探索三角形全等的条件的教学设计.doc

第五节 探索三角形全等的条件（出示投影片1）
主讲: 廖 涛 课时：3课时
一、教学目标
（一）教学知识点
1. 三角形全等的“边边边”的条件。
2. 了解三角形的稳定性。
（二）能力训练要求
1. 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。
2. 掌握三角形全等的“边边边”的条件。了解三角形的稳定性。
3. 在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
（三）情感与价值观要求
1. 通过动手作图,让学生接触事物、感知事物,获得亲身体验和直接经验,从中发现问题。2. 让学生体验数学来源于生活，服务于生活的辩证思想。
二、教学策略
本节的内容决定教学适合采用合作交流的教学方法，让学生通过讨论和交流，找出三角形全等需要的几个条件。通过动手、讨论，引导学生对三角形全等的条件深入辨析，培养学生一分为二，客观全面的唯物主义观。
三、教学设计思路
本节课教学主要围绕探索三角形全等的条件来展开的，为激发学生的学习潜能，可让学生结合教科书内容，自主总结找出能使三角形全等的条件。鼓励学生大胆地实践，引导学生动手、讨论、探索得出结论。为提高学生解决问题的能力，可用练习的形式加以巩固。
教学重点
三角形全等的条件。
教学难点
三角形全等的条件。
教学模式
创设情境-------手脑并用------启发诱导-------合作交流-------反馈矫正,注重学生参与
-------归纳小结
第一课时
教学过程
Ⅰ. 巧设现实情景，引入新课
[师]前面我们研究了全等三角形，现在我们来回忆一下：（出示投影片2）

已知：△ABC≌△DEF
找出其中相等的边与角
[生]图中相等的边是：AB=DE、BC=EF 、AC=DE
图中相等的角是：∠A=∠D 、∠B=∠E 、∠C=∠F
[师]很好。我这里有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？如何画？
[生]能，先量出这个三角形纸片的每边的长，各个角的度数，然后作出一个三角形，使它的每边的长，每个角的度数分别等于已知三角形纸片的每边长，每个角，这样作出的三角形一定与已知三角形纸片全等。
[师]噢，这位同学他利用了两个三角形全等的定义来作图。但是，是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少吗？一个条件行吗？两个条件、三个条件呢？
我们这节课就来探索三角形全等的条件。
Ⅱ. 讲授新课
[师]下面我们来做一做（出示投影片3）。
1. 只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？
2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做。
（1）三角形的一个内角为30°，一条边为3cm。
（2）三角形的两个内角分别为30°和50°.
（3）三角形的两条边分别为4cm、6cm.
[师]只给一个条件（一条边或一个夹角），怎么样呢？想一想。
[生]不能。
[师]对，显然不行。（出示投影片4）
因此，只给出一个条件时，不能保证所画出的三角形一定全等。
接下来我们探索：给出两个条件时，所画的三角形一定全等吗？
大家动手画：三角形的一个内角为30°，一条边为3厘米。
[生甲]我们画出的三角形几乎都不一样，
[师]好，那如果三角形的两个内角分别是30°和50°时，所画的三角形又如何呢？
[生乙]我画的三角形和他们画的形状一样，但大小不一样。这两个三角形不能重合，
即不全等。
[师]很好。如果给定三角形的两边分别为4cm、6cm，那么所画出的三角形全等吗？
[生丙]也不全等。
[师]很好，我们通过画图、观察、比较知道，只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等。
那给出三个条件时，又怎样呢？大家来议一议（出示投影片5）。
如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
[生丁]有四种可能。即：三条边，三个角，两边一角和两角一边。
[师]对，下面我们来逐一探索（出示投影片6）
做一做：
（1）已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°，80°.你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
（2）已知一个三角形的三条边分别为4cm、5cm、7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？
[生甲]已知一个三角形的三个内角分别为40°、60°、80°.能画出这个三角形，但与同伴画的进行比较时，有的能完全重合，有的不重合，所以它们不一定全等。
[师]通过比较得知：给出三角形的三个内角，得到的三角形不一定全等。
那给出三角形的三条边又如何呢？
[生乙]已知一个三角形的三条边分别是4cm，5cm，7cm，我能画出这个三角形。与同伴们进行比较可知：这样的所有三角形都是全等的。
[生丙]我画的三角形也和别人画的全等。由此可知：已知三角形的三边，则画出的所有三角形都全等。
[师]是吗？我们来验证：画一个三角形，使它的三边分别等于8cm、6cm、10cm. 画出图形后与同伴的进行比较。
[生丁]我画出的三角形与其他人的全等。
[师]是吗？大家来重叠一下。
[生齐声]都能够重合。
[师]好，由此我们知道：已知三角形的三条边画三角形，则画出的所有三角形全等（电脑演示重合过程）。这样就得到了三角形全等的条件：（出示投影片7）
三边对应相等的两个三角形全等。
简写为：“边边边”或“SSS”
如图。

