＝DN＝2，
设QE＝x，则PE＝2﹣x，
在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，
∴AE＝2QE＝2x，
∵PE∥DN，
∴△BPE∽△BND，
∴＝，
∴＝，
∴BP＝10﹣x，
在Rt△ABE与Rt△BPE中，
AB2+AE2＝BP2+PE2，
∴16+4x2＝（10﹣x）2+（2﹣x）2，
解得，x1＝6（舍），x2＝，
∴AE＝2，
∴BE＝＝＝2，
∴r＝，
∴⊙O的半径为2或或．

此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.
22、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连结OA，根据已知条件得到∠AOE＝∠BEF，根据平行线的性质得到OA⊥AC，于是得到结论；
（2）连接OF，设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，得到∠BAF＝∠BEF＝2α，得到∠OAF＝∠BAO＝α，求得∠AFO＝∠OAF＝α，根据全等三角形的性质得到AB＝AF＝5，由勾股定理得到AD＝＝3，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解（1）证明：连结OA，
∴∠AOE＝2∠F，
∵∠BEF＝2∠F，
∴∠AOE＝∠BEF，
∴AO∥DF，
∵DF⊥AC，
∴OA⊥AC，
∴AC为⊙O切线；
（2）解：连接OF，
∵∠BEF＝2∠F，
∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，
∴∠BAF＝∠BEF＝2α，
∵∠B＝∠AFE＝α，
∴∠BAO＝∠B＝α，
∴∠OAF＝∠BAO＝α，
∵OA＝OF，
∴∠AFO＝∠OAF＝α，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴AB＝AF＝5，
∵DF＝4，
∴AD＝＝3，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FDA，
∵∠B＝∠AFD，
∴△ABE∽△DFA，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝，
∴⊙O半径＝．

本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
23、（1）；（2）（至少一张红色卡片）.
【分析】（1）根据A盒中红色卡片的数量除以A盒中卡片总数计算即可；
（2）画出树状图得出所有可能的情况数与至少有一张红色卡片的情况数，再根据概率公式计算即可.
【详解】解：（1）从盒中摸出红色卡片的概率=；
（2）画出树状图如下：

共有6种等可能的情况，其中至少有一张红色卡片的情况有4种，
∴（至少一张红色卡片）.
本题考查的是求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键.
24、（1）①4，②；（2），证明见解析．
【分析】（1）如图1，首先证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题；如图2，过点A作，易证，根据易得结论．
（2）延长到，使得，连接，易证四边形是平行四边形，再证明得，故可得结论．
【详解】（1）如图1，

∵，
∴
∵，
∴
∴
∵BC=4，
∴，
∵D是的中点，
∴AD=;
如图2，

∵，，
∴
根据“倍旋中线”知等腰三角形，
过A作，垂足为
∴， ，
∵D是等边三角形的边的中点，
且
∴
∴
∴
（2）结论：
理由：如图，延长到，使得，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴

本题属于几何变换综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
25、（1）cm；（2）40cm.
【分析】（1）由于三角形ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，那么根据勾股定理得到AD=30，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在AD上，分别连接AO、BO、CO，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为R，根据垂径定理和勾股定理即可求解
【详解】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D

∵AB=AC=50，BC=80
∴根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理可得
AD=30，BD=CD=40，
设最大圆半径为r，
则S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC，
∴S△ABC＝×BC×AD＝(AB+BC+CA)r
×80×30＝(50+80+50)r
解得：r=cm ；
（2）设覆盖圆的半径为R，圆心为O′，

∵△ABC是等腰三角形，过A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD=40，AD= ，
∴O′在AD直线上，连接O′C，
在Rt△O′DC中，
由R2=402+（R-30）2，
∴R=；
若以BD长为半径为40cm，也可以覆盖，
∴最小为40cm．
此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性．
26、（1）见解析；（2）
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA，再由已知条件得出∠BAC=∠BCA，即可得出AB=BC，进而证明是菱形即可；
（2）连接BD交AC于O，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，，OB=OD=BD，由勾股定理求出OB，得出BD，▱ABCD的面积=AC•BD，即可得出结果．
【详解】（1）证明：如图，在平行四边形中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：如图，连接，与交于

由（1）四边形，是菱形，
∴，，
在中，，
∴，
∴菱形的面积为．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．