注意：三边对应相等是前提条件，三角形全等是结论。
下面我们来做一个实验（出示投影片8）
取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，你所得到的框架的形状固定吗？用四根木条钉成的框架的形状固定吗？
[师]做实验时，可用细纸条代替木条。实验后分组讨论。
[生]用三根木条钉成的三角形框架是固定的，用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的。
[师]很好，看实物。（出示投影片9）
用三根木条钉成的三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的稳定性在生产和生活中是很有用的。如：房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固和稳定。
用四根木条钉成的形状是可以改变的，它不具有稳定性。（出示投影片10）
大家想一想，如何才能使用四根木条钉成的形状的框架不能活动？
[生]在相对的顶点上钉一根木条，使它变为两个三角形框架即可。
[师]对，在生活中经常会看到采用三角形的结构去建筑。就是利用到了它的稳定性。同学们能举出一些生活中应用三角形的稳定性的例子吗？
[生]能。如：大桥钢架、索道支架、输电线支架等等。
[师]很好，下面我们来做一练习以熟悉掌握本节内容。
Ⅲ. 课堂练习（出示投影片11）
（一）课本P140习题5.8 1、2
1. 准备几根硬纸条
（1）取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？
（2）取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成一个五边形，又会怎么样？
（3）上面的现象说明了什么？
解：（1）三角形的形状不会发生变化。
（2）四边形，五边形的形状发生了变化。
（3）说明了三角形具有稳定性，而四边形、五边形不具有稳定性。
2. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗？为什么？
解：不一定全等。如图。
Rt△ABC与Rt△A′B′C′不全等。
（二）看课本P138~140，然后小结
Ⅳ. 课时小结
本节课我们重点探索了三角形全等的条件，还了解了三角形的稳定性。
三角形全等的条件：
三边对应相等的两个三角形全等。
如图。

Ⅴ. 课后作业（出示投影片12）
（一）课本P135 习题5.7 3
（二）伴我学数学 P58 练习八 1～3
（三）1. 预习内容 P136~138
2. 预习提纲: 三角形全等的条件是什么？
Ⅵ. 活动与探究
一个六边形钢架ABCDEF,
由6条钢管连接而成（如图所示），
为使这一钢架稳固，
请你用三条钢管连接使它不能活动，
你能找出几种方法？

过程：让学生思考、探索，进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用。
结果：（1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，把这个六边形划分成四个三角形。如图（1）为其中的一种。
（2）也可以把这个六边形划分成四个三角形。如图（2）。

第二课时
课 题
§5.5.2 探索三角形全等的条件
教学目标
（一）教学知识点
三角形全等的条件：角边角、角角边。
（二）能力训练要求
1. 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。
2. 掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件。
3. 在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
（三）情感与价值观要求
通过画图、探索、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神。
教学重点
三角形全等的条件。
教学难点
探索三角表全等的条件。
教学方法
探索——发现——归纳。
学生在教师的启发引导下，通过画图、探索、交流，发现结论。最后归纳出三角形全等的条件。
教学过程
Ⅰ. 巧设现实情景，引入新课
[师]由上节课的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等的。如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形全等吗？带着这些问题，我们来继续探索三角形全等的条件。
Ⅱ. 讲授新课
[师]下面我们来动手做一做！（出示投影片§5.5.2 A）
如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边。
如：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？你画的与同伴的一定全等吗？
[生]能画出这个三角形。
[师]好，那大家动手来画一画；可以利用量角器和三角尺，也可以用直尺和圆规。
（学生动手操作）
[生甲]我画出的三角形与同伴画的一样，经过比较，它们全等。如图。
[师]很好，如果改变角度与边长，能得到同样的结论吗？同桌的两人来画一画，比较一下。
（学生画图、比较、讨论、得证）
[生乙]我们经过比较，得到：已知一个三角形的两个内角及其夹边，那么由此得到的三角形都是全等的。
[师]由此我们得到了判定三角形全等的另一条件：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简写为“角边角”或“ASA”。
如图，在△ABC和△DEF中。

这是用符号语言来表示该三角形全等的条件。
在“两角一边”中，除“两角及其夹边”外，还有哪种可能的情况呢？
[生丙]两角及一角的对边。
[师]对，那已知一个三角形的两角及一角的对边的长度，由此得到的三角形都是全等的吗？我们再来画图、比较，做一做（出示投影片§5.5.2 B）
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，如：三角形的两个角分别为60°和45°，一边长为3cm，情况会怎样呢？
（1）如果60°角所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗？与同伴比较是否全等？
（2）如果45°角所对的边为3cm，那么按这个条件画出的三角形全等吗？
[师]先分析，后画图。
[师生共析]已知两角及一角的对边画三角形时，不容易画，但如果把“两角及一角的”对边转化为“两角及其夹边”时，就可以了。那如何转化呢？因为三角形的内角和为180°，已知两个内角，那么第三个内角就可求出，这样就把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”。
[师]接下来我们动手操作、比较。
[生甲]如果60°角所对的边为3cm时，画出的图形如下：
经比较：这样得到的三角形都全等。
[生乙]如果45°角所对的边为3cm时，画出的图形如下：
经比较：这样得到的三角形都全等。
[生丙]老师，这时能不能得出三角形全等的条件呢？即：
“两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”成立吗？
[师]大家说呢？
……
[师]现在我们来改变角度及边长，你能得到同样的给论吗？分小组尝试。
[生丁]不管两个角的角度及一边长如何变化，只要已知一组值，就能得到三角形全等。
[师]很好，由此我们又得到了判定三角形全等的另一条件：
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简称“角角边”或“AAS”。
如图5-121，在△ABC和△DEF中。
∠B=∠F
∠C=∠F →△ABC≌△DEF
AC=DF
下面大家来想一想（出示投影片§5.5.2C）
如图5-122，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？

[生甲]从图中可知：AB与CD相交于O点，则∠AOC与∠BOD是对顶角，由于对顶角相等，所以∠AOC=∠BOD，又因为O是AB的中点，所以OA=OB。由已知∠A=∠B，则由“两角和夹边对应相等，两个三角形全等”得：△AOC≌△BOD
[生乙]也可用推理过程写：
∠A=∠B
OA=OB →△AOC≌△BOD。
∠AOC=∠BOD
[师]很好（电脑演示：△AOC≌△BOD）。
因为两角和夹边对应相等，则△AOC与△BOD全等。
同学们能理解意思吗？
[生齐声]能。
[师]好，下面我们来做练习以巩固三角形全等的条件。
Ⅲ. 课堂练习
（一） 补充练习（出示投影片§5.5.2D）
1. 图中的两个三角形全等吗？请说明由。
2. 巳知，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C，则：BD与CE相等吗？你能说明下面小亮思考过程的理由吗？△ABE≌△ACD→AD=AE→BD=CE。
答案：1. 图（1）中，由两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，得△ACB≌△BDC。
2. 第一步：两角夹边对应相等的两个三角表全等。
第二步：全等三角形的对应边相等。
第三步：等式的性质。
（二）看课本P141~143，然后小结。
Ⅳ. 课时小结
本节课我们又探索出两个三角形全等的条件，到现在为止，我们有以下几种方法可得到两个三角形全等。
（1）定义。
（2）三角形全等的条件：
注意：要判定两个三角形全等时，边和角“对应相等”，而不是“分别相等”即：两个三角形中相等的边和角必须有相同的顺序。
Ⅴ. 课后作业
（一）课本P143习题5.9 1、2、3.
（二）1. 预习内容P144~145
2. 预习提纲
三角形全等的条件：边角边。
Ⅵ. 活动与探究
如图，点C、D在BE上，BC=DE、AB∥EF、AD∥CF则：AB与EF相等吗？请说明理由。
过程：在学生探究过程中，让他们熟悉掌握三角形全等的条件。
AB、EF分布于△ABD和△EFC中，猜想AB=EF。只要证△ABD和△FEC全等即可。从图中两组平行的线段中，可以找出相等的角，亦即找出两个三角形全等的条件。
结果：AB与EF相等。
→△ABD≌△FEC。→AB=EF

第三课时
课 题
§5.5.3 探索三角形全等的条件
教学目标
（一）教学知识点
三角形全等的条件：边角边。
（二）能力训练要求
1. 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳学结论的过程。
2. 掌握三角形全等的“边角边”条件。
3. 在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
（三）情感与价值观要求
通过画图、思考、探索来激发学生学习的积极主动性，并使学生些研究问题的经验和方法，发展实践创新精神。
教学重点
三角形全等的条件：边角边。
教学难点
三角形全等的条件的探索。
教学方法
引导发现法。
教学过程
Ⅰ. 巧设现实情景，引入新课
[师]在前两节课的讨论中，我们知道：只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等。给出三个条件时，有四种可能出现的情况，想一想，是哪四种呢？
[生]三条边、三个角、两角一边、两边一角。
[师]对，在这四种情况中，我们已经研究了三种：三条边，三个角，两角一边，由讨论得知：哪种情况下两个三角形全等，哪种情况下两个三角形不全等呢？
[生]三条边对应相等的两个三角形全等；两角一边，即：两角及其夹边或两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等。
三个角对应相等的两个三角形不全等。
[师]很好，那第四种情况怎么样呢？即给出三角形的两边及一角时，所得到的三角形都全等吗？这节课我们继续来探索三角形全等的条件。
Ⅱ. 讲授新课
[师]大家想一想：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能情况呢？
[生]有两种：两边及这两边的夹角，两边及一边的对角。
[师]好，那在每种情况下得到的三角形全等吗？我们逐一来研究。先看第一种情况下，两个三角形是否全等。（出示投影片§5.5.3 A）
做一做
如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角。如：三角形的两条边分别为2.5cm、3.5cm. 它们的夹角为40°，你能画出这个三角形吗？你画出的三角形与同伴画的一定全等吗？
[师]大家利用直尺、三角尺和量角器来画满足以上条件的三角形，然后与同伴画的来比较一下。
[生甲]我画的三角形如下，与同伴画的全等。
[生乙]老师，由此能不能得到这样的结论：如果已知三角形的两边及其夹角，那么所得的三角形都全等。
[师]这位同学提的问题很好，那我们来改变上述条件中的角度和边长，大家分组讨论，看是否有乙同学说的结论？
[生丙]我们组在已知了三角形的两边及两边的夹角后，画得所有三角形都全等。
[生丁]我们组也是。
[师]由此我们得到了三角形全等的条件（出示投影片§5.5.3 B）
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简称“边角边”或“SAS”。
如图，在△ABC和△DEF中，
做一做：
如果“两边及一角”条件中的角是其中一边对角。如：两条边分别为2.5cm、3.5cm.长度为2.5cm的边所对的角为40°，所画的三角形与同伴画的全等吗？
[生甲]我按上述条件画的三角形与同伴画的三角形全等。如图（1）。
[生乙]我按上述条件画的三角形不唯一，有两个不同的三角形满足上述条件：如图（2）。
由图可知：这两个三角形不全等。
[生丙]老师，由此能不能说：两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。
[师]对，如果说一个命题错误，只需举出一个反例即可。如乙同学画的图形就是一个反例，它说明两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不全等。所以丙同学得出的结论是正确的。
因此可知：“两边及一角”中的两种情况中只有一种能判定三角形全等。即：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
下面我们通过做练习来熟悉掌握三角形全等的条件。
Ⅲ. 课堂练习
（一）课本P145随堂练习
1. 分别找出各题中的全等三角形，并说明理由。
答案：图（1）中的两个三角形全等。即：△ABC≌△EFD。
因为根据“SAS”可得。
即：
图（2）中的△ADC≌△CBA。根据“SAS”可得出结论。即：

2. 小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD。将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同伴进行交流。
答：能。因为根据“SAS”可以得到△DEH≌△DFH。由“全等三角形的对应边相等”可得：EH=FH。
（二）看书P144~145，然后小结。
Ⅳ. 课时小结
这节课我们重点探索了三角形全等的条件：“边角边”。至此我们已有五种判定三角形全等的条件。
（1）全等三角形的定义
（2）边边边
（3）角边角
（4）角角边
（5）边角边
推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的条件，这样有利于探索并获得解题途径。
Ⅴ. 课后作业
（一）课本P146习题5.10 1、2、3
（二）1. 预习内容：P147~149
2. 预习提纲
利用尺规作一个三角形与已知三角形全等。

